6○竿索求长 升2，下缩1。到绳索双折后，下缩1托。故上升2托，这样 索总长4托，竿长3托。 对于这样一个简单题，最好不用方程来解，在头脑里 想像一个图形，让绳索动起来，在运动的状态中找索与竿 的数量关系，发现“上2缩1”的比例，从而找到答案。 这就是从小训练儿童的“空间想像力”的方法，这是一种 重要的数学能力。 古算故事 “九九表”自荐的故事 为了说明我国很早就掌握了整数四则运算的方法，这里讲 一个小故事。大家知道筹算乘除都要用口决。古代的乘法口决 是从“九九八十一”起到“二二如四”止，只有36句，与现 在流行的顺序相反，因为开头两个字是“九九”，故“九九” 在古代既作为乘法口决的简称，又作为当时实用算术的代名 词。 西汉韩婴在《韩诗外传》写了一个寓言：“齐桓公设庭燎， 为便人欲造见者。期年而士不至。于是东野有鄙人以九九见 者。桓公使戏之日，九九足以见乎？鄙人日，…夫九九薄能 耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？…。桓公白，善。乃因 礼之。期月，四方之士相导而至矣。”意思是说，齐桓公在宫 廷设烽火招贤，过了一年无人应征。东郊有一个粗野的汉子以 九九表自荐，齐桓公使人取笑他，九九表能作为一技之长吗？ 那人说，“九九表虽然算不了什么，如果大王也能重用，那么 有才千的人自然就会来应聘了”。齐桓公从优接待了他。一月 以后，四方有识之士就纷纷投奔齐国。齐桓公终于成了春秋五 23
好玩的数学 中国古算解趣 霸中的第一霸。 这个故事告诉我们，在春秋时代，乘除运算已家喻户晓了。 智慧之光 筹算和珠算 过去我们把小学数学叫做算术，实际上这是中国古代数学 的总称，其原始意义是运用算筹的技术，所以也有用“筹算” 二字来代表中国古代数学的，它是我国传统数学的根本。 据《汉书·律历志》载，算筹系竹制圆形棒，直径1分， 长6寸。相传从西周时代人们就开始用算筹在毡毯上或木板上 进行各种运算，这种计算工具延续到宋元。在长达二千多年 间，它是我国各行各业通用的计算工具。 算筹记数有2种图式： 纵式！Ⅱ川TTT丽 横式-二三三上山点 分别表示1,2,3,4,5,6,7,8,9。在6,7,8,9的上 方或下方横放的算筹，以1当5。 我国自有文字记载以来，一直是按十进制记数的，曾被马 克思誉为世界上“最妙的发明之一”，比印度使用十进制要早 1000多年。正因为是筹算，靠移动算筹进行运算，所以，对 程序和方法要求也很严格。在《孙子算经》明确规定“凡算之 法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”， “满六以上，五在上方，六不积算，五不单张”。有了算筹这样 的工具，所有的算术、代数演算都可以按部就班地进行，取得 了辉煌的成就，赢得了中华民族素以计算见长的美誉。 元朝末年，算盘逐渐普及，明代数学家程大位，集珠算之 24
6◎竿索求长 大成，著成《直指算法统宗》一书，使珠算理论系统化，计算 方法规范化，易学好用，风行海内，流传极广，加之商业日用 之需要，珠算已成为我国近代的主要计算工具，并远传日本、 朝鲜、东南亚诸国，至今仍受到世界很多国家的重视和欢迎。 筹算和珠算本质上都属于机械化的数学，解题方法都归结 为“术”，用一套程序化的语言和算法来规范计算过程，和现 代计算机的思想是一致的。在计算技术高度发展的今天，研究 中国古代数学对开发和应用现代计算机技术有非常深远的意 义。我国数学家吴文俊教授成功地吸收了中华数学的智慧，创 造性地开拓了机器证明的新领域，对世界做出了杰出的贡献， 获得了国家科学技术奖。 读读练练 练习题 1.今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳 量之，不足一尺。问木长几何？ 答日：六尺五寸 2.今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一， 后人四分取一，余米一斗五升，问本米几何？ 答日：六斗 选自《孙子算经》 25
7方田求积 今东田广十五步，从十六步，问为田几何？ 答曰：一宙 选自《九章算术》 我国古代对正方形及矩形的田统称为方田，有时也称矩形 的田为直田或广田。现在都不用这些名称了，统一叫正方形， 长方形或矩形。 这是《九章算术》卷一“方田章”的第一题。章名“方 田”，刘徽注称“以御田畴界域”，意思是计算平面图形的周长 和面积。题中“广”指宽，“从”（读纵zòg)指长，即已知 矩形的长16步，宽15步，求面积。 书中“方田术”给出了计算方法和秦汉时期田亩的计量制 度。 方田术日：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除， 即亩数。百亩为一顷。 唐朝著名天文学家李淳风为本题加了详细注解。 “此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可 知。一亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，即每行广 一步而从十六步，又横而截之，令为十六行，即每行广一步而 从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，凡有二百四十步， 为一亩之地步数正同。以此言之，即广从相乘得积步，验矣。 二百四十步者，亩法也。百亩者，顷法也，故以除之即得。” 26
7◎方田求积 《九章算术》是我国古代学子的数学教科书，使用了一千 多年。李淳风用注解的形式，在全书的开头就把长方形面积计 算的原理、方法说得清清楚楚。即有长方形田一亩，宽是15 步，沿纵的方向分为15条，每条宽1步、长16步。再把田横 截成16行，每行宽1步，而长为15步。这样纵疏横截之后， 把田分成240个正方形（图7-1），每个小正方形的面积是1平 方步（可简称为方步）。1亩就是240方步。100亩=1顷。要 特别注意，我国古代把面积单位和长度单位都用“步”，二者 的意义是不同的。 本题的解答就是 15×16=240(平方步)=1（亩） 雪 一1方步 15步 图7-1 27