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《代数与几何》习题集

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几何与代数测试题(1) (矩阵运算) 1.已知：         − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ，         − − − − − = 2 4 2 1 2 1 1 2 1 B . 下列哪个不成立？ (A) A2=A; (B) A2=2A; (C) B k =B (k2); (D) AB=BA=O . 2.计算下列的矩阵乘积：若 A=         − − 4 2 1 1 1 3 2 1 0 [1, 1,2] ,则 A= (A) (9, 2, -1); (B) (-9, 2, 1); (C) (2, -1, 9); (D) (9, 2, -1)T ; 3. 若 B=         −         − 2 1 1 4 2 1 1 1 3 2 1 0 , 则 B= (A) (-6, 2, -4); (B) (6, 2, 4) T ; (C) (2, 6, 4); (D) (3, 6, 4)T ; 4.若       = 1 2 2 3 P ,       − = 0 1 2 0 A ,       − − = 1 2 2 3 Q . 下列哪个不成立？ (A) PQ=E; (B) QP=E; (C) (PAQ) k =PAkQ; (D) (PAQ) k =PkAkQk. 5.若 AB=BA, AC=CA, 下列哪个不成立？ (A) A, B, C 为同阶方阵,; (B) A(BC)=(BC)A; (C) A(BC)=C(BA); (D) A(B+C)=(B+C)A 4. A, B 都是 n 阶矩阵, 下列哪个成立？ (A) (A+B) 2 =A2+2AB+B2 ; (B) (A+E)(A-E) = (A-E) (A+E) =A2 - E;; (C) (A+B) 3 =A 3 +3A2B+3AB2+B3 ; (D) (A+B)(A-B) =A2 - B 2 ;; 7.设       − =     sin cos cos sin A 下列哪个成立？ . sin cos cos sin ; ( ) sin cos cos sin ( ) ; sin cos cos sin ; ( ) sin cos cos sin ( )      − =       − =       − =       − =                 n n n n D A n n n n C A n n n n B A n n n n A A n n n n ； 8. , 2 . 1 0 0 1   为正整数，则      − B = k 下列哪个不成立？ ( ) 2 1 ( 1) ; ( ) 2 1 ( 1) . ( ) 2 ( 1) ; ( ) 2 ( 1) ; 1 1 C n k B B D n k B B A n k B E B n k B E n k n k n k n k − − = + = − = − = − = = − = = − 当时，当时，当时，当时， 9. 设       = 0 1 1 1 A ，所有与 A 可交换的矩阵为________. (A) . 0 ; ( ) 0 ; ( ) 0 ; ( ) 0                         a b b D b a b C b a a B a a b 10. 下列哪个不成立？

(A) 与对角矩阵 A = diag(a1, a2,,an) 可交换的矩阵必是对角阵； (B) 设 f (x), g(x) F[x], A,B M (F),   n 如果 AB=BA 则 f(A)g(B)=g(B)f(A)； (C) 设 f (x), g(x) F[x], A M (F),   n 则 f(A)g(A)=g(A)f(A); (D) 若A, B皆为n阶下三角矩阵, 则AB=C也是下三角矩阵, 且 c a b , i 1,2, ,n. ii = ii ii =  11. 下列哪个不成立？ (A) 上三角矩阵 A = aij nn ( ) (i>j 时,aij=0)可逆的充要条件是 aii0, i=1,2,n. (B) 下三角矩阵 A = aij nn ( ) (i<j 时,aij=0)可逆的充要条件是 aii0, i=1,2,n. (C) n 阶对角阵可逆的充要条件是 aii0, i=1,2,n. (D)           c c b a a 0 0 0 0 可逆的充要条件是 abc0. 12. 设方阵 A 满足 A2−A−2E=O, 下列哪个不成立？ (A) A 是可逆矩阵, 且 A-1 =(A−E)/2； (B) E−A 是可逆矩阵, 且 (E-A)-1 =A/2; (C) A+E 和 A−2E 都是可逆的; (D) A+E 和 A−2E 不可能同时都是可逆的. 13. 下列哪个不成立？ (A) 可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵; (B) 可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵; (C) 设 A 为可逆的对称矩阵，则 Ak（k 为正整数）的逆矩阵仍是对称矩阵. (D) 两个可逆的对称矩阵的乘积的逆矩阵仍是对称矩阵; 14. 已知：             − − = − 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 2 1 0 2 5 0 0 0 1 2 0 0 0 A , 下列哪个成立？ (A)           − − =       =       = 0 0 4 0 4 4 4 4 1 , 12 29 5 12 , 0 0 1 2 2 2 1 A A A A A 其中； (B)           − − =       =       = 0 0 4 0 4 4 4 4 1 , 12 29 5 12 , 1 2 2 2 1 A A A o o A A 其中 ; (C)           − − =       =       = 0 0 4 0 4 4 4 4 1 , 12 29 5 12 , 1 2 1 2 2 A A A o o A A 其中 (D)           − − =       =       = 0 0 4 0 4 4 4 4 1 , 12 29 5 12 , 0 0 1 2 1 2 2 A A A A A 其中 (C) AB=           = −       − − =       0 0 4 0 4 2 4 2 1 8 1 , 2 1 5 2 , 0 0 1 2 2 1 B B B B 其中； 15. 设 A, B, CMn(F),     = O C A B P ,下列哪个成立？

(A) 若 A,B 均可逆，则 P -1=       − − − − − 1 1 1 1 O C A C BA ; (B) 若 A,B 均可逆，且则 P -1=       − − − − − 1 1 1 1 O C A A BC ; (C) 若 A,B 均可逆，则 P -1=       − − − − − 1 1 1 1 O A C A BC ; (D) 若 A,B 均可逆，则 P -1=       − − − − − 1 1 1 1 O A C C BA 。答案：1(B); 2(A); 3(D); 4(D); 5(C); 6(B); 7(D); 8(B); 9(A); 10(A); 11(D); 12(C); 13(D); 14(A); 15(B); 几何与代数测试题(2) (矩阵) 16. 若 ABCD=E(n 阶单位阵)，以下哪个成立？ (A) BCDA=E; (B) CABD=E; (C) BACD=E; (D)CBAD=E. 17. 以下哪个成立？ (A) (A+B)2=A2+2AB+B2 ; (B) (A+E)2=A2+2A+E; (C) AB=BA; (D)若 AB=O 则 A=O 或 B=O。 18.设 A 为 n 阶矩阵，问以下哪个为对称阵？ (A) ATA; (B) A2 ; (C) (AT ) 2 ; (D) AT -A. 19. 设 A 为 n 阶实对称矩阵，A2=O,问以下哪个成立？ (A) A=E; (B) A 可逆； (C) A=O; (D) A0. 20. 设 A, B 为 n 阶矩阵，AB=O,问以下哪个成立？ (A) A, B 均不可逆； (B) A+B=O; (C) A=O or B=O; (D) A=0 or B=0. 21.若 A2 -2A+E=O，则 A-1=_____________. (A) A-2E; (B) 2-A; (C) E-2A; (D) 2E-A. 22.若 A 可逆，则(A*)-1=___________. (A) 1 1 * 1 ; ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) 1 − − − A B A A C A D A A A . 23. 设 A, B 均为 n 阶反对称矩阵，则下列哪个是反对称矩阵？ (A) AB-BA; (B)AB+BA; (C) ATA; (D) AB. 24.设 A=(B+E)/2，问以下哪个不成立？ (A) 若 A2=A，则 B 2=E; (B) 若 B 2=E，则 A2=A; (C) A2=A B 2=E; (D) 若 B 可逆，则 A 可逆。 25.设 X=(x1,x2,xn) T ; Y=(y1,y2,yn) T ; XTY=2; B= XYT问以下哪个不成立？ (A) B2=2B; (B) Bk=2k-1B (kN); (C) A=E+B 不可逆； (D) A=E+B 可逆. 26. 设 A 为 n 阶可逆反对称矩阵，问以下哪个不成立？ (A) A-1 为反对称矩阵； (B) A+ A-1 为对称矩阵； (C) A+ A-1 为反对称矩阵； (D) (A−1 ) T为反对称矩阵； 27. 设 A 为 n 阶矩阵，存在 kN 使 Ak = O, 问以下哪个成立？ (A) A=O; (B) (E-A)−1=(E+A++Ak −1 )； (C) (E-A) 不可逆; (D)(E+A)−1=(E+A++Ak −1 ). 28.设

          =           − − − − 1 1 1 0 1 1 1 2 4 0 1 1 1 1 2 X ,则 X=__________. . 3 2 1 4 2 0 3 3 1 ; ( ) 3 2 1 4 2 0 3 3 0 ; ( ) 2 3 2 4 3 3 ; ( ) 3 2 4 2 3 3 ( )                                         A B C D 29. 设 A, B 均为 n 阶矩阵，则下列哪个成立？ (A) 若A-AB=O，则A=O，或B=O; (B) 若 AB=O，则 A=O，或 B=O; (C) (AB) 2=A2B 2 的充分必要条件是 AB=BA; (D) 若 A, B 均可逆，则(A+B)-1=A-1+B-1 . 30. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列哪个成立？ (A) (AB)-1=1/A -1B -1 ; (B) (AB)-1=AB; (C) (AB)-1=A -1B -1 ; (D) (AB)-1=(-1)nAB. 31 设 A, B, (A+B), (A-1+B-1 )均为 n 阶可逆矩阵，则(A-1+B-1 ) -1=___________. (A) (A-1+B-1 ); (B) A+B; (C)B(A+B)-1A; (D) (A+B)-1 32.若 A=BT，则 AT (B-1A-1+E)T可以化简为下列哪式？ (A) A+B; (B) AT+A-1 ; (C)ATB; (D) A+A-1 33. 若 (E-CB-1 ) TABT=E, 则 A-1=__________. (A (C-1+B-1 ) T ; (B) (C-1+B-1 ); (C) (C+B)-1 ; (D)( BT - C T ) -1 34.设 A, B 均为 n 阶矩阵，则下列哪个成立？ (A)A=E  A=1; (B)ABO  A O 且 BO; (C)A2=E 则 A=E 或 -E; (D)AB0 A0 且B0。 35. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则A*=_____________. (A) A n ; (B) A n-1 ; (C) A n-2 ; (D) 1/A n-1 答案：16(A); 17(B); 18(A); 19(C); 20(D); 21(D); 22(C); 23(A); 24(D); 25(C); 26(B); 27(B); 28(A); 29(A); 30(C); 31(C); 32(B); 33(D) 34(D); 35(B); 几何与代数测试题(3) (矩阵的秩) 36. 设 X=(x1,x2,xn) T ; Y=(y1,y2,yn) T ; XTY=-1; A=2E+ XYT 则 A2 -3A+2E=_______________. (A) O; (B) 3A; (C) A-E; (D) A+E. 37. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列哪个不成立？ (A) (A-1 )*= (A*)–1 ; (B) (AT )*= (A*)T (C) ( (AT ) –1 )*=( (A–1 )*)T (D) ( (A*)–1 )*=( (A–1 )*)–1 38.设 A=diag(1,2,3), S={B  AB=BA, BM3(R) },下列哪个不成立？ (A) S(R)为 R 上的线性空间； (B) dimS(R)=5; (C) S(R)不是 R 上的线性空间； (D){e11, e22, e23, e32, e33}为 S(R)的一组基，其中 eij 为 3 阶矩阵，(i, j)元为 1，其余元为 0。 39.设是 R 3 上的线性变换，在自然基下的矩阵为 A=           2 −1 3 1 1 3 1 0 2 ,下列哪个不成立？ (A)秩()=2; (B) Ker()=L((1,2,-1)T );

(C) Ker()=L((2, 1,-1)T ); (D) Ker()=L((4, 2,-2)T ). 40. . 1 0 0 0 0 0 0 1/ 2 0 0 1/ 3 0 0 1/ 4 0 0 ; ( ) 1 0 1/ 4 0 0 1/ 3 0 0 1/ 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ; 1 0 0 0 0 0 0 1/ 4 0 0 1/ 3 0 0 1/ 2 0 0 ; ( ) 0 0 1/ 3 0 0 1/ 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1/ 4 ( ) ______ . 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1                                                 =             − C D A B 41.若       − − =         0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 A ；则 A=___________. . 3 3 1 1 2 1 ; ( ) 1 2 1 3 3 1 ; ( ) 1 2 1 3 3 1 ; ( ) 1 2 1 3 3 1 ( )       − − − −       − − −       − − −       − − − A B C D T 42.设 A 是 mn 矩阵 m<n，则下列哪个成立？ (A) AAT0; (B) AAT>0; (C) AAT=0; (D) AAT<0. 43.已知矩阵 A, B 均可逆，则分块阵       B O O A 的逆为___________. (A)                         − − − − − − − − A O O B D O A B O C O B A O B B O O A 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ( ) ; ( ) ; ( ) . 44. A 为 n 阶矩阵，E-A ,E+A 均可逆，下列哪个不成立？ (A) (E-A)(E+A)-1=(E+A)-1 (E-A); (B) (E-A)-1 (E+A)=(E+A)(E-A)-1 ; (C) (E-A)-1 (E+A)-1=(E-A)-1 (E+A)-1 ; (D) (E-A)-1 (E+A)=(E+A)-1 (E-A)。 45. 设 A=       c d a b ,则 A 满足： (A) A2+(a+d)A+(ad-bc)E=O; (B) A2 -(a+d)A+(ad-bc)E=O; (C) A2 -(a+d)A-(ad-bc)E=O; (D) A2 -(ad-bc) A+(a+d)E=O. 46.若 A 为 n 阶实矩阵, AAT=O, 下列哪个不成立？ (A) A=O; (B) A+AT=O; (C) A-E=1; (D) A=0. 47.设 A=       − O O En 1 1 为 n 阶矩阵;Ek 为 k 阶单位阵, 下列哪个不成立？ (A) C A E D A A E O O E B E O O E A n n n n k k k k n k = =             = + − − 1 ; ( ) ; ( ) ; ( ) . 48．设

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