特征值分解（谱分解） 定义（特征值分解）设A∈Rnxn(或Cn×n).若存在非奇异矩阵X∈Cnxm,使得 X-1AX=A, (1.1) 其中△∈Cnx”是对角矩阵，则称A是可对角化的，矩阵△的对角线元素即为A的特征 值，分解(1.1)称为矩阵A的特征值分解或谱分解」 定理设A∈Rnxn（或Cnxn),则 (1)A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量 (②)A可对角化当且仅当A的所有特征值的代数重数与几何重数都相等. 特别地，若A有n个互不相等的特征值，则A可对角化. http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 9/50
特征值分解 (谱分解) 定义 (特征值分解) 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ). 若存在非奇异矩阵 X ∈ C n×n , 使得 X−1AX = Λ, (1.1) 其中 Λ ∈ C n×n 是对角矩阵, 则称 A 是可对角化的, 矩阵 Λ 的对角线元素即为 A 的特征 值, 分解 (1.1) 称为矩阵 A 的特征值分解或谱分解. 定理 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则 (1) A 可对角化当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当 A 的所有特征值的代数重数与几何重数都相等. 特别地, 若 A 有 n 个互不相等的特征值, 则 A 可对角化. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/50
对称矩阵的正交对角化 如果A是对称的，则A的所有特征值都是实的，而且可以正交对角化 定理设A∈Rmxn对称，则A的特征值入1,2，，入m都是实数，且存在正交矩阵Q∈ Rnxn,使得 QTAQ=A或A=QAQ 其中A=dig(1,2,,入n)是实对角矩阵，Q的第i列为A的对应于入的特征向量 多该结论对复矩阵也成立，此时Q是复的酉矩阵，但A仍然是实对角矩阵。 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 10/50
对称矩阵的正交对角化 如果 A 是对称的, 则 A 的所有特征值都是实的, 而且可以正交对角化. 定理 设 A ∈ R n×n 对称, 则 A 的特征值 λ1, λ2, . . . , λn 都是实数, 且存在正交矩阵 Q ∈ R n×n , 使得 Q ⊺ AQ = Λ 或 A = QΛQ ⊺ , 其中 Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λn) 是实对角矩阵, Q 的第 i 列为 A 的对应于 λi 的特征向量. 该结论对复矩阵也成立, 此时 Q 是复的酉矩阵, 但 Λ 仍然是实对角矩阵. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 10/50
1-2-3 对称正定矩阵 定义设A∈Cnxn O若对所有向量x∈Cn有R(x*Ax)≥0，则称A是半正定的： O若对所有非零向量x∈Cm有Re(x*Ax)>0,则称A是正定的： O若A是Hermite的且半正定，则称A为Hermite半正定： O若A是Hermite的且正定，则称A为Hermite正定； ①若A∈Rn×n是对称的且半正定，则称A为对称半正定： )若A∈Rnxn是对称的且正定，则称A为对称正定。 若对所有向量x∈Cn有x*Ax∈R,则A*=A http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 11/50
1-2-3 对称正定矩阵 定义 设 A ∈ C n×n . 若对所有向量 x ∈ C n 有 Re(x ∗Ax) ≥ 0, 则称 A 是半正定的; 若对所有非零向量 x ∈ C n 有 Re(x ∗Ax) > 0, 则称 A 是正定的; 若 A 是 Hermite 的且半正定, 则称 A 为 Hermite 半正定; 若 A 是 Hermite 的且正定, 则称 A 为 Hermite 正定; 若 A ∈ R n×n 是对称的且半正定, 则称 A 为 对称半正定; 若 A ∈ R n×n 是对称的且正定, 则称 A 为 对称正定. ✍ 若对所有向量 x ∈ C n 有 x ∗Ax ∈ R, 则 A∗ = A. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 11/50
正定矩阵的充要条件 定理设A∈CmX”,则A正定（或半正定）的充要条件是H=(A+A*)正定（或半正 定) (留作练习) 定理设A∈Rmxm,则A正定（或半正定）的充要条件是对任意非零向量x∈R”有 xTAx>0(或xTAx≥0) (留作练习) 定理(Hermite矩阵正定的充分条件)A∈Cnxn是Hermite正定矩阵的充要条件是A 是Hermite的，且所有特征值都大于零或者所有顺序主子式都大于零. (留作课外自习)】 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 12/50
正定矩阵的充要条件 定理 设 A ∈ C n×n , 则 A 正定 (或半正定) 的充要条件是 H = 1 2 (A + A∗ ) 正定 (或半正 定). (留作练习) 定理 设 A ∈ R n×n , 则 A 正定 (或半正定) 的充要条件是对任意非零向量 x ∈ R n 有 x ⊺Ax > 0 (或 x ⊺Ax ≥ 0). (留作练习) 定理 (Hermite 矩阵正定的充分条件) A ∈ C n×n 是 Hermite 正定矩阵的充要条件是 A 是 Hermite 的, 且所有特征值都大于零或者所有顺序主子式都大于零. (留作课外自习) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 12/50
对称正定矩阵的更多性质 设A∈Rnxn是对称正定矩阵，则 (1)A非奇异，且A-1也对称正定： (2)A的所有特征值都是正实数： (3)A的所有顺序主子阵都对称正定的： (4)A的所有顺序主子式都大于零 白对于Hermite正定矩阵，也有类似的结论 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 13/50
对称正定矩阵的更多性质 设 A ∈ R n×n 是对称正定矩阵, 则 (1) A 非奇异, 且 A−1 也对称正定; (2) A 的所有特征值都是正实数; (3) A 的所有顺序主子阵都对称正定的; (4) A 的所有顺序主子式都大于零. b 对于 Hermite 正定矩阵, 也有类似的结论. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 13/50