平方根 如果A是Hermite(半)正定矩阵，则可以定义其平方根，即存在唯一的Hermite(半)正定矩阵 B,使得B2=A.事实上，我们有下面更一般的性质 定理设A∈Cnxn是一个Hermite半正定矩阵，k是一个给定的正整数.则存在一个唯 一的Hermite半正定矩阵B∈Cnxn使得 Bk A. 同时，我们还有下面的性质： (1)rank(B)=rank(A),因此，若A是正定的，则B也正定： (②)如果A是实矩阵的，则B也是实矩阵. 特别地，当k=2时，称B为A的平方根，记为A支 (留作课外自习，证明可参见相关资料) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 14/50
平方根 如果 A 是 Hermite (半) 正定矩阵, 则可以定义其平方根, 即存在唯一的 Hermite (半) 正定矩阵 B, 使得 B2 = A. 事实上, 我们有下面更一般的性质. 定理 设 A ∈ C n×n 是一个 Hermite 半正定矩阵, k 是一个给定的正整数. 则存在一个唯 一的 Hermite 半正定矩阵 B ∈ C n×n 使得 B k = A. 同时, 我们还有下面的性质: (1) rank(B) = rank(A), 因此, 若 A 是正定的, 则 B 也正定; (2) 如果 A 是实矩阵的, 则 B 也是实矩阵. 特别地, 当 k = 2 时, 称 B 为 A 的平方根, 记为 A 1 2 . (留作课外自习, 证明可参见相关资料) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 14/50
1-2-4向量范数与矩阵范数 一般线性空间上的范数 定义（范数与赋范线性空间）设S为数域F(F可以是R或C)上的线性空间，若对任意 x∈S,存在唯一实数与之对应，记为‖x‖，满足： (1)川x‖≥0，等号当且仅当x=0时成立；（正定性） (2)laxl=lal-llzll,廿a∈F;(正齐次性) (3)x+l≤x+‖y,Hx,y∈S:(三角不等式) 则称‖·‖为线性空间S上的范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空间. 多范数是从S到R+U{0}的一元函数 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 15/50
1-2-4 向量范数与矩阵范数 一般线性空间上的范数 定义 (范数与赋范线性空间) 设 S 为数域 F (F 可以是 R 或 C) 上的线性空间, 若对任意 x ∈ S, 存在唯一实数与之对应, 记为 ∥x∥, 满足: (1) ∥x∥ ≥ 0, 等号当且仅当 x = 0 时成立; (正定性) (2) ∥αx∥ = |α| · ∥x∥, ∀ α ∈ F; (正齐次性) (3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀ x, y ∈ S; (三角不等式) 则称 ∥ · ∥ 为线性空间 S 上的范数, 定义了范数的线性空间称为赋范线性空间. 范数是从 S 到 R+ ∪ {0} 的一元函数. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 15/50
举例 例C[a,b上的常用范数：设f(r)∈C[a,b) o1-范数：Ifl=fod: o2-范数：Vk=（(fIOPd证）2 or范数l=(fePd山）： (p为正整数) Ooo-范数：Ifl∞=maxf(x儿 a<x<b http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 16/50
举例 例 C[a, b] 上的常用范数: 设 f(x) ∈ C[a, b] 1-范数: ∥f∥1 = ˆ b a |f(x)| dx; 2-范数: ∥f∥2 = ˆ b a |f(x)| 2 dx 1 2 ; p-范数: ∥f∥p = ˆ b a |f(x)| p dx 1 p ; (p 为正整数) ∞-范数: ∥f∥∞ = max a≤x≤b |f(x)|. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 16/50