关于特征值的儿点说明 ⊙只有当A是方阵时，才具有特征值与特征向量； ⊙实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的： On阶矩阵总是存在n个特征值（其中可能有相等的），通常记为入1,2，·，入 ⊙特征值也可以通过特征多项式的零点来定义； )特征值有代数重数和几何重数，几何重数不超过代数重数： ⊙相似变换不改变矩阵的特征值，合同变换不改变矩阵的惯性指数 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 6/50
关于特征值的几点说明 只有当 A 是方阵时, 才具有特征值与特征向量; 实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的; n 阶矩阵总是存在 n 个特征值 (其中可能有相等的), 通常记为 λ1, λ2, . . . , λn; 特征值也可以通过特征多项式的零点来定义; 特征值有代数重数和几何重数, 几何重数不超过代数重数; 相似变换不改变矩阵的特征值, 合同变换不改变矩阵的惯性指数. 思考：设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则 (1) A∗ 和 A 的特征值和特征向量是什么关系? (2) A−1 和 A, 它们的特征值和特征向量是什么关系? (3) 设 p(t) 是多项式, 则 p(A) 和 A 的特征值与特征向量是什么关系? 有理函数呢? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/50
关于特征值的几点说明 ⊙只有当A是方阵时，才具有特征值与特征向量； ⊙实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的： )n阶矩阵总是存在n个特征值（其中可能有相等的），通常记为入1，入2，·，入 ○特征值也可以通过特征多项式的零点来定义： ⊙特征值有代数重数和几何重数，几何重数不超过代数重数： ⊙相似变换不改变矩阵的特征值，合同变换不改变矩阵的惯性指数 思考：设A∈Rnxn(或Cnxm),则 (1)A*和A的特征值和特征向量是什么关系？ (2)A-1和A,它们的特征值和特征向量是什么关系？ (3)设p(t)是多项式，则p(A)和A的特征值与特征向量是什么关系？有理函数呢？ http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 6/50
关于特征值的几点说明 只有当 A 是方阵时, 才具有特征值与特征向量; 实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的; n 阶矩阵总是存在 n 个特征值 (其中可能有相等的), 通常记为 λ1, λ2, . . . , λn; 特征值也可以通过特征多项式的零点来定义; 特征值有代数重数和几何重数, 几何重数不超过代数重数; 相似变换不改变矩阵的特征值, 合同变换不改变矩阵的惯性指数. 思考：设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则 (1) A∗ 和 A 的特征值和特征向量是什么关系? (2) A−1 和 A, 它们的特征值和特征向量是什么关系? (3) 设 p(t) 是多项式, 则 p(A) 和 A 的特征值与特征向量是什么关系? 有理函数呢? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/50
谱半径 定义（谱半径）设A∈Rmxn(或Cnxn),则称 p(A)≌max{I} AEO(A) 为A的谱半径，其中σ(A)为A谱，即所有特征值组成的集合： o(A)={1,A2,,入n} http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 7/50
谱半径 定义 (谱半径) 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则称 ρ(A) ≜ max λ∈σ(A) |λ| 为 A 的谱半径, 其中 σ(A) 为 A 谱, 即所有特征值组成的集合: σ(A) = {λ1, λ2, . . . , λn}. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/50
特征值与行列式和迹的关系 根据高次多项式的韦达定理，我们可以得到下面的结论： 定理设A∈Rnxn(或Cnxm),称tr(A)兰a11+a22+·+amn为矩阵A的迹(trace),有 X12…Xn=det(A),X1+2+·+入n=tr(A) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 8/50
特征值与行列式和迹的关系 根据高次多项式的韦达定理, 我们可以得到下面的结论. 定理 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 称 tr(A) ≜ a11 +a22 +· · ·+ann 为矩阵 A 的迹 (trace), 有 λ1λ2 · · · λn = det(A), λ1 + λ2 + · · · + λn = tr(A). http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/50
特征值分解（谱分解） 定义（特征值分解）设A∈Rnxn(或Cnxn).若存在非奇异矩阵X∈Cnxm,使得 X-1AX=A, (1.1) 其中△∈Cxn是对角矩阵，则称A是可对角化的，矩阵△的对角线元素即为A的特征 值，分解(1.1)称为矩阵A的特征值分解或谱分解。 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 9/50
特征值分解 (谱分解) 定义 (特征值分解) 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ). 若存在非奇异矩阵 X ∈ C n×n , 使得 X−1AX = Λ, (1.1) 其中 Λ ∈ C n×n 是对角矩阵, 则称 A 是可对角化的, 矩阵 Λ 的对角线元素即为 A 的特征 值, 分解 (1.1) 称为矩阵 A 的特征值分解或谱分解. 定理 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则 (1) A 可对角化当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当 A 的所有特征值的代数重数与几何重数都相等. 特别地, 若 A 有 n 个互不相等的特征值, 则 A 可对角化. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/50