N4(x)=f(x0)+(x-x)f[x0,x]+(x-x)x-x1)f[x0,x,x2] +(x-x0(x-x1)(x-x2)f[x0,x1,x2,x3 +(x-x0)(x-x1)(x-x2)x-x3)x,x1x2,x2x4 f(x)+(x-x)[x0,x1]+(x-x)[x0,x1,x2] +(x-x2)[x,x1x2,x3]) (423)
4 0 0 0 1 0 1 0 1 2 N x f x x x f x x x x x x f x x x ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] = + − + − − 0 1 2 0 1 2 3 + − − − ( )( )( ) [ , , , ] x x x x x x f x x x x 0 1 2 3 0 1 2 3 4 + − − − − ( )( )( )( ) [ , , , , ] x x x x x x x x f x x x x x 0 0 0 1 1 0 1 2 = + − + − f x x x f x x x x f x x x ( ) ( )( [ , ] ( )( [ , , ] 2 0 1 2 3 + − ( ) [ , , , ])) x x f x x x x (4.2.3)
例题 例42.1试用 Newton插值公式计算sinx在x=m/12 处的近似值。 解先列差商表如表422所示,所以得 N 0+(-0(0.954929658+ )(-0.2086076+ 丌丌 丌丌 )(-0.13648909+( )×0.028797106) =0.258587908
例题 例4.2.1 试用Newton插值公式计算sinx在x=π/12 处的近似值。 解 先列差商表如表 4.2.2 所示，所以得 0.258587908 ) 0.028797106))) 12 3 )( 0.13648909 ( 12 4 ( )( 0.2086076 12 6 0)(0.954929658 ( 12 ) 0 ( 12 (4 = − − + − = + − + − − + N
表422(=simx关于节点0,、、x乙的差商表 6432 x f(x)一阶差商 二阶差商三阶差商 四阶差商 0.954929658 2 -6π4元 791089691 -0.2086076 0.607024424 -0.35153865-0.13648909 0.25587263 -044710035-001254700028797106
表 4.2.2 f(x)=sin x 关于节点0, , , , 6 4 3 2 的差商表 k x ( ) k f x 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0 6 1 2 0.954 929 658 4 2 2 0.791 089 691 -0.208 607 6 3 3 2 0.607024424 -0.351 538 65 -0.136 489 09 2 1 0.255 872 63 -0.447 100 35 -0.091 254 70 0.028 797 106
算法42.1( Newton插值法) (1)输入:x,f (2)z1=f,(i=0,1,2,…,n) (3)计算差商 对i=1,2,…,n做 1)对/=,计1,…,n别5(巧一x) 2)对j=,计+1,…,n做==f
算法 4.2.1（Newton 插值法） (1) 输入： , i j x f (2) i j z f = （i=0，1，2，…，n） (3)计算差商 对 i=1，2，…，n 做 1)对 j =i，i+1，…，n 做 1 1 ( ) ( ) j j j j j z z f x x − − − = − ; 2)对 j =i，i+1，…，n 做 i j z f = ;
(4)计算插值Nl) 1)输入插值u: 2)=0; 3)对i=m,n-l,…,0做 v=v(-x)+f; (5)输出u4v
(4)计算插值 N(u) 1)输入插值 u； 2)v=0; 3) 对 i=n,n-1, … ， 0 做 i i v = v(u − x ) + f ； (5)输出 u,v