类似地可以证明N(x)=f(x)(i=01,2,m) 由插值的唯一性知:N(x)≡Ln(x),因此他们的余式也相等 即:(x)[x,x0,x2…xn] fT(s) O(x) n+ 故有差商与导数的关系 (n+1) n+1)! 其中,5介于x,x,x1x,的最大值与最小值之间
其中， 介于 的最大值与最小值之间。 故有差商与导数的关系 即： 由插值的唯一性知： 因此他们的余式也相等 类似地可以证明 n n n n n n n i i x x x x n f f x x x x x n f x f x x x x N x L x N x f x i n , , ,... 1)! ( ) [ , , ,... ] ( ) 1)! ( ) ( ) [ , , ,... ] ( ) ( ), ( ) ( ) ( 0,1,2,... ) 0 1 ( 1) 0 1 ( 1) 0 1 + = + = = = + +
重点插商 为使用方便,我们规定 fLx, x, xo,, n=lim f[x+h,x, xo, r, ., h->0 f[x+h,x0,x,…,xn]+八[x,x,x1,,x2 h->0 f[x,x0,x,…,xn d x 为重点插商
重点插商 为重点插商。 为使用方便，我们规定 [ , , ,..., ] [ , , ,..., ] [ , , ,..., ] [ , , , ,... ] [ , , , ,..., ] 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 lim lim n n n h n h n f x x x x dx d h f x h x x x f x x x x f x x x x x f x h x x x x = + + = = + → →
Newton插值计算 插商表1 f(x 阶插商二阶插商三阶插商单元号 f(0) f (x,)f[xo, x, f(1) x,)几xnx2】八xx,x F(2) x, f(x,)f[xo,x,] /Lxos x1 5/[xo, x, x2, *x,] R3) f(x,)fxo, x,]51xo, x, DX 0:41 x,x. Rn)
Newton插值计算 插商表1 一阶插商 二阶插商 三阶插商 单元号 F(0) F(1) F(2) F(3) … … … …… ……… F(n) ( ) k f x ( ) 0 f x ( ) 1 f x k x 0 x 1 x 2 x 3 x ( ) 2 f x ( ) 3 f x [ , ] 0 1 f x x [ , ] 0 2 f x x [ , ] 0 3 f x x [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 0 1 3 f x x x [ , , , ] 0 1 2 3 f x x x x n x ( ) n f x [ , ] 0 n f x x [ , , ] 0 1 n f x x x [ , , , ] 0 1 2 n f x x x x
插商表2 x4|fx)-阶差商二阶差商三阶差商 n阶差商 单元号 f(x0) F(0) x,f(x) f[xo,x, x2f(x2)fIx, x21 f[xo, x, x21 F(2) x3 f(x,)f[x2,-x31f[x,x2,x3 1 x,If(n) f[,]I f[xm-2, m-1, x,] f[rm-3, m-2,xm-l,*, fx,x…,x]F(n
插商表2 k x ( ) k f x 一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商 单元号 0 x ( ) 0 f x F(0) 1 x ( ) 1 f x 0 1 f x x [ , ] F(1) 2 x ( ) 2 f x 1 2 f x x [ , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] F(2) 3 x ( ) 3 f x 2 3 f x x [ , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] F(3) n x ( ) n f x 1 [ , ] n n f x x − 2 1 [ , , ] n n n f x x x − − 3 2 1 [ , , , ] n n n n f x x x x − − − 0 1 [ , , , ] n f x x x F(n)
求Mx) ■插商表1计算简单,好实现,但数值不稳 ■插商表2在计算机上稳定性好,但算法复 杂 计算M×)常采用秦九韶程序(取n=4)
求Nn (x) ◼ 插商表1计算简单，好实现，但数值不稳 定。 ◼ 插商表2在计算机上稳定性好，但算法复 杂。 ◼ 计算Nn (x)常采用秦九韶程序（取n=4）