例2求通解y+6y+9y=5xe3 解特征方程r2+6+9=0 特征根 r1=2=-3 齐通解Y=(1+c2x)e3x =-3是重根∴可设y=x2(Ax+B)e3x ap 2(x)=Ax+Bx o(x)=3Ax4+2Bx Q"(x)=64x+2B代入(*)式 6Ax+2B=5x→A=5,B=0→y=x3e-3x 5 非齐通解为 y=(1+c2x+x3)e-3x 6
求通解 x y y y xe 3 6 9 5 − + + = 解 特征方程 6 9 0 2 r + r + = 特征根 3 r1 = r2 = − 齐通解 x Y c c x e 3 1 2 ( ) − = + = −3是重根 x y x Ax B e 2 3 ( ) − 可设 = + 即 3 2 Q(x) = Ax + Bx Q (x) 3Ax 2Bx 2 = + Q(x) = 6Ax + 2B 代入（*）式 6Ax + 2B = 5x , 0 6 5 A = B = x y x e 3 3 6 5 − = 非齐通解为 x y c c x x e 3 3 1 2 ) 6 5 ( − = + + 例2
二、f(x)=Pn( x)e coax 型 f(x)=P(x) 2 SIna型及其组合型 f(x)=P(x)ecos ax f(x)=Pm()e sinac 分别是Pn(x)e (n+jo)x 的实部和虚部 考虑方程y"+my+q=P(x)e(x+o)x, 辅助方程 可设y=xQn(x)e(o)x Qn(x)是m次复系数多项式 记Qn(x)=Q1(x)+j2(x) Q1(x),Q2(x)均是m次实系数多项式
二、 f (x) = Pm (x)ex cos x型 f (x) = Pm (x)ex sinx型及其组合型 f x P x e x x m ( ) = ( ) cos f x P x e x x m ( ) = ( ) sin 分别是 j x mP x e ( ) ( ) + 的实部和虚部 ( ) , ( j ) x m y py qy P x e + 考虑方程 + + = 可设 j x m k y x Q x e( ) ( ) + = Qm (x)是m次复系数多项式 ( ) ( ) ( ) 记Qm x = Q1 x + jQ2 x Q1(x),Q2 (x)均是m次实系数多项式 辅助方程
y=xl2(x)+j22 (x)le (cos ax +jsin ax) =x'eie(x)cos ax-22(x)sin ax) +je(x)sin ax +o2(x)cos ax) 0,元+jo不是特征方程的根 ,+j是特征方程的单根 由分解定理 Rey=xele(x)cos ax-o,(x)sin ax Im y=xe i2(sin ax +o2(x)cos ax 分别是以f(x)=Pm(x) e cos or f(r)=pm (x)e sina 为自由项的非齐次线 性微分方程的特解
[ ( ) ( )] (cos sin ) y x Q1 x jQ2 x e x j x k x = + + ( ( )sin ( )cos )] [( ( )cos ( )sin ) 1 2 1 2 j Q x x Q x x x e Q x x Q x x k x + + = − + + = 是特征方程的单根 不是特征方程的根 j j k 1, 0, 由分解定理 Re [ ( )cos ( )sin ] y x e Q1 x x Q2 x x k x = − Im [ ( )sin ( )cos ] y x e Q1 x x Q2 x x k x = + 分别是以 f x P x e x x m ( ) = ( ) cos f x P x e x x m ( ) = ( ) sin 为自由项的非齐次线 性微分方程的特解