$ 13-2周期函数分解为傅单叶级数1.非正弦周期函数的分解根据高等数学知识：若非正弦周期信号f(t）满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶7f(t) = ao +k=1f(t) dt系数ao、ak、bk分别为:ao=Soao2f(t)sin(kit) dtak=T传！6
SDUT 内 部 资 料！ 请 勿 外 传！ T 2 6 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 f(t) = a0 +∑ [akcos(k1 t) + bksin(k1 t)] k=1 ∞ a0= T 1 ∫ 0 T f(t) dt ak= ∫ 0 T f(t) cos(k1 t) dt bk= T 2 ∫ 0 T f(t) sin(k1 t) dt 1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足 “狄里赫利条件” ，就能展开成一个收敛的傅里叶 级数。 系数 a0、ak、 bk分别为：
根据给定(t)的形式，积分区间也可以改为：SDIAT.T/22f(t) dtf(t) cos(ko,t) dtao=akTT-T/2T/22元T2f0 sin(ko,t) dtf(t)d(wit)aoT2元印0-T/2资料积分区间也可以是[0～2元]或[一元～元]，例如2元元f(t)cos(ka,t)d(wit) f(t)cos(kait)d(it)ak二元元0-元请2元f(t)sin(koit)d(a,t)bkf(t)sin(koit)d(o,t)元元0一元1
SDUT 内 部 资 料！ 请 勿 外 传！ 7 根据给定 f(t) 的形式，积分区间也可以改为： 积分区间也可以是 [0～2p] 或 [-p～p ]，例如： = p 1 ∫ f(t)cos(k1 t)d(1 t) -p p 0 2p ak= p 1 ∫ f(t)cos(k1 t)d(1 t) a0= T ∫ f(t) dt -T/2 1 T/2 ak= T 2 ∫ f(t) cos(k1 t) dt -T/2 T/2 bk= T 2 ∫ f(t) sin(k1 t) dt -T/2 T/2 = p 1 ∫ f(t)sin(k1 t)d(1 t) -p p 0 2p bk= p 1 ∫ f(t)sin(k1 t)d(1 t) a0 = ∫ f(t)d(1 t) 1 2p 2p 0
J[a,cos(kot) + brsin(koit)]f(t) =ag+K=展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数ak、b的意义也不明确。将展开式合并成更为适用的形式一余弦级数：零度Am中资bk= -AkmsinΦk8则 J(t) =A+ZAkmcos(koit + Φk)k=1b式中：Ao=ao， Akm=Va+bzΦk= arctanak勿外传！2n f(t)cos( kw,t)d(a it)Tf (t)sin( k,t)d(o, t)8
SDUT 内 部 资 料！ 请 勿 外 传！ 8 展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号 的对比时不方便，而且数 ak、bk的意义也不明确。 将展开式合并成更为适用的形式 — 余弦级数： 则 f(t) = A0+∑ k=1 ∞ Akmcos (k1 t + k) 式中： A0 = a0 , Akm = ak 2 + bk 2 k = arctan ak -bk f(t) = a0+∑ [akcos(k1 t) + bksin(k1 t)] k=1 ∞ 令 ak= Akmcos k bk= -Akmsink = = = = 2 π 0 1 1 2 π 0 1 1 0 0 0 ( ) sin( )d ( ) π 1 ( ) cos( )d ( ) π 1 ( )d 1 b f t k t t a f t k t t f t t T A a k k T
8Jt) 4+Akmcos (koit +Φk)Akm= Va+ be(k-1-bkk= arctan①A是,f(t)的恒定分量，ak或称为直流分量k=1的项Acos(@t +d)2具有与,(t)相同的频率y称基波分量基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。k>2的各项，分别称为二次谐波，，三次谐波等。统称高次谐波。请勿外传！
SDUT 内 部 资 料！ 请 勿 外 传！ 9 ① A0是 f(t) 的恒定分量， 或称为直流分量。 ② k=1的项 Amcos(1 t +1) 具有与 f(t) 相同的频率，称基波分量。 基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。 ③ k≥2的各项，分别称为二次谐波，三次谐波等。 统称高次谐波。 Akm = ak 2+ bk 2 k = arctan ak -bk f(t) = A0+∑ k=1 ∞ Akmcos (k1 t +k)
8SOTAkmcos (koit +dk)2.非正弦周期信号的频谱f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的f(t)，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。8 振幅频谱：f(t)展开式中Akm与の (=kの)的关系,反映了各频率成份的振幅所占的“比重”，因k是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。刀外传！名相位频谱：指蚁与の的关系10
SDUT 内 部 资 料！ 请 勿 外 传！ 10 2. 非正弦周期信号的频谱 f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的 f(t)， 正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各 次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频 率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。 振幅频谱： f(t)展开式中Akm与 (=k1)的关系。 反映了各频率成份的振幅所占的“比重” ，因 k是 正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。 相位频谱：指k与 的关系。 f(t) = A0+∑ k=1 ∞ Akmcos (k1 t +k)