多学科混合协同设计优化方法

D01:10.13374j.issnl00103x.2009.06.09 第31卷第6期 北京科技大学学报 Vol.31 No.6 2009年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jum.2009 多学科混合协同设计优化方法 蔡占军翁海珊俞必强 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要讨论了在多学科设计优化过程中，层级系统、非层级系统以及它们的子系统之间的相互关系，并将混合系统分成四 类.通过建立多学科设计优化过程中各子系统设计变量和目标函数的协同规则，研制了针对混合系统优化设计的多学科混合 协同设计优化方法.将此优化方法应用到微机械陀螺的优化设计中，取得了满意的结果. 关键词复杂系统：混合系统：多学科设计优化：微机械陀螺 分类号TH122 Multidisciplinary mixed collaborative design optimization CAI Zhan-jun.WENG Hai-shan,YU Bi-qiang School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083 China ABSTRACT The relationship of the hierarchic system the non-hierarchic system and their subsy stems w as studied in multidisci- plinary design optimization(M DO).The mixed system was divided into four stmuctures.A method of multidisciplinary mixed collabo- rative design optimization (MMCDO)was made by establishing the collaborative mules of variables and objective functions.An appli- cation of the MM CDO method to optimal design of a micromachined gy roscope show s satisfactory results. KEY WORDS complex system:mixed system:multidisciplinary design optimization:micromachined gy roscope 多学科设计优化(multidisciplinary design 的优化设计，本文提出一种多学科混合协同设计优 optimization,MDO)是一种对于由多个相互耦合、 化方法，并将其应用于微机械陀螺的优化设计之 相互关联的子系统组成的复杂工程系统进行设计的 中到 优化方法.多学科设计优化方法的主要思想是在复 1混合系统的结构类型 杂系统设计的整个过程中，集成各学科的知识，应用 有效的设计优化策略进行复杂系统的优化设计.通 混合系统包含层级系统和非层级系统.其中， 过充分协调各子系统之间的相互关系，运用协同规 层级系统的子系统之间具有层次关系，数据进行单 则进行多重优化，最终获得系统的整体最适解一？. 向传递，具有串行的特点：非层级系统的子系统之间 对于一个多学科的复杂系统经过系统分解后 没有层次关系，数据进行相互传递，具有并行的特 可以得到多个分属于不同学科的子系统.根据子系 点.层级系统和非层级系统的子系统之间也有数据 统之间的关系，可以将系统分为层级系统、非层级系 的传递，由此形成了混合系统的求解复杂性). 统和混合系统.层级系统的子系统之间具有一定的 按照混合系统中层级系统和非层级系统以及它 顺序层次关系：非层级系统的子系统之间相互耦合， 们的子系统之间的关系，将混合系统分为如下四种 没有相对的顺序层次关系，都处于同一等级：而混合 结构类型. 系统是由层级系统和非层级系统组成的，根据层级 第1类混合系统（图1），层级系统和非层级系 系统、非层级系统以及它们的子系统之间的相互关 统是并联的关系，它们之间发生数据的传递，具有相 系，混合系统可分为多种结构形式.针对混合系统 互的影响关系.在各层级系统和非层级系统的内部 收稿日期：200808-25 基金项目：教有部科学技术研究重点资助项目(No.106018) 作者简介：蔡占军(1971一).男，博士研究生：翁海珊(1946一).女，教授.博士生导师E-maik wenghs(@usth.血.m

多学科混合协同设计优化方法 蔡占军 翁海珊 俞必强 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 摘 要 讨论了在多学科设计优化过程中, 层级系统、非层级系统以及它们的子系统之间的相互关系, 并将混合系统分成四 类.通过建立多学科设计优化过程中各子系统设计变量和目标函数的协同规则, 研制了针对混合系统优化设计的多学科混合 协同设计优化方法.将此优化方法应用到微机械陀螺的优化设计中, 取得了满意的结果. 关键词 复杂系统;混合系统;多学科设计优化;微机械陀螺 分类号 TH 122 Multidisciplinary mixed collaborative design optimization CAI Zhan-jun , WENG Hai-shan , YU Bi-qiang S chool of Mechanical Engineering , University of S cience and Technology Beijing , Beijing 100083 , China ABSTRACT The relationship of the hierarchic sy stem, the non-hierarchic system and their subsy stems w as studied in multidisci￾plinary desig n optimization (M DO).The mix ed sy stem w as divided into four structures.A method of multidisciplinary mixed collabo￾rativ e design optimization (MMCDO)was made by establishing the collabo rative rules of variables and objective functions.An appli￾cation of the MMCDO method to optimal design of a micro-machined gy roscope show s satisfacto ry results. KEY WORDS complex system ;mixed system ;multidisciplinary desig n optimization ;micro-machined gy roscope 收稿日期:2008-08-25 基金项目:教育部科学技术研究重点资助项目(No .106018) 作者简介:蔡占军(1971—), 男, 博士研究生;翁海珊(1946—), 女, 教授, 博士生导师, E-mail:wengh s@ustb.edu.cn 多 学 科 设 计 优 化 (multidisciplinary desig n optimization , M DO)是一种对于由多个相互耦合 、 相互关联的子系统组成的复杂工程系统进行设计的 优化方法 .多学科设计优化方法的主要思想是在复 杂系统设计的整个过程中 ,集成各学科的知识 ,应用 有效的设计优化策略进行复杂系统的优化设计 .通 过充分协调各子系统之间的相互关系, 运用协同规 则进行多重优化 ,最终获得系统的整体最适解[ 1-2] . 对于一个多学科的复杂系统, 经过系统分解后 可以得到多个分属于不同学科的子系统 .根据子系 统之间的关系, 可以将系统分为层级系统、非层级系 统和混合系统.层级系统的子系统之间具有一定的 顺序层次关系;非层级系统的子系统之间相互耦合 , 没有相对的顺序层次关系 ,都处于同一等级;而混合 系统是由层级系统和非层级系统组成的, 根据层级 系统、非层级系统以及它们的子系统之间的相互关 系,混合系统可分为多种结构形式 .针对混合系统 的优化设计, 本文提出一种多学科混合协同设计优 化方法, 并将其应用于微机械陀螺的优化设计之 中[ 3] . 1 混合系统的结构类型 混合系统包含层级系统和非层级系统.其中, 层级系统的子系统之间具有层次关系, 数据进行单 向传递 ,具有串行的特点;非层级系统的子系统之间 没有层次关系 , 数据进行相互传递, 具有并行的特 点 .层级系统和非层级系统的子系统之间也有数据 的传递 ,由此形成了混合系统的求解复杂性 [ 4-5] . 按照混合系统中层级系统和非层级系统以及它 们的子系统之间的关系 , 将混合系统分为如下四种 结构类型. 第 1 类混合系统(图 1), 层级系统和非层级系 统是并联的关系, 它们之间发生数据的传递,具有相 互的影响关系.在各层级系统和非层级系统的内部 第 31 卷 第 6 期 2009 年 6 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .31 No.6 Jun.2009 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2009.06.019

第6期 蔡占军等：多学科混合协同设计优化方法 793。 的子系统之间也发生数据传递，产生相互影响. 混合系统最复杂的结构形式 总系统 总系统 层级系统丁 、层级系统)…非层级系统。非层级系统… 层级系统非层级系统…非层级系统 层级系统 图1第1类混合系统模型 非层级系统 非层级系统 层级系统 Fig.I Model of the first styk mixed system 层级系统 层级系统 第2类混合系统（图2），层级系统中嵌入了非 层级系统，层级系统与嵌入的非层级系统之间有数 图4第4类混合系统模型 据传递，同时层级系统之间、非层级系统之间也有数 Fig 4 Model of the fourth style mixed system 据传递，整个混合系统在总体上看来是一个串行 结构. 2多学科混合协同设计优化方法的协同 总系统 规则 在多学科设计优化方法中，复杂系统分解成了 、层级系统 多个子系统，其中具有耦合关系的设计变量和状态 (层级系统 变量在不同的子系统优化时，得到的优化结果会产 生不一致：同时，各子系统优化的目标函数值与它们 非层级系统非层级系统二…非层级系统 独立优化时的目标函数最优值也会产生差异.这些 层级系统 情况都会在优化过程中形成冲突.如何消除这种冲 突，这就需要建立设计变量、状态变量和目标函数的 图2第2类混合系统模型 协同规则，保证它们的协同一致. Fig 2 Model of the second styh mixed system 2.1设计变量和状态变量的协同规则 第3类混合系统（图3），非层级系统中嵌入层 公用设计变量是在多个子系统中起作用的设计 变量，局域设计变量是只在某一子系统内起作用的 级系统，非层级系统与嵌入其中的层级系统发生数 变量，需要考虑公用设计变量的协同问题.对于系 据传递。同时非层级系统之间、层级系统之间也有数 据传递，整个混合系统在总体上看来是一个并行 统中第k个公用设计变量xsH,若经过系统分解 结构. 后，在第i和第j个子系统中起作用，在这两个子系 统内相应的设计变量为xsH:和xsH,显然xs出k、 总系统 xsH:和sH表示的实际上是同一个设计变量.经 过一次系统级优化和子系统i和子系统广的单独优 非层级系统 非层级系统仁 非层级系统 化，同一设计变量得到了三个结果，xs、xsH:和 (层级系统 xs·一般情况下，这三个值是不同的，这就产生同 一设计变量的值在不同优化过程中的不一致性即 变量值冲突.上述分析可推广到多个子系统中.因 (层级系统 此，需要建立公用设计变量的协同规则，以保证公用 设计变量值在多学科设计优化过程中达到一致. 图3第3类混合系统模型 Fig.3 Model of the third style mixed system 状态函数是本子系统设计变量的函数，对于第 i个子系统的一个状态函数x:=y:(x:,xi为第i 第4类混合系统（图4），兼有以上三类系统的 个子系统的设计变量，对第方个子系统以状态变量 特点，层级系统和非层级系统的关系十分复杂，既有 形式xY产生影响.状态变量是在本子系统中作为 层级系统中嵌入非层级系统的情况，又有非层级系 变量来参与优化设计的其他子系统的状态函数.在 统中嵌入层级系统的情况，在层级系统、非层级系统 i可子系统独立优化时，在第i个子系统优化得到 和各子系统之间都有可能发生数据信息传递.这是 的状态函数最优值x:和在第j个子系统优化得到

的子系统之间也发生数据传递 ,产生相互影响 . 图 1 第 1 类混合系统模型 Fig.1 Model of the first st yle mixed system 第 2 类混合系统(图 2),层级系统中嵌入了非 层级系统, 层级系统与嵌入的非层级系统之间有数 据传递,同时层级系统之间、非层级系统之间也有数 据传递 , 整个混合系统在总体上看来是一个串行 结构 . 图 2 第 2 类混合系统模型 Fig.2 Model of the second st yle mixed system 第 3 类混合系统(图 3),非层级系统中嵌入层 级系统 ,非层级系统与嵌入其中的层级系统发生数 据传递,同时非层级系统之间 、层级系统之间也有数 据传递 , 整个混合系统在总体上看来是一个并行 结构 . 图 3 第 3 类混合系统模型 Fig.3 Model of the third style mixed syst em 第 4 类混合系统(图 4),兼有以上三类系统的 特点 ,层级系统和非层级系统的关系十分复杂 ,既有 层级系统中嵌入非层级系统的情况 ,又有非层级系 统中嵌入层级系统的情况 ,在层级系统 、非层级系统 和各子系统之间都有可能发生数据信息传递 .这是 混合系统最复杂的结构形式 . 图 4 第 4 类混合系统模型 Fig.4 Model of the fourth style mixed system 2 多学科 混合 协同 设计 优化 方法 的协 同 规则 在多学科设计优化方法中, 复杂系统分解成了 多个子系统, 其中具有耦合关系的设计变量和状态 变量在不同的子系统优化时 ,得到的优化结果会产 生不一致;同时,各子系统优化的目标函数值与它们 独立优化时的目标函数最优值也会产生差异.这些 情况都会在优化过程中形成冲突.如何消除这种冲 突 ,这就需要建立设计变量 、状态变量和目标函数的 协同规则,保证它们的协同一致 . 2.1 设计变量和状态变量的协同规则 公用设计变量是在多个子系统中起作用的设计 变量 ,局域设计变量是只在某一子系统内起作用的 变量 ,需要考虑公用设计变量的协同问题 .对于系 统中第 k 个公用设计变量 xSHk , 若经过系统分解 后 ,在第 i 和第j 个子系统中起作用 ,在这两个子系 统内相应的设计变量为 x SHki 和 xSHkj , 显然 x SHk 、 xSHki和 xSHkj表示的实际上是同一个设计变量 .经 过一次系统级优化和子系统 i 和子系统 j 的单独优 化 ,同一设计变量得到了三个结果, x ＊ SHk 、x ＊ SHki 和 x ＊ SHkj .一般情况下, 这三个值是不同的 ,这就产生同 一设计变量的值在不同优化过程中的不一致性, 即 变量值冲突.上述分析可推广到多个子系统中.因 此 ,需要建立公用设计变量的协同规则,以保证公用 设计变量值在多学科设计优化过程中达到一致 . 状态函数是本子系统设计变量的函数, 对于第 i 个子系统的一个状态函数 x Fi =y i(x i), x i 为第 i 个子系统的设计变量 , 对第 j 个子系统以状态变量 形式 x Y ij产生影响 .状态变量是在本子系统中作为 变量来参与优化设计的其他子系统的状态函数.在 i 、j 子系统独立优化时, 在第 i 个子系统优化得到 的状态函数最优值 x ＊ F i和在第 j 个子系统优化得到 第 6 期 蔡占军等:多学科混合协同设计优化方法 · 793 ·

。794 北京科技大学学报 第31卷 的状态变量最优值xY矿，在一般情况下是不同的，而 此，一般情况下，第i个子系统优化得到最优目标函 x:和xY前实际上是在不同子系统中同一函数的不 数值f都大于独立优化最优值，有Pf.为了使 同表现形式，这样就产生了相应的状态函数和状态 得f与f:趋于一致，对于n个子系统来说建立 变量值的不一致现象.同样，子系统的状态函数 如下目标函数的协同规则： xF与子系统i的状态变量xYi的值也可能出现不一 - (4) 致.对于多个子系统来说，多个相应的状态函数和 minF= N名 (f)2 状态变量同样也可能出现这样的不一致现象. 由式(4)知，求F最小值的过程，也就是各子系 为了达到公用设计变量和状态变量的一致，特 统目标函数优化值向其独立优化最优值接近的过 制定如下协同规则： 程，当F收敛时，即各子系统的目标函数与独立优 XsH:-Xs|十|XY-Xl≤e1 (1) 化最优值达到协同一致. (XH-X)2+(X:-X)P≤ (2) 3多学科设计优化实例 Iln(XsH/Xs知)引+lln(Xi/X)引≤e3(3) 3.1微机械陀螺的工作原理及设计要求 其中，e1、E2和e3是一个预先规定的正数：XsHi、 梳状驱动音叉式振动微机械陀螺的基本结构如 XsH为第i、j个子系统的公用设计变量向量，即由 图5所示，整个结构以x轴和y轴对称，两边驱动 公用设计变量组成的向量：Xy为第i个子系统的状 器和中间驱动器固定在基座上，两检测质量平 态变量向量，即由状态变量组成的向量；X为第j 板上的梳齿和驱动器上的梳齿构成梳齿电容，通过 个子系统对应的状态函数向量，即由状态函数组成 预载的电压驱动质量平板沿x方向作往复线振动. 的向量 当陀螺在惯性空间转动时，产生哥氏效应，受到垂直 22目标函数的协同规则 于质量平板的哥氏力作用，质量平板绕y轴作角振 对于第i个子系统的目标函数f,其在独立优 动.质量平板和固定在基底的电极构成质量平板电 化时得到最优目标函数值f;,即第i个子系统的目 容，绕y轴作角振动引起质量平板产生角位移，造 标函数独立优化最优值.在总系统级优化的协调 成质量平板与基底电极的间距发生变化，从而使得 下，受到公用设计变量和状态变量需要协同一致的 质量平板电容产生改变.通过检测质量平板电容的 影响，各子系统的目标函数都要采取一定的让步；因 变化可以测得陀螺的角速度$9 横梁 边驱动器 中间驱动器 固定齿 检测质量平板 固定点 扭转梁 动齿 弯曲梁 图5梳状驱动音叉式振动微机械陀螺结构 Fig.5 Structure of a comb drive turing fork micro-machine vibratory gyroscope 图5所示的微机械陀螺的设计要求为：①结构 方向的固有角频率在保证检测带宽的情况下尽可能 稳定性要求，陀螺的结构框架要满足强度和刚度的 地匹配驱动方向和敏感方向的最大位移要小于许 要求，即陀螺结构框架各部分最大应力应该小于许 用值：③灵敏度越大越好，分辨率越小越好，这就要 用应力，结构的敏感方向刚度要大于静电负刚度； 求驱动方向的品质因数要大于100，寄生哥氏力相 ②工作可靠性要求，敏感方向的固有角频率和驱动 对于哥氏力要小于1%，用于驱动的梳齿电容和用

的状态变量最优值 x ＊ Y ij , 在一般情况下是不同的, 而 x F i和 x Y ij 实际上是在不同子系统中同一函数的不 同表现形式 ,这样就产生了相应的状态函数和状态 变量值的不一致现象.同样, 子系统 j 的状态函数 x F j与子系统i 的状态变量 x Y ji的值也可能出现不一 致.对于多个子系统来说, 多个相应的状态函数和 状态变量同样也可能出现这样的不一致现象 . 为了达到公用设计变量和状态变量的一致, 特 制定如下协同规则: XSHi -XSHj + XY i -XF j ≤ε1 (1) (XSHi -XSHj)2 +(XY i -XF j)2 ≤ε2 (2) ln(XSHi/ XSHj) + ln(XYi/ XF j) ≤ε3 (3) 其中 , ε1 、ε2 和 ε3 是一个预先规定的正数;XSHi 、 XSHj为第i 、j 个子系统的公用设计变量向量 , 即由 公用设计变量组成的向量 ;XY i为第i 个子系统的状 态变量向量 , 即由状态变量组成的向量 ;XF j 为第 j 个子系统对应的状态函数向量 , 即由状态函数组成 的向量. 2.2 目标函数的协同规则 对于第 i 个子系统的目标函数 fi , 其在独立优 化时得到最优目标函数值 f ＊ i ,即第 i 个子系统的目 标函数独立优化最优值 .在总系统级优化的协调 下,受到公用设计变量和状态变量需要协同一致的 影响 ,各子系统的目标函数都要采取一定的让步;因 此 ,一般情况下,第 i 个子系统优化得到最优目标函 数值f i 都大于独立优化最优值,有 fi >f ＊ i .为了使 得 fi 与f ＊ i 趋于一致 , 对于 n 个子系统来说, 建立 如下目标函数的协同规则: minF = ∑ n i =1 (fi -f ＊ i ) 2 (f ＊ i ) 2 (4) 由式(4)知,求 F 最小值的过程,也就是各子系 统目标函数优化值向其独立优化最优值接近的过 程 ,当 F 收敛时, 即各子系统的目标函数与独立优 化最优值达到协同一致 . 3 多学科设计优化实例 3.1 微机械陀螺的工作原理及设计要求 梳状驱动音叉式振动微机械陀螺的基本结构如 图 5 所示 ,整个结构以 x 轴和y 轴对称, 两边驱动 器和中间驱动器固定在基座上[ 6-7] , 两检测质量平 板上的梳齿和驱动器上的梳齿构成梳齿电容 ,通过 预载的电压驱动质量平板沿 x 方向作往复线振动. 当陀螺在惯性空间转动时, 产生哥氏效应 ,受到垂直 于质量平板的哥氏力作用, 质量平板绕 y 轴作角振 动 .质量平板和固定在基底的电极构成质量平板电 容 ,绕 y 轴作角振动引起质量平板产生角位移, 造 成质量平板与基底电极的间距发生变化 , 从而使得 质量平板电容产生改变 .通过检测质量平板电容的 变化可以测得陀螺的角速度 [ 8-9] . 图 5 梳状驱动音叉式振动微机械陀螺结构 Fig.5 Structure of a comb dri ve tuning fork mi cro-machine vibrat ory gyroscope 图 5 所示的微机械陀螺的设计要求为:①结构 稳定性要求 ,陀螺的结构框架要满足强度和刚度的 要求, 即陀螺结构框架各部分最大应力应该小于许 用应力 ,结构的敏感方向刚度要大于静电负刚度 ; ②工作可靠性要求 ,敏感方向的固有角频率和驱动 方向的固有角频率在保证检测带宽的情况下尽可能 地匹配, 驱动方向和敏感方向的最大位移要小于许 用值;③灵敏度越大越好, 分辨率越小越好 ,这就要 求驱动方向的品质因数要大于 100 , 寄生哥氏力相 对于哥氏力要小于 1 %, 用于驱动的梳齿电容和用 · 794 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷

第6期 蔡占军等：多学科混合协同设计优化方法 ·795。 于检测的质量平板电容都要大于规定的最小值和： 和Xs如4、XY4,形成并行关系的非层级系统.层级系 ④陀螺的质量要求，质量越小越好. 统与非层级系统中的结构设计子系统相互传递数据 3.2微机械陀螺的多学科设计优化 集XH13、XY13和XsHB1、XY31,层级系统与非层级系 根据微机械陀螺的结构特点，按照上述的设计 统中的电学性能子系统相互传递数据集XsH4、 要求，将整个系统分为机械性能子系统、结构设计子 XY14和XsH41、X41.这样，微机械陀螺的多学科设 系统和电学性能子系统.如图6所示，机械性能子 计优化模型中就包含了串行和并行的子系统，构成 系统包含了模态分析子系统和灵敏度分析子系统， 混合系统，属于第一类混合系统0 模态分析子系统向灵敏度分析子系统单向传递数据 图6所示的微机械陀螺多学科设计优化模型 集XsH1和Xy1,形成串行关系的层级系统.结构设 中，根据设计要求得到的各子系统的目标函数和约 计子系统和电学子系统相互传递数据集Xs3、XY3 束函数说明如下， 总系统 层级系统 min F-F(X) s.LgX)≤0，=1,4 厂模态分析子系统1 X,X1f,f行 X-(XmX。.X)于 Xau.Xrn.f.f min=创-似 s.L81小-x≥0 Xsn,Xy.Fa 8小2≥0 8=g-,-157≥0 Xoa.Xy,Far Xi-(Xsm,Xpi.Xn) 非层级系统 结构设计子系统3 Xan.Xn Xaoi,Xo 电学性能子系统4 min =m 灵敏度分析子系统2■ min fr min f=1/S Xsm.Xyu s.t.gkk.20 g{o-a≥0 s.Lg4-CCa■≥0 stg1-Q-100≥0 gm=20.-1.20 ga=C.-C=≥0 g如0.01-f队≥0 84-2以≥0 X-(Xsm.Xp Xy) X(XsG Xo X) X-(Xso.Xo X) Xsina,Xy 图6微机械陀螺的多学科设计优化模型 Fig.6 MDO model of a micro-machine gy roscope 模态分析子系统的目标函数是使敏感方向固有 辨率r最小.需要满足的约束条件为：(1)用于驱 角频率和驱动方向固有角频率的差值最小. 动的梳齿电容Ca要大于规定的最小电容值Cmim: 需要满足的约束条件为：(1)驱动方向的最大位移 (2)用于检测的质量平板电容Cm要大于规定的最 xm要小于许用值[x];(2)敏感方向的最大位移 小电容值Cmmin· zm要小于许用值[z]:(3)敏感模态固有角频率， 模态分析子系统传递到灵敏度分析子系统的数 至少要比驱动模态固有角频率wr大157ads'. 据集Xs=[vdda,ha,Xr=[r,].结构设 灵敏度分析子系统的目标函数是微机械陀螺的 计子系统传递到电学性能子系统的数据集Xs3= 灵敏度s的倒数，优化结果得到灵敏度倒数最小值， vd,dm dd,hdl,Xy3=[Ad,Am,wx,wy,my, 即得到灵敏度的最大值.需要满足的约束条件为： Q],电学性能子系统传递到结构设计子系统的数 (1)驱动方向的品质因数Qx要大于100：(2)寄生 据集XsH4=[v,dm,d,hd,Xr4=[Aa,Am 哥氏力f。相对于哥氏力f要小于1%. x,,my,Q].层级系统传递到结构设计子系 结构设计子系统的目标函数是微机械陀螺的质 统的数据集Xs13=[vd,Ix,wm,dd,hd,XYB= 量最小.需要满足的约束条件为：(1)陀螺结构的 [wx,,kx,k,mx,my,Q].层级系统传递到 最大应力ōmx应该小于许用应可；(2)结构的敏 电学性能子系统的数据集XsI4=[vd,dd,hd, 感方向刚度k,要大于静电负刚度k:(3)2倍的质 Xv4=[mx,m小.结构设计子系统传递到层级系 量平板的宽度wm要大于两个质量平板之间的距离 统的数据集Xs31=[vd,x,wm,dd,hd,XY31= lx:(4)弯曲梁的长度1，要大于两倍的扭转梁的长 【x,,kx,ky,mx,my,].电学性能子系统 度1. 传递到层级系统的数据集Xs41=【vd,da,hd, 电学性能子系统的目标函数是微机械陀螺的分 XY41=[mx,m,小.其中，va为驱动电压，da为梳齿

于检测的质量平板电容都要大于规定的最小值和 ; ④陀螺的质量要求, 质量越小越好 . 3.2 微机械陀螺的多学科设计优化 根据微机械陀螺的结构特点, 按照上述的设计 要求 ,将整个系统分为机械性能子系统 、结构设计子 系统和电学性能子系统.如图 6 所示, 机械性能子 系统包含了模态分析子系统和灵敏度分析子系统 , 模态分析子系统向灵敏度分析子系统单向传递数据 集 XSH1和 XY1 ,形成串行关系的层级系统 .结构设 计子系统和电学子系统相互传递数据集 XSH3 、XY3 和 XSH4 、XY4 ,形成并行关系的非层级系统 .层级系 统与非层级系统中的结构设计子系统相互传递数据 集 XSH13 、XY13和 XSH31 、XY31 ,层级系统与非层级系 统中的电学性能子系统相互传递数据集 XSH14 、 XY14和 XSH41 、XY41 .这样 , 微机械陀螺的多学科设 计优化模型中就包含了串行和并行的子系统 ,构成 混合系统,属于第一类混合系统[ 10] . 图 6 所示的微机械陀螺多学科设计优化模型 中 ,根据设计要求得到的各子系统的目标函数和约 束函数说明如下. 图 6 微机械陀螺的多学科设计优化模型 Fig.6 MDO model of a micro-machine gy roscope 模态分析子系统的目标函数是使敏感方向固有 角频率 ωy 和驱动方向固有角频率 ωx 的差值最小 . 需要满足的约束条件为 :(1)驱动方向的最大位移 x max要小于许用值[ x] ;(2)敏感方向的最大位移 z max要小于许用值[ z] ;(3)敏感模态固有角频率 ωy 至少要比驱动模态固有角频率 ωx 大 157 rad·s -1 . 灵敏度分析子系统的目标函数是微机械陀螺的 灵敏度 s 的倒数 ,优化结果得到灵敏度倒数最小值 , 即得到灵敏度的最大值.需要满足的约束条件为 : (1)驱动方向的品质因数 Qx 要大于 100 ;(2)寄生 哥氏力 f p 相对于哥氏力 f k 要小于 1 %. 结构设计子系统的目标函数是微机械陀螺的质 量最小 .需要满足的约束条件为 :(1)陀螺结构的 最大应力 σmax应该小于许用应力[ σ] ;(2)结构的敏 感方向刚度 ky 要大于静电负刚度k e ;(3)2 倍的质 量平板的宽度 w m 要大于两个质量平板之间的距离 l x ;(4)弯曲梁的长度 l b 要大于两倍的扭转梁的长 度 ls . 电学性能子系统的目标函数是微机械陀螺的分 辨率 r 最小.需要满足的约束条件为 :(1)用于驱 动的梳齿电容 Cd 要大于规定的最小电容值 Cdmin; (2)用于检测的质量平板电容 Cm 要大于规定的最 小电容值 Cmmin . 模态分析子系统传递到灵敏度分析子系统的数 据集 XSH1 =[ v d , dd , hd] , XY1=[ ωx , ωy ] .结构设 计子系统传递到电学性能子系统的数据集 XSH3 = [ v d , d m , dd , hd] , XY3 =[ A d , A m , ωx , ωy , my , Qx] .电学性能子系统传递到结构设计子系统的数 据集 XSH4 =[ v d , dm , d d , hd] , XY4 =[ Ad , A m , ωx , ωy , my , Qx ] .层级系统传递到结构设计子系 统的数据集 XSH13 =[ v d , lx , w m , d d , h d] , XY13 = [ ωx , ωy , k x , ky , mx , my , Qx ] .层级系统传递到 电学性能子系统的数据集 XSH14 =[ vd , dd , hd ] , XY14 =[ mx , my ] .结构设计子系统传递到层级系 统的数据集 XSH31 =[ v d , lx , w m , d d , h d] , XY31 = [ ωx , ωy , k x , ky , mx , my , Qx ] .电学性能子系统 传递到层级系统的数据集 XSH41 =[ v d , dd , hd] , XY41 =[ mx , my ] .其中, v d 为驱动电压, dd 为梳齿 第 6 期 蔡占军等:多学科混合协同设计优化方法 · 795 ·

。796 北京科技大学学报 第31卷 之间的距离，hd为梳齿的厚度，mx为驱动方向的等 的公用设计变量XH和状态变量X3传递给电学 效质量，m,为敏感方向的等效质量，Q为驱动方 性能子系统进行优化同时，电学性能子系统的公用 向的品质因数，Am为质量平板电容的极板正对面 设计变量Xs4和状态变量XY4传递给结构设计子 积A:为梳齿电容的极板正对面积dm为质量平板 系统进行优化.④总系统级指导下的协同优化，总 电容的极板间距，kx为驱动方向的等效刚度，k为 系统级优化得到的公用设计变量和状态变量的优化 敏感方向的等效刚度， 值分别传递到层级系统和非层级系统，按照式(1)、 图6所示的微机械陀螺的多学科混合协同设计 (2)和(3)的公用设计变量和状态变量的协同规则， 优化方法的实现过程，主要有以下几个步骤：①层 构造协同函数FC1和F2分别叠加到层级系统和非 级系统和非层级系统的各子系统，各自独立优化得 层级系统的子系统目标函数上，进行协同优化，直至 到其目标函数独立优化最优值f:(i=1,2,3,4,将 求得系统的最适解. ∫：传递到总系统.②层级系统的优化.层级系统 3.3优化结果及分析 在优化时，模态分析子系统的公用设计变量Xs1和 (1)优化结果.利用已研制的多学科混合协同 状态变量XY1传递给子系统2进行优化.③非层级 设计优化(MM CDO)算法对上述模型进行求解得 系统的优化.非层级系统优化时，结构设计子系统 到的结果如表1所示. 表1微机械陀螺的优化结果 Table 1 Optimal result of the micro-machine gyroscope 变量或函数 模态分析子系统 灵敏度分析子系统 结构设计子系统 电学性能子系统 总系统 vV 3483 3483 34.81 3479 3483 dm/10-6m 一 一 435 432 430 d/10-6m 260 260 262 264 260 h/10-6m 426 426 428 426 425 w/(105rads-1) 1.62987 1.62987 1.62988 1.62981 1.62987 ",/(103ds-) 1.63148 1.63148 1.63145 1.63145 1.63148 4a10-9m2 一 478 474 479 Am/10-7m2 一 351 355 3.53 m/10-8kg 一 一 1.65 1.64 162 m/10-8kg 1.45 L.46 145 2x 1185 1186 1185 目标函数 f=157.5434 2=1272987 f=1197X10-1 f=9.85X10-2 F=065 约束函数 81=8.00X106 821=6809 831=6495x104 84=2655X107 g1=01012 812=5.00X10-6 82=3.85X10-5 832=1.357X10-5 83=1.589X106 82=008227 83=1.016X105 833=6225X10-4 83=02668 834=2979x104 84=009711 图7所示的是各子系统设计变量的不一致值 计算结果和迭代过程说明了各子系统的设计变 E- ∑[(X知：-X2+(XY:-X)乃随迭代次 量和目标函数都达到了协同一致，满足约束条件，结 。=1 果合理有效. 数逐渐减小的过程.图8所示的是系统级的目标函 (2)结果分析.优化结果与3.1节微机械陀螺 数F= (-f 的设计要求对比分析见表2. 随迭代次数逐渐收敛的过 由表2可知，应用多学科混合协同设计优化方 程 法得到的微机械陀螺的优化结果符合设计要求

之间的距离, hd 为梳齿的厚度 , mx 为驱动方向的等 效质量, my 为敏感方向的等效质量, Qx 为驱动方 向的品质因数 , A m 为质量平板电容的极板正对面 积, Ad 为梳齿电容的极板正对面积, dm 为质量平板 电容的极板间距 , k x 为驱动方向的等效刚度 , ky 为 敏感方向的等效刚度 . 图 6 所示的微机械陀螺的多学科混合协同设计 优化方法的实现过程, 主要有以下几个步骤:① 层 级系统和非层级系统的各子系统 ,各自独立优化得 到其目标函数独立优化最优值 f ＊ i (i =1 , 2 , 3 , 4), 将 f ＊ i 传递到总系统 .②层级系统的优化 .层级系统 在优化时, 模态分析子系统的公用设计变量 XSH1和 状态变量 XY1传递给子系统 2 进行优化 .③非层级 系统的优化 .非层级系统优化时, 结构设计子系统 的公用设计变量 XSH3和状态变量 XY3传递给电学 性能子系统进行优化;同时 ,电学性能子系统的公用 设计变量 XSH4和状态变量 XY4传递给结构设计子 系统进行优化 .④总系统级指导下的协同优化 ,总 系统级优化得到的公用设计变量和状态变量的优化 值分别传递到层级系统和非层级系统 ,按照式(1)、 (2)和(3)的公用设计变量和状态变量的协同规则, 构造协同函数 F C1和 F C2分别叠加到层级系统和非 层级系统的子系统目标函数上, 进行协同优化, 直至 求得系统的最适解 . 3.3 优化结果及分析 (1)优化结果.利用已研制的多学科混合协同 设计优化(MM CDO)算法对上述模型进行求解, 得 到的结果如表 1 所示. 表 1 微机械陀螺的优化结果 Table 1 Optimal result of the micro-machine gyroscope 变量或函数 模态分析子系统 灵敏度分析子系统 结构设计子系统 电学性能子系统 总系统 v d/ V 34.83 34.83 34.81 34.79 34.83 d m /10 -6 m — — 4.35 4.32 4.30 d d / 10 -6 m 2.60 2.60 2.62 2.64 2.60 h d / 10 -6 m 42.6 42.6 42.8 42.6 42.5 ωx /(10 5 rad·s -1) 1.629 87 1.629 87 1.629 88 1.629 81 1.629 87 ωy /(10 5 rad·s -1) 1.631 48 1.631 48 1.631 45 1.631 45 1.631 48 A d/ 10 -9 m 2 — — 4.78 4.74 4.79 Am/ 10 -7 m 2 — — 3.51 3.55 3.53 m x/ 10 -8 kg — — 1.65 1.64 1.62 m y/ 10 -8 kg — — 1.45 1.46 1.45 Q x — — 118.5 118.6 118.5 目标函数 f 1=157.543 4 f 2 =127 298.7 f 3 =1.197×10 -7 f 4 =9.85×10 -2 F =0.65 约束函数 g 11 =8.00×10 -6 g 21 =680.9 g 31 =6.495×10 -4 g 41 =2.655×10 -7 g 1 =0.101 2 g 12 =5.00×10 -6 g 22 =3.85×10 -5 g 32 =1.357×10 -5 g 42 =1.589×10 -6 g 2 =0.082 27 g 13 =1.016×10 5 g 33 =6.225×10 -4 g 3 =0.266 8 g 34 =2.979×10 -4 g 4 =0.097 11 图 7 所示的是各子系统设计变量的不一致值 ε= ∑ 4 i , j =1 i ≠j [ (XSHi -XSHj)2 +(XY i -XFj)2 ] 随迭代次 数逐渐减小的过程.图 8 所示的是系统级的目标函 数 F = ∑ 4 i =1 (fi -f ＊ i ) 2 (f ＊ i ) 2 随迭代次数逐渐收敛的过 程. 计算结果和迭代过程说明了各子系统的设计变 量和目标函数都达到了协同一致 ,满足约束条件 ,结 果合理有效 . (2)结果分析.优化结果与 3.1 节微机械陀螺 的设计要求对比分析见表 2 . 由表 2 可知 ,应用多学科混合协同设计优化方 法得到的微机械陀螺的优化结果符合设计要求 . · 796 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷