注:⑦通常不能确定5,而是估计/(x)sMm, VxE(a,b) 将x-x|作为误差估计上限 当f(x)为任一个次数≤n的多项式时,f+)(x)≡0, 可知Rn(x)≡0,即插值多项式对于次数≤n的多项式 是精确的。 Quiz:给定x=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是lx)的图像?
注： 通常不能确定 x , 而是估计 , x(a,b) 将 作为误差估计上限。 1 ( 1) ( ) + + n f n x M = + - + n i i n x x n M 0 1 | | ( 1)! 当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。 ( ) 0 ( 1) + f x n Rn (x) 0 Quiz:给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2 (x)的图像？ y 0 - - 1- 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - 1- 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - 1- 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x A B C ✓
例:已知sm=2,4=23 兀√3 分别利用如mx的次、2次M图r插值计算sns 并估计误差。 50 解:n=1分别利用x,x1以及x1,x2计算 中利用xn=z,x1= 1(x)=x-z/4 丌/6 6 丌/6-丌/42丌/4-/6"√2 內插通常优于外推。选择 P()=smn5,5e(《3) 要计算的x所在的区间的 端点,插值效果较好。 sin50°=0.7660444. 外推/ extrapolation的差≈-0.01001 中利用x=,x2=sin50°0 38,0.005388/5z)∠0.0660 18 插/ interpolation+的实际误差≈0.00596
例：已知 2 3 3 , sin 2 1 4 , sin 2 1 6 sin = = = 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。 解： 0 x 1 x x2 18 5 500 = n = 1 分别利用x0 , x1 以及 x1 , x2 计算 4 , 6 0 1 利用 x = x = 2 1 / 4 / 6 / 6 2 1 / 6 / 4 / 4 ( ) 1 - - + - - = x x L x 这里 ) 3 , 6 ( ) sin , ( ) sin , ( (2) f x = x f x = - x x 而 ) 4 )( 6 ( 2 ! ( ) , ( ) 2 3 sin 2 1 (2) 1 = x - x - f R x x x ) 0.00762 18 5 0.01319 ( - 1 - R sin 50 = 0.7660444… ) 18 5 sin 50 (1 0 L 0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 -0.01001 3 , 4 1 2 利用 x = x = sin 50 0.76008, 0.00660 18 ~ 5 0.00538 1 R 内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596 内插通常优于外推。选择 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好
2D2(x) (x一4)x-3 (x-5)(x- x-5)(x 3 -十 (一)(否一3)2(牙-)( √2(3-z)ξ- sin50≈L,(Sz 18 )≈0.76543 - cOS R2(x) 3 (x-( S coSE<V3 2 →0.0004<R2|5z<0.007 sin50°=0.7660444. 18 2次插值的实际误差≈000061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好,嘿 嘿
n = 2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) 3 6 3 4 6 4 4 6 4 3 6 3 6 4 6 3 4 3 2 - - - - + - - - - + - - - - = x x x x x x L x ) 18 5 sin 50 (2 0 L 0.76543 2 3 cos 2 1 ); 3 )( 4 )( 6 ( 3 ! cos ( ) 2 - - - - = x x R x x x x 0.00077 18 5 0.00044 2 R sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……