例17证明：若函数f)在区间[a,)上连续且单调增加，则有 x≥生1e达. 证法1令Fx)=fu-a十f0d,当1e[a,x]时，f0)sf),则 F)=)-foh-a生产f=2-3f0d ≥2f-ft=,fx-f)=0. 故F(x)单调增加.即F(x)≥F(a),又F(a=0,所以Fx)≥0，其中xea, 从而 Fo)=广-a生e本≥0.证华. 证法2由于fx)单调增加，有(x-a牛)-牛≥0，从而 广x-生-生20. e-生e≥x-a生生=f生x-生=0. 故 [e达2eh 例8计算xd本 分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分 解到=←+心迹=乏+5=； 注在使用牛顿一莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如 」子女=士=石，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数子在x=0处间断且在被 积区间内无界。 例19计算∫max{x2,xd体. 分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 a-f 解m,油-或+=写-}-名 例20设fx)是连续函数，且fx)=x+3∫0灿，则f(x)= 分析本题只需要注意到定积分广f(x)d是常数(a,b为常数)
例 17 证明：若函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续且单调增加，则有 ( ) b a xf x dx ( ) 2 b a a b f x dx + ． 证法 1 令 F x( ) = ( ) ( ) 2 x x a a a x tf t dt f t dt + − ，当 t a x [ , ] 时， f t f x ( ) ( ) ，则 F x ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 x a a x xf x f t dt f x + − − = 1 ( ) ( ) 2 2 x a x a f x f t dt − − 1 ( ) ( ) 2 2 x a x a f x f x dt − − = ( ) ( ) 2 2 x a x a f x f x − − − = 0 ． 故 F x( ) 单调增加．即 F x F a ( ) ( ) ，又 F a( ) 0 = ，所以 F x( ) 0 ，其中 x a b [ , ] ． 从而 F b( ) = ( ) ( ) 2 b b a a a b xf x dx f x dx + − 0 ．证毕． 证法 2 由于 f x( ) 单调增加，有 ( )[ ( ) ( )] 2 2 a b a b x f x f + + − − 0 ，从而 ( )[ ( ) ( )] 2 2 b a a b a b x f x f dx + + − − 0 ． 即 ( ) ( ) 2 b a a b x f x dx + − ( ) ( ) 2 2 b a a b a b x f dx + + − = ( ) ( ) 2 2 b a a b a b f x dx + + − = 0 ． 故 ( ) b a xf x dx ( ) 2 b a a b f x dx + ． 例 18 计算 2 1 | | x dx − ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 | | x dx − ＝ 0 2 1 0 ( ) x dx xdx − − + ＝ 2 2 0 2 1 0 [ ] [ ] 2 2 x x − + − ＝ 5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 3 2 2 2 1 1 1 [ ] 6 dx x x − − = − = ，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数 2 1 x 在 x = 0 处间断且在被 积区间内无界. 例 19 计算 2 2 0 max{ , } x x dx ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 2 1 2 ( ) 0 1 x x f x x x = ． 解 2 3 2 1 2 2 2 1 2 0 1 0 0 1 1 7 17 max{ , } [ ] [ ] 2 3 2 3 6 x x x x dx xdx x dx = + = + = + = 例 20 设 f x( ) 是连续函数，且 1 0 f x x f t dt ( ) 3 ( ) = + ，则 f x( ) _ = ． 分析 本题只需要注意到定积分 ( ) b a f x dx 是常数（ a b, 为常数）．
解因fx)连续，f)必可积，从而f0)d是常数，记f0)d=a,则 fx)=x+3a,且x+3a)d=∫fu)d-a 所以 r+3a6=a,即+3如=a 从而a=-子所以f)=x- 倒2设m-任-70咖，0552，求，并时论F 的连续性 分析由于fx)是分段函数，故对Fx)也要分段讨论。 解(1)求F()的表达式. F(x)的定义域为0,2.当x∈0，]时，[0，xc0,因此 Fx)=fuh=广3dh=tG=x2. 当xe(1,2]时，0，x=0,U,x,因此，则 Fx)=3h+∫6-21)d=t16+[-2T=-3+5x-x2, nw-6.e-d 0≤x<1 (2)F)在0,1)及(1,2]上连续，在x=1处，由于 mFx)=m-3+5x-)=l,mF)=mr=l,F0=1. 因此，F()在x=1处连续，从而F(x)在0,2]上连续. 错误解答(1)求F(x)的表达式， 当x∈0,1)时， F(x)=[f(ndi=[3rdi=[=x. 当x∈l,2]时，有 Fx)=∫f0d=6-2)d=5x-x2. 故由上可知 m-长9 (2)F(x)在0,1)及(L,2]上连续，在x=1处，由于 lim F(x)=lim(5x-)=4.lim F(x)=lim=1.F(1)=1
解 因 f x( ) 连续， f x( ) 必可积，从而 1 0 f t dt ( ) 是常数，记 1 0 f t dt a ( ) = ，则 f x x a ( ) 3 = + ，且 1 1 0 0 ( 3 ) ( ) x a dx f t dt a + = = ． 所以 2 1 0 1 [ 3 ] 2 x ax a + = ，即 1 3 2 + = a a ， 从而 1 4 a = − ，所以 3 ( ) 4 f x x = − ． 例 21 设 2 3 , 0 1 ( ) 5 2 , 1 2 x x f x x x = − ， 0 ( ) ( ) x F x f t dt = ，0 2 x ，求 F x( ) , 并讨论 F x( ) 的连续性． 分析 由于 f x( ) 是分段函数, 故对 F x( ) 也要分段讨论． 解 （1）求 F x( ) 的表达式． F x( ) 的定义域为 [0,2] ．当 x[0,1] 时， [0, ] [0,1] x , 因此 2 3 3 0 0 0 ( ) ( ) 3 [ ] x x x F x f t dt t dt t x = = = = ． 当 x(1,2] 时， [0, ] [0,1] [1, ] x x = , 因此, 则 1 2 0 1 ( ) 3 (5 2 ) x F x t dt t dt = + − = 3 1 2 0 1 [ ] [5 ]x t t t + − = 2 − + − 3 5x x ， 故 3 2 , 0 1 ( ) 3 5 , 1 2 x x F x x x x = − + − ． (2) F x( ) 在 [0,1) 及 (1,2] 上连续, 在 x = 1 处，由于 2 1 1 lim ( ) lim( 3 5 ) 1 x x F x x x → → + + = − + − = , 3 1 1 lim ( ) lim 1 x x F x x → → − − = = , F(1) 1 = ． 因此, F x( ) 在 x = 1 处连续, 从而 F x( ) 在 [0,2] 上连续． 错误解答 （1）求 F x( ) 的表达式, 当 x[0,1) 时， 2 3 3 0 0 0 ( ) ( ) 3 [ ] x x x F x f t dt t dt t x = = = = ． 当 x[1,2] 时，有 0 ( ) ( ) x F x f t dt = = 0 (5 2 ) x − t dt = 2 5x x − ． 故由上可知 3 2 , 0 1 ( ) 5 ,1 2 x x F x x x x = − ． (2) F x( ) 在 [0,1) 及 (1,2] 上连续, 在 x = 1 处，由于 2 1 1 lim ( ) lim(5 ) 4 x x F x x x → → + + = − = , 3 1 1 lim ( ) lim 1 x x F x x → → − − = = , F(1) 1 = ．