一种理想准晶格的数学模型

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1988.03.020 北京钢铁学院学报 第10卷第3期 Journal of Beijing University Vol,10 No.3 1988年7月 of Iron and Steel Technology July 1988 一种理想准晶格的数学模型 闵乐泉 李蔌 (数学第教研京) (数学第一效研常) 捕 要 本文提出了一种用想渑晶格的数学横型，它的平面投彩图中，平行的水平直线 上钻点服从Fibonacci排列，而每个分离的是环状结点的中心都是局部5次对称 中心，两个相态（相分离）的环状结点外层均布着14(16)个结点，很圆满地描述 了Hiraga等人的留一铝准品体高分辨图。 关键词：钻构慎型，岔合金，准品格 Mathematical Model for Structure of Ideal Quasicrystal Lattices Min Lequan,Li Yi Abstract In this paper,a mathematical model for structure of ideal quasicrystal lattices is set up.This Model describes very beaulifully the following phenomena which is shown in the electron micrograph of the Mn-Al quasicrystal obtained by Hiraga et al.In some local areas,ten bright dots groups are distributed in concentric circles;sixlcen bright dots are distributed the surroundings of every two neighbourhood righs of bright dots;and fourteen bright dots arc distributed the surroundings of every double overlapping rings of bright dots. Therefore,it seems that this model can explain more phenomena in Mn-Al alloy qua;icrystal than those reported by Hiraga et al,and could offer some new 1987一05一20收稿 391

北 京 钢 铁 学 院 学 报 第 卷第 期 年 月 。 。 一种理想准 晶格的数学模型 阂乐泉 李 获 数学 第 一 ’ 教研 宁 数学 第一 较研常 摘 要 本文 提出 了一 种理想 准 晶格 的数学 模型 ， 它的 平面投影 图 中 ， 平行的水 平直线 上 结 点服 从 排 列 ， 而 每个 分 离的皇 环 状 结点 的 中心 都 是局 部 次 对称 中心 ， 两 个 相 敌 相分 离 的环 状结点 外层均布着 个结 饮 ， 很 圆满 地描 上 了 等人 的锰 一侣淮 晶体高分辨图 关键词 结构 模型 ， 锰 合金 ， 准晶格 ‘ ， ， ‘ · ， ，， “ · 一 一 · ， 、 飞 · ， · 手 ， 一 弓一 收 稿 草 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．03．020

ideas for the theoretical research of structure of quasicrystal. Key words:structural model,manganese alloys;quasicrystal lattices. 引 言 1984年11月，D。Shechman等人在急冷锰一铝合金中拍摄到第一张准晶体电子衍射 图1)。这个发现冲破了100年来建立的经典晶体学的现有理论基础。本文借助前段工作提 出了一种理想准晶格的数学模型（见图1和2），它与彭志忠[21构造的有所相似，但抛弃 了“从中心生成”的思想。由于本模型的特征与Hiraga等人报道的迄今为止最为清晰完整 的锰一铝准晶体高分辨图【4】奇妙地吻合，放似可比其它模型〔34幻更好地解释这种准晶体中 的现象。作者们期望本研究可为准晶态结构的理论研究提供某些基础和新的想法与数字工 具。 图1理想准品格的数学模型 Fig.1 Mathematical model for structure of idcal quasicrystal lattices 图2C丹=1被叠國，C8完整的分离网：C。+1完整的重叠圆 Fig.2 ca=loverlapped circler ca seperated circle,ca+loverlapping circle 392

玉 · ， 引 ‘ 言 年 月 ， 等人 在急冷锰一铝 合金 中拍摄到第，张堆 晶体电 子 衍 射 图 ’ 〕 。 这 个发 现 冲破 了 年来建立 的经典 晶体学的现有 理论基础 。 本文借助前 段 工 作提 出了一种理想准 晶格的数学模型 见 图 和 ， 它与彭志忠 构造的有所相似 ， 但 抛 弃 了 “ 从 中心 生 成 ” 的思想 。 由于 本模 型 的特征 与 等人 报道的迄今为止最为清晰完 整 的锰一铝准 晶体高分 辨 图 〔 呜 ’ 奇妙 地吻合 ， 故 似可 比其它模型 〔 ， ‘ 更好地解释这种准 晶体中 的现象 。 作 者们 期望 本研究可 为准 晶态 结构 的理论研究提供某 些基础和新的想 法 与 数 字 工 具 。 图 理想 准 晶格 的数 学 模型 尔 图 忿‘ 被盛 圆， 忍完整的分离圆， ‘ ’ 完整 的重处 圈 三 · 三 ‘ ， “ 君 “ ， “ 蓄 干 ‘

1理想准晶格的数学模型 设锰一铝排列链8，】（简称“链”）中的每个圆周上均布着10个结点（被叠圆周则为 9个)，其中2个在轴线上，则理想准晶格平面投影图的数学模型由上、下两层链构成，每 层链的轴线相互平行。上、下两层链的轴线分别用L”L;,j=0,±1，±2，…表示， 分别记(x,y,)和(x;,y)为L,L轴上链中第一个圆心的坐标，规定(xo,y。)=(0,0): (x0,y6)=-(a+b)(cos36°，sin36°)。当j牛0时： x,=30+26)cos36°为奇数1 y,=j(3a+2b)sin36° (1) 0 其它 对- 为奇数， yi=yo+yi (2) 其它 若认定上层链中的圆（叠圆）所遮盖着的下层链中对应结点不显示（在Hiraga的高分 辨电子显微图中它们似乎不显或弱显)，则本投影图的主要特征由下节诸定理严格描述。 记号分别用C;和C'；表L,和L}轴上链中的第n个圆。而C,,C,,k=1,2, ,10则分别为C;,C；周上均布着的10个结点（标号沿逆时针方向，从属于L,、L; 轴正向的轴上结点算起)。Ci,o和C'i,0分别是C;和C；的圆心，分别记X;和X'；为 C;,0和C,a的x坐标，分别记S。和S。为L。轴和L。轴上锰一铝链所产生的结点的坐标 之集合，F,的定义同〔5)、〔6)中的花体F。 2刻划准晶格特征的数学定理 命题1两个半径为a的圆，若圆心坐标分别为(0,0)和(a+b,0),其中a/b= (1+V5)/2,则两圆周的两个交点与原点连线形成的夹角为72°。若10等分半径为a的 圆周，则弦长为b。 命题2若dist(C1,o,Ci.8)=2a+b,则dist(Ci.2,Ci)=a,dist(Ci.1,Ci)= a:dist(Ci.,Ci,)=2a。若dist(Ci.。,Ci)=a+b,则dist(C.,Ci)=a;dist (C.,C.)=a。 引理1对任意"≥3，F.可由F、F2的组合表出，且表达式唯一。 证用归纳法和引理1。 引理2对任意n≥3，当F。由F3、F2的组合表出时，至多有两个F3相邻，而F,彼 此分开。 引理8对任意n≥3，当F,由F、Fz的组合表出时，F3的尾符恰表锰一铝排列链 中完整圆之圆心，而F:的尾符恰对应着被叠圆的圆心。 证因锰一铝排列链生成Fibonacci排列【s,s】,故从F&的尾符是a而F,后所接字符 仍是a,即知F3尾符必表完整圆之心。再由引理2知F2只能与Fg相邻，故从F,FzF,= (cba)(ab)(aba)和刚才的讨论与锰一铝规则知第5、6个字符ba只能代表一被叠圆。 393

理 想准晶格的数学模型 设锰一 铝排 列链 ，‘ ， ” 简称 “ 链 ” 中的每个圆周上 均布着 个结点 被叠圆周则为 个 ， 其 中 个 在轴线上 ， 则理想准 晶格平面 投影图的数学 模型 由上 、 下 两层 链构成 ， 每 层 链 的轴线 相互 平行 。 上 、 下 两层链 的轴线分别 用 ，， ， 二 ， 土 ， 士 ， … 表 示 ， 分别记 ，， 夕 ， 和 ， 夕 为 ，， 今轴上 链 中第一个 圆心 的 坐标 ， 规定 ， 。 ， 。 乙 ， 夕 急 一 “ ， “ 。 当 今 时 。 为 奇数 其它 ， 。 ‘ 十 ‘ 为奇数， 其它 川 么 ， 若认定上层链 中的 圆 叠 圆 所遮盖 着的下层 链 中对应结点不显示 在 的 高 分 辨电子显微图中它们 似乎不 显或弱显 ， 则本投影 图的主要特征 由下节诸 定理 严格描述 。 记号 分别 用 夕和 ， 罗表 ， 和 轴上链中的第 个圆 。 而 罗 ， 、 ， ， ， ， ， ， … ， 则分别 为 罗 ， ， 罗周上 均布着的 个结 点 标号 吞沿逆 时针方向 ， 从 属 于 ，、 轴正 向的轴上 结 点算起 。 下 ， 。 和 ‘ 夕 ， 。 分别 是 下和 ， 罗的 圆 心 ， 分 别 记 夕和 ‘ 为 岁 ， 。 和 ， 下 ， 。 的 坐标 ， 分 别记 。 和 石为 。 轴和 台轴上 锰一 铝链所 产生 的结 点的坐标 之集合 ， 尸 。 的定义 同〔 〕 、 〔 〕 中的花体 ， 。 刻划准 晶 格特征 的数学定理 命题 两个半径 为 的圆 ， 若圆心 坐标分 别为 。 ， 和 十 ， ， 其 中 。 二 十 侧一万 ， 则两 圆周的两个交点与原点连线 形成 的夹 角为 “ 。 若 等分 半径为 。 的 圆周 ， 则弦 长为 命题 若 罗 ，。 ， 罗 ， 则 罗 ， ， 夕廿 二 ， ， ， 护 ， 夕 ， 夕广 。 若 丁 。 ， 犷 ， 则 夕 ， 夕 ， 夕 ， ， ， 夕护 。 引理 对 任意 多 ， 尸 可 由 、 的组合表 出 ， 且表 达式唯一 。 证 用 归纳 法和 引理 。 引理 对 任意 ， 当 。 由 、 的组合表 出时 ， 至 多有两 个 相邻 ， 而 彼 此分 开 。 引理 对 任意 。 妻 ， 当 尸 。 由 、 尸 的组合表 出时 ， 。 的尾符恰表锰一 铝 排 列链 中完整圆之圆心 ， 而 的 尾符恰对应着被叠 圆的圆 心 。 证 因锰一 铝排 列 链生 成 排 列 〔 “ ， “ ’ ， 故 从 。 的 尾符是 而 后所接 字 符 仍是 ， 即 知 尸 尾符必表 完整 圆之心 。 再 由引理 知 只能 与 相邻 ， 故从 二 如 。 。 。 和 刚 才的 讨论 与锰一 铝规 则知 第 、 个字符 。 只能 代表一被叠圆

推论设A=F3=aba,B=F2=ab,fo=B,f1=A,f.=f,-2f.-1,n≥2。则f,中A 之尾符和B的尾符分别表锰一铝排列链中完整國和被叠圆之心故在「.=AB.1ABAB…中 分别以“O”点和A与B的尾符为心作圆，并认定两相邻圆之益部分被先生成的圆所遮 盖，则由此产生的链恰为锰一铝排列链(n+∞时)。 定理1在L;,j=0,±1，±2，…轴上，从点(x1,y)算起，沿正方向结点分布服， 从Fibonacci排列。 证仪对j=0的情形证明即可。因为只有L。轴上任意橱C:周上的第8、9号结点的 连线在L轴上且长度为b(命题1)，而L0与L。轴上，圆C'。与C。之心C'。.。和 C。.。的￥坐标满足（见(2）式) X'0=x。+X8=-(a+b/2)+X8 (3) C8.B=(X'a+a,y%)∈S%,C0.,=(Y'8+a+b,y%)∈S0 (4) (4)成立是因L。轴上接着X':之后的字符总是ab, 定理2在L,j=0,±1，土2，…轴上，从点(×，，y,)算起，沿正方向结点分布服从 Fibonacci排列。 证仅对j=0的楷形证明即可。易知只有L轴上任意圆C':的第3、4号结点在L、 轴上。因此若C。是完整圆，由引理3知C。,o的×坐标为 X。=X-1+(a+b+a) (5) 再山(3)、(4)易推出下述关系式 X':=x+X:=a+b/2+X。-1 (6) C。,=(X'8+b/2,0)=C0.。∈So,C。.4=(X。-b/2,0)=C0.∈So (7) 再若C。是被叠圆，则C。.。与C。.的x坐标分别为 X。=X。-+(a+b);X‘。=b/2+X8-1 (8) C.4=(X。-b/2,0)=(X81,0)=C8.6∈So (9) C8.&=(X:+b/2,0)=(X-1+b,0) (10) 故X:·<X。-1+b<X。-1+a,这说明C。,,被圆C。1遮盖。故C:的第3、4号结点或 属于S。或被C:遮盖。 引理4在L。轴上，由锰一铝排列链形成的Fibonacci排列中，每个字符b的首尾两 个端点各与（且只与）某个圆心在L。轴上的圆C。之周上的第8、9号结点重合。 证由锰一铝链的生成原则，每个字符b只能接在某一圆C。之后，记X.1和X:.2为 字符b首尾端点的坐标，则有X.1=(X'。+a,y),X.2=(X。+a+b,y),再由(3)可依 次推出：C。.0=(X:,0)=(X。-x。,0)=(X。+a+b/2,0)。C:.,=(X:-b/2,y%)= (X't+a,y),C:.,=(X:+b/2,y%)=(X:+a+b,y%)。 定理3对于j=0,±1，±2，"，设L2,是与L2;相距为+asin72°的平行直线。则从 以(x2i,y2)为心的圆周上的第4号结点算起，L,上的结点服从拟-Fibonacci排列a八F, (表F。中删去首符a的排列)，n=1,2,,3,…。 394

推论 设 对 。 。 ， 尸 二 ， 。 二 ， ， 一 八 一 一 ， 。 。 则 中 之 尾符和 的尾符分 别表锰一铝排列 链 ‘朴完整 圆和被叠 圆之 心 。 故在 压璧刁 一 中 分别以 “ ” 点和 与 的尾符为 心作 圆 ， 并认 定两相邻 圆之 毛叠 部分被 先生 成 的 圆所 遮 盖 ， 则 由此 产生的链 恰为锰一 铝排列 链 、 时 。 定理 在 ， 二 。 ， 土 ， 士 ， … 轴上 ， 从 点 川 ， 川 算起 ， 沿 正 方向结点 分 布 服 从 排列 。 证 仅对 的情形 证明即 可 。 因为只有 。 轴上 任意圆 周上 的第 、 号结 点 的 连线 在 么轴 上 且 长 度 为 命 题 ， 而 五 么 一 与 。 轴 上 ， 圆 ‘ 与 之 心 ‘ 吕 。 和 吕 ， 。 的 坐标 满足 见 幻 式 ， 急 劣 台 乙 一 乙 吕二 ‘ 急 ，夕台 任 台 ， 急 。 ， ， 夕 台 任 乙 成立 是 因 乞轴上 接 着 之 后 灼字符总 是 。 定理 在 ，， 。 ， 士 ， 士 ， … 轴上 ， 从 点 ， ， 算起 ， 沿 正方向结点分 布服 从 排列 。 证 仅 对 的情形证 明即 可 。 易知 只有 乙台轴上 任意 圆 ’ 的第 、 号结 点 在 。 轴上 。 因此 若 ‘ 是完整圆 ， 由引理 知 二 ， 。 的 二 坐标为 一 ‘ 再 山 、 易推 出下 述关系式 ‘ 二 二 么十 一 ‘ 二 ‘ 十 ， 忿 任 。 ， 二 ’ 一 ， 犷 任 。 、少‘ ‘了、了吸、 甘 声、 再若 ’ 是被叠 圆 ， 则 二 。 与 ‘ 。 的 坐标分 别为 』一 ‘ 十 一 一 ‘ ， 二 二一 ， 二 占 一 ’ ， 丁占任 ， ， 一 ‘ ， 故 二 一 ‘ 二 一 ‘ ， ‘ 十 ， 这 说 明 ‘ 被 回 厂 ‘ 遮盖 。 故 ‘ 的第 、 号 结 点或 属于 。 或被 二一 ‘ 遮盖 。 引理 在 台轴上 ， 由锰一铝排列链形成 的 排 列 中 ， 每个字符 的首 尾 两 个端点各与 且 只与 某 个圆心在 。 轴上 的圆 二之 周上 的第 、 号结点重 合 。 证 由锰一铝链 的生成原 则 ， 每 个字符 只能接在某一 圆 ‘ 之 后 ， 记 ’ 和 若 ， 为 字符 首 尾端点 的 坐标 ， 则有 言 ， 、 ‘ ， 毛 ， 二 ‘ ， 盆 ， 再 由 可依 次推 出 。 ， ‘ 一 式 ， ‘ 十 ， 。 。 一 ， 么 ， 巴 ， 夕 乞 二 ，夕 忘 ‘ ，夕 石 。 定理 对于 ， 士 ， 士 ， … ， 设 刃， 是 与 ， 相距 为 十 。 的平行 直 线 。 则 从 以 ‘ 了， 夕 ， 为 心的圆周上 的第 号结点算起 ， 犷 ， 上 的结点服 从 拟一 。 。 排列 。 表 。 中删去首符 的排列 ， 二 ， ， ， ， “

证只需对j=0的场合证明即可。易证只有C:的第3、4号结点和C':的第7、10号 结点(n=1,2,…)在直线L6上，再从(4)式和引理4知L。轴上的圆C。上第8、9号结点 连线金体巢合构成了L。轴上Fibonacci排列中的全体元素b,所以注意到命题2后只需证： (A)若dist(C,C:+1)=a+b,则在C:,:和C,连线上恰好没有L1轴上任意圆C'{ 的第7、10号结点。 (B)若dist(C:,C:+1)=2a+b,则在C:.,和C:*:连线上恰好只在中点处有L1轴上 某个圆C1'的一个结点。 (A)的证明：对于”2，因C:必为完整圆而C:1必是被叠圆，且.C:-1也是完整圆。 故行关系： X:=X-1+(a+b+a),X:+1=X:-1+3a+2b;X'11=X:1+(a+b)+(a+b)cos72°， X'i=X:-1+(3a+2b)+(a+b)cos72° (11) 和X11<X:<X:+1<X'1。可见L1轴上与C。,。、C。:距离最近的圆心分别是C16和 C1.。,其距离及结点间关系为 dist(C.,C)=dist(Co,C)=a+b;C/110=C3.3C/i.7=C(12) (B)的证明：此时需分8种情况进行证明 (1)C:是被叠圆，而C:+1是与C:相离的另一对相叠圆中的完整圆。此时可知C:、 C:+1、C1、C；之心的x坐标（注意(11）)及结点间的关系为 Xg=X81+(a+b);X。+1=X&-1+3a+2b (13 X':-1=X。-1+(a+b)(1+cos72°)，X'1=X:1+(2a+2b)+(a+b)cos72°和 C1,=C0.;C1.1。=Ct} (14) 即只有点C'i。=C1.,在C:.,和C}连线的中点上 (14) (2)C:同(1)但C:+1是与其它圆相分离的完整圆，此时尽管C:+'是-一个完整的分离 圆，但(1)的证明完全适于此处。故知(14)、(14)的结论仍真。 (3)C。同(2)中的C*1而C。+1同(1)中的C:+1,此时因C,同(2)中的C:+1,C:+1同 (1)的C:+1,故从(14)知 C11。=C0.;C1.1。=Ct} (15) 即只有点C1.,在C?,和C,!连线的中点上 (15) 定理4对于j=0,±1，±2，…，设L,+1是与L2i1轴相距为+asin72°的平行线。则 从以(x2+1,y2+1)为心的圆周上的第4号结点算起，L:+,上的结点服从拟-Fibonacci排 列a八F.,n=0,1,2,…o 证只需证j=-1的情形即可。与上定理相仿，今证将定理3中的L、L1轴易为此处 的L~1,L。轴后，该定理的(A)和(B)仍成立即可。 (A)的证明：圆C”1、C11之心的×坐标为 X"1=X'+(a+b+a);X'=X:,+(a+b) (16) 由引理2可推出Ct2之心和L0轴上圆C。+2之心的x坐标及结点关系为 395

证 只 需对 的场 合 证明即可 。 易证 只有 刃的第 、 号结 点和 ‘ 飞的第 、 号 结 点 二 ， ， “ · 在直线 言 上 。 再 从 式和 引理 知 。 轴上 的 圆 刃上 第 、 号 结 点 连线 全 体集合构 成 了 么轴上 排 列 中的 全 体元 素 ， 所 以注意 到命题 后只 需证 若 ， ’ “ 十 ， 则在 ， 和 连 线 上 恰好没有 引 轴 上 任意 圆 ‘ 的第 、 号结点 。 若 “ ， 十 ‘ 二 ， 则在 二 ， ， 和 刃扮 连 线 上 恰好 只在 中点 处 有 几轴 上 某个 圆 二 ‘ 的一 个结 点 。 的 证明 对于 。 ， 因 必 为完整 圆而 “ 必 是 被叠 圆 ， 且 犷 ’ 也是完整 圆 。 故有 关系 刃 二一 ’ 二 ’ 二一 ‘ 斗 一 乙 ‘ 二 一 ’ 一 ’ 。 ， 一 ’ “ 和 ‘ 飞 一 ’ 二 千 ’ ‘ 二 。 可 见 ，轴上 与 占 。 、 吕士占距离最近 的圆心 分 别 是 ‘ 犷丢和 ‘ 呈 。 ， 其距离及结 点间关系为 右 。 ， ‘ 丁孟 二 孟士孟 ， ‘ 。 ， 里丁 。 言 ‘ ， ， 孟 十 的 证明 此 时需分 种情况进 行证 明 是 被叠 圆 ， 而 二 ‘ 是 与 相离 的另一对 相叠 圆 中的完整 圆 。 此 时 可 知 、 ‘ 、 ， 飞 一 ’ 、 ‘ 飞之 心的 二 坐标 注意 及结 点’ 的关系为 一 ‘ 二 ‘ ’ 二 一 ‘ 冲 ， 一 ’ 忿一 ‘ 吞 一 。 ‘ 二 二 一 ’ 。 和 ‘ 二万 孟 ， ‘ 丁 。 二士 即只有 点 ‘ 二丁 。 ‘ 飞 ， ， 在 孟 和 犷二连线 的 中点上 ， 口 同 但 二 十 ‘ 是与其 它 圆相分离 的完整 圆 ， 此 时尽 管 ’ 是一 个完整 的 分 离 圆 ， 但 的 证明完 全 适于 此处 。 故 知 、 ’ 的结论 仍 真 。 同 中的 十 ’ 而 二 ‘ 同 中的 ‘ ， 此时 因 同 中的 十 ‘ ， 十 ’ 同 的 ’ ， 故 从 知 ‘ 飞丁 。 二 ， ， ‘ 飞 ， 。 即只有点 ‘ 号 ， 在 急 和 孟 连线 的中点上 定理 对于 。 ， 士 ， 士 ， … ， 设 ，十 ， 是 与 ，、 、 轴 相距 为 。 的平行 线 。 则 从 以 ‘ ， ， ，十 为心 的圆 周上 的第 号结 点算起 ， 宝 ， 曰 的结 点服 从 拟一 排 列 。 ， ， ， ， … 。 证 只需证 一 的情形即 可 。 与上 定理 相 仿 ， 今 证将 定理 中的 。 、 气轴 易为此 处 的 ， ，轴后 ， 该定理 的 和 仍 成立 即可 。 的证 明 圆 兰 、 鱿 ‘ 之 心的 二 坐标 为 二， 筑 ’ 、 二 ’ 竺 由引理 可 推出 结 之 心 和 毛轴上 圆 犷 ’ 之 心的 坐标及结 点关系为