D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.02.017 北京钢铁学院学报 J.Beijing Univ.of Iron Steel Technol. Vol.9No.21987 分布意义下两独立变量的 Gollwitzer型积分不等式 杨晓明 (第一数学教研室) 摘 要 本文得到了含有Stioltjes积分的两独立变盘积分不等式，推广了两独立变量的 Gollwitzer型积分不等式. 关键词：分布，Stioltjes积分，Goit2er不等式 Integral Inequality of Gollwitzer Type in Two Independent Variables Under Distribution Yang Xiaoming Abstract Integral inequality involving Stieltjes integral in two independent variables is obtained in this paper.It is a generalization of integral inequality of Gollwitzer type in two independent variables. Key words:distribution,stielties integral,inequality of Gollwitzer type 引 言 Gollwitzer建立了如下积分不等式1： 引理c1)(即Gollwitzer不等式) 19g6一03一24收稿 114
北 京 钢 铁 学 院 学 报 分布意义下两独立变量的 型积分不等式 杨 晓 明 第一数学教研室 摘 要 木文得到了含有 。 积分的两独立变量积分不等式 ， 推广了两独立变傲的 ， 型积分不等式 关镇词 分布 ， ，‘ ， ，积分 ， ” 『不等式 全 犷 ” 优 ” ， ， 引 言 建立 了如下 积分 不 等式 〕 引理〔 〕 即 不 等式 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．02．017
一一设u(t),v(t),.h(t)和k(t)是〔a,b)上的非负连续函数，且有 u(t)≥v(x)-k(t)∫v(s)h(s)d5.a<x≤≤b 那么有 u(t)≥v(x)exp(-k(t)h(s)ds〕 Bondge和Pachpatle将上引理推广到两个独立变量的情形，即 定理(2)一一设中(5，t),a(s,t),b(s,t)是I×I上非负实值连续函数， I=〔o,c∝)；u(s,t)是【×I上正实值连续函数，如果下式成立 u(s,t)>4(x,y)-a(s,t)∫：∫b(m,n)(m,n)dmd, (0≤x≤s<c,o≤y≤t<) 那么有 u(s,t)≥b(x,y)exp(-a(s,t)Jg∫5b(m,n)dmdn) 本文推广了上面定理，主要研究了分布意义下的两独立变量的Gollwitzer不等式， 这样使我们可以研究如下形式的微分方程。· DyDx u(x,y)=F[x,y,u(x,y)]DP(x)DQ(y) u(x,t)=u(s,y)=u(s,t) 这里DP(x),DQ(y),Dx、Dx、u分别为分布意义下P(x),Q（y)和u的一 阶导数二阶导数。 1预备结果 下面证明儿个定理，它在主要结采的证明中起着关键作用。 定理1.1[3]设f,g是实直线R上的两个实谊函数，且在R的每个紫子区间上 是有界变差的，·那么「·g定义了一个分布，f·g在分意义下的导数等于局部可和函 数(f·g)',其由下式 f'(x)g(x)+f(x)g'(x)对所有x 给出，D(f、g)(Df)g+f(Dg) 定理1.2设g是实直线R上的实值函数，且在R的每个紧子区间上是有界变差 的，g÷0,那么1/g定义了一个分布，1/g在分布的意义的导数等于局部可和函数 (1/g)‘,其由 gg-对所有x∈R -1 给出，亦即 D(1-)=-D g 115
一 一设 ， ， 和 是 〔 ， 〕 上的 非负连续函 数 ， 且有 》 一 戛 ‘ ，“ · 《 ‘簇 那么 有 · · 一 〔 一 ， ‘ ，‘ 皿 和 。。 将 上引理推广 到 两个独立 变量 的 情形 ， 即 定 理 〔 〕一一设巾 、 ， ， ， ， ， 一 是 上非 负实值连 续 函 数 ， 〔 ， 二 ， 是 火 上正实值连 续函 数 ， 如果下 式 成立 。 、 ， 》 小 ， 一 。 、 ， 、 二 ， ， 。 小 ， 。 ， ‘ 仁。 气 簇 ， 。 《 戊 那么 有 。 、 ， 小 ， 。 〔 一 。 。 ， 、 二 · ， 。 ’ 本文推 广 子上面 定理 ， 主要研究 了分布意 义下 的两 独 立 变量 的 不 等式 ， 这 样 使我 们 可以 研 究 如下 形 式 的微分方 程 。 · ， 〔 ， ， ， 〕 ， ， ， 这里 ， ， 丫 、 、 、 、 分别为分 布意 义下 ， 和 的一 阶 导数和二 阶导 数 。 预 备结果 下 面证 明少个 定理 ， 它 在主要 结果的证 明 中起 着关 键作用 。 定理 呻 设 ， 是实直 线 上的两 个实值 函 数 ， 且在 的疑沙个 紧 子 区 间上 是有界 变差 的 ， 一 那么 · 定 义 了一个分布 ， · 在分 布意 义下 的导 数 等 于 局 部可和 函 数 · ‘ ， 其由 下 式 ， ， 二 对 所 有 给 出 ， 、 二 一 卜 定理 设 是实直 线 上的 实馗函数 ， 且 在 的每个 紧子 区 问上 是 有 界 变 差 的 ， 祷 ， 那 么 ， 定 义 了丫个分 布 ， 在分 布 的意 义的导 数 等于局 部可 禾 函 数 ‘ ， 其 由 给 出 ， 亦 即 』 ， 一 对 所 有 十 ， 一爵 一
证： 如果T是R上的一个分布，p是R上的一个具有紧支撑的C函数，用<T,P>记为 T对p上的作用。既然g是R上紧区间的有界变差函数，那么1/g也是这样；因为1/g是可 测的，且在每个紧子区间是有界的，因此是局部可积的，这样1/g在R上定义了一个分 布。现令D(1/g)是1/g的分布意义下的微分，P是C函数，且其紧支撑含在区间 〔a,b)内，那么由定义知： <D(1/g),p>=-<1/g,p'> 、=-∫.是p(x)dx=-∫片p'）-dx g 对几乎所有的x,有 (1/gp)′=p'/g-g'/g2p 因此 <D(1/g),p>=-∫（是p)'dx =-∫g'1ggdx=-gpdx ,亦即： <D(1/g),P>=<-g'/g2,P> 既然函数-g'/g2是局部可积函数，那么其定义了一个分布，对具有紧支撑的C"函 数p由下式给出 D(1/g)=-g1g2=-,在分布意义下，证毕。 定理1.3设g是实直线R上正实函数，'且为有界变差函数，那么1g定义了一个 分布，lng在此分布下的导数等于局部可知函数（1ng)',其由g/g给出，即： D(Ing)=Dg/g, 对所有x 证：同前定理之证明。 2主要定理 定理2.1设中(s,t)是非负有界变差函数（分别相对s,t),a(s,t)是实值非 负函数；P(s),Q(t)是非负有界变差函数，且为单调增加，b(s,t)为相对于 P(s),Q（t)可积的非负函数，这里(s,t)∈I×I,I=〔0，)，u(s,t)是 I×I上的非负函数，如果有下式成立： u(s,t)≥4(x,y)-a(s,t)∫(m,a)4(m,DP(mDQa) 0≤x≤s<,0≤y≤t< (2.1) 那么有 116
证 如果 是 上的一个分布 ， 甲 是 上的一个具有紧支撑 的 ‘ 函数 ， 用 ， 中 记为 对甲上的作角 。 既然 是 上紧区 间的有界 变差 函数 ， 那么 也 是这 样 因为 是可 测 的 ， 且在每个紧子区 间是有界 的 ， 因此 是局部可积的 ， 这 样 在 上定义 了一个分 布 。 现令 是 的分布意 义下 的微分 ， 甲是 ‘ 函数 ， 且其紧支撑含 在 区 间 〔 ， 〕 内 ， 那 么 由定义知 ， 甲 二 一 ， 恻 「“ ， ， ，， 、 」， ， · 「“ 中产 、 一 一 ， － 甲 、 人 户 人 一 一 － 一 。 之 一 对几 乎所有的 ， 有 甲 产 甲‘ 一 ， “ 切 飞 因此 ， 切 一 「 ， 气 － 甲 少 ’ 丁 产 “ 甲 一 “ 一 黑 亦 即 ， 甲 一 ‘ “ ， 一甲 切 既 然 函数 一 产 “ 是局 部可积 函数 ， 数甲由下 式给 出 二 一 ， 那么其定 义 了一个分布 ， 对具 有紧支撑 的 ’ 函 一 嗜黔 ， 在分布意 义下 ， 证毕 。 定理 设 是实直 线 上正 实 函数 ， 且为有界 变差 函数 ， 那么 定 义 了一个 分布 ， 在此分布下 的导 数等于局 部可知 函数 ， 其 由 ‘ 给 出 ， 即 ， 对所有 证 同前定理 之证 明 。 主要定理 定理 设 小 ， 是非 负有界 变差 函数 分别 相对 ， 负函数 ， 是非 负有界 变差 函数 ， 且为单调 增加 ， ， 可积 的非负函 数 ， 这 里 ， 任 又 ， 〔 工 上的非 负函数 ， 如果有下 式 成立 ， ， 是实值非 ， 为 相 对于 二 ， ， 是 弓 ， 小 ， 一 ， 丁丁沙 ， · ，小 ， · ， ‘ ， ‘ · ’ 。 镇 镇 ， 。 簇 《 。 那么 有
u(s,t)≥b(x,y)expc-a(s,t)∫：∫；b(m,n)DP(m)DQ(n) 证： 将(2.1)式写成 +(x,y)≤u(s,t)+a(s,t)∫：∫b(m,a)4(m,a)DP(m)DQa) 固定s,t,我们定义： r(x,y)=u(s,t)+a(s,t)∫：∫；b(m,m4(am,nDP(mDQa) o≤x≤5，o≤y≤t r(x,t)=r(s,y)=u(5,t) (2.2) 显然固定y,r(x,y)是x的有界变差函数，于是有 Dxr(xy)=-a(s,t)∫，b(x,n)(x,n)DP(x)DQ(n) 同样，固定x,Dxr(x,y)是y的有界变差函数，于是有 D,D:r(x,y)=a(s,t)b(x,y)o(x,y)DP(x)DQ(y) 再由(2.1)（2.2)式可得： D,D,r (x,y)<a(s,t)b(x,y)r(x,y)DP(x)DQ(y) 于是 D:D:r (x,y)<a (5,t)b (x,y)DP (x)DQ (y) r(x,y) 进而有 r(x,y)D,D:(x,y)<a(s,t)b (x,y)DP (x)DQ (y) r2(x,y) D:r (x,y)D:t(x,y) r2(x,y) 由定理1.1和定理1.2可得： D,( Dr(x,y)-） r x,y) ≤a(s,t)b(x,y)DP(x)DQ(y) 两端由y积分到t,有 Dr(x,)-D:rx,y）≤a(s,t)∫，b(x,nDP(xDQ(n) r(x,t) r(x,y) 由定理1.3得： D.〔12，号门≤a)∫()Dp(x)DQ(a) 两端由x积分到s,有 i〔号〕|<a(st)小：(，a)Dp(a)DQ(a) 117
， 〕 、尹 奇 ， 于‘ 一 小 ， 〔 一 ， 广 甘 广 证 将 式写 成 小 ， 《 ， 固定 ， ， 我们定 义 ， ， ， ， 小 ， ， ， 小 ， 一 舟 《 《 ， ， 显然 固定 ， ， 二 ， 。 是 的有界 变差函 数 ， 于 是有 ， 一 ， 同 样 ， 固定 ， ， ， 二 ， 再由 。 式可得 ， ， 《 ， 于 是 丁 ， ，‘ ， ， ， ， 是丫的有界 变差 函数 ， 于 是 有 ， 小 ， ， ， ， 二 ， ， 《 ， ， 进而有 ， ， 二 ， 恶 。 、 《 ， ， ， 了 ， ， 由定理 和定理 可得 ， 《 ， ， 两端由了积分 到 ， 有 ‘‘ 广 、了 十 一 ， ， 二 ， ， 簇 ， ， 由定理 得 。 厂 ， 。 － 、 气 ， 〕 、 ， 丁 ， 、少一、 沙 两端 由 积 分 到 ， 有 ‘ 〔 勺 “ · ， 一 入 ， 月 一汉 冬 、少
再由（2.2)式，即得： b(x,y)≤r(x,7)<u(s,t)exP〔a(s,t)∫：∫b(m,a) DP(m)DQ(n) 放知结论成立。 证毕。 3应 用 下面利用所建立的定理来研究方程 D,Dxu(x,y)=F〔x,y,u(x,y)〕DP(x)DQ(y) (3.1) 之解的下界。 此方程满足边界条件： u(x,t)=u(s,y)=u(s,t) 这里“，F是实值的，且在其定义域内连续，F满足条件： |F〔x,y,u(&,.y)〕|≤b(x,y)Iu(x,y)1 (3.2) 这里b(x,y)为非负连续函数。 由（3.1)式和边值条件，可得其等价形式 u(x)+(m(m 3DP(m)DQ(n) 利用(3.2)式，可得： Iux,y)≤u(s,0+1∫：∫；b(am,)ium,mlDP(m)DQn) 利用定理2.1，可得： I u (s,t)u (x,y)l exp C-∫：∫；b(,nDP(mDQ(a)〕 参考文献 1 Gollwitzer,H.E.:Proc.Amer.Math.Soc.,23(1969),642 〔2〕Bondge,B.K。,Pachpatte,B.G.:J。Math.Anal.Appl., 72(1979),533 〔8〕Sree Hari Rao,V。:J。Math.Anal.Appl,72(1979),545 118
再由 式 ， 即得 。 ， 、 ， 、 。 ， 。 · 〔 · ， 〕 故知 结论 成立 。 ， 证毕 。 应 用 下 面利用 所建立 的定理来研 究方程 ， ， “ 〔 ， ， ， 〕 之解的下界 。 此方程满 足边界 条件 ， ， 一 ， 这 里 ， 是实值 的 ， 且在其 定 义域 内连 续 ， 满 足 条件 〔 ， ， ， 川 ， ， ， 这里 ， 为非 负连 续 函数 。 由 式和边值 条件 ， 可得其 等价形 式 ， 二 ， 卜 丁 〔 ， 一 ， 〕 利用 式 ， 可得 ， 镇 ， 利用 定理 ， ‘ 可得 ， 》 丁 ， ， ‘ · ‘ 夕 ，‘ ‘ ， 《 ’ ·， 一 〔 一 丁丁 ， · ‘ ， · ， 〕 参考文献 〔 〕 ， 〔 〕 ， ， 〔 〕 ， 。 。 ， ， 。 。 。 ，