关于奇数阶泛对角幻方的作法

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1992.05.017 第14卷第5期 北京科技大学学报 Vol.14No.5 1992年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1992 关于奇数阶泛对角幻方的作法 廖福成* 德要：给出了一般奇数阶泛对龟幻方(Pandiagonal Magic Square)的作法。按这种方法，不需 借助于任何工具，对任意1个不是3的倍数的奇数及任意预先规定好的第1行或第1列元 素，都能快速地作出：阶泛对角幻方。并对方法进行了理论上的严格证明，同时估计了所能作 出的幻方个数的下界。 关键词：幻方，泛对角幻方，拉丁方 Construction of Pandiagonal Magic Squarey of Odd Order Liao Fucheng" ABSTRACT:Given the first row or first column,a pandiagonal magic square of order n for any odd numble n can be constructed simply,if this n is not the integral multiple of 3,and the methods of con- struction and,strict proof are given. KEY WORDS:magic square,pandiagonal magic square,Latin square 所谓阶幻方，通常是指由1至n2,n2个连续自然数排成的Xn方阵，其各行、各列及 各对角线上元素之和都相等（这个数称为幻和）。为了说明泛对角幻方的意义，设幻方为 a11 a12 41,*-1 Qin d21 422 02,m-1 42 a-1,1-1,2 0-1,-1 d-1: a.2 0,-1 aa 其中元素a,a2a,a,-l,a称为一组泛对角线元素，同样还有其他的泛对角线元素。这是 平行于主对角线的泛对角线元素。同样还有平行于副对角线的泛对角线元素。后文中约定，凡 说到泛对角线元素，总包括对角线元素在内。 一个阶幻方，如果其所有的泛对角线元素之和也都等于幻和，就称为？阶泛对角幻方。 文献〔1)仅给出了一些特殊的五阶泛对角幻方。文献〔2)只对存在性有一点讨论，未 给出作法。本文则给出了”为不被3整除的奇数时？阶泛对角幻方的作法。按本文的方法，对 于任一个不是3的倍数的奇数，至少可以直接作出2(！)2个n阶泛对角幻方，对于素数， ①1991-09-21收稿 *数力系(Department of Mathematics and Mechanies) ·594·

第 14 卷第 5 期 1 9 9 2 年 9 月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l of U in ve r s i t y of S e i e n e e a n d T e e h n ul o g y eB i ji n g V o l 。 1 4N o - S e P t . 1 9 9 2 关于奇数阶泛对 角幻方的作法 ① 廖 福 成 ` r 摘要 : 给 出了 一般奇 数阶泛对角幻方 ( aP dn 妞即n ia M a g ic 匆 u ar e) 的作法 。 按这 种方法 , 不需 借助于 任何工具 , 对任意 1 个不 是 3 的倍数的奇数 : 及 任意预先规定好的 第 1 行 或第 1 列 元 素 , 都能快速地作出 : 阶泛 对角幻 方 。 并对方法进行了理 论上的严格证 明 , 同时估计了所能作 出的幻方个数的下界 。 关锐词 : 幻方 , 泛对角幻方 , 拉丁方 OC n s t r u e t i o n o f P a n d i a g o n a l M a g i e S q u a r e y o f O d d o r d e r L 脚 几c九劣 志9 . A B S T R A C T : G i v e n ht e f i r s t r o w o r f i r s t e o l u m n , a P a n d i a go n a l m a g i e s q u a r e o f o r d e r n f o r a n y od d n u m b l e n ca n be e o n s t r u e t e d is m Pl y , i f t h i s n 15 n o t ht e i n et g r a l m u l it lP e o f 3 , a n d t h e m e t h o d s o f e 叻 - s t r u e t i o n a n d , s t r i e t rP o f a r e g i v e n . K E Y WO R D S : m a ig e s q u ar e , 砷 n d i a g o n a l m a g i e s q u a r e , 认ti n s q u a r e 所谓 跪 阶幻方 , 通常是指 由 l 至 矿 , 扩 个连续 自然 数排成的 。 X 。 方 阵 , 其各行 、 各列 及 各对角线上元素之 和都相等 ( 这个数称 为幻和 ) 。 为 了说明泛对 角幻 方的 意义 , 设 幻方 为 口 1 1 e l Z ` 二 口l , 一 1 a a . 口 2 2 口 2 2 ’ 二 d Z , : 一 z 口 2 - 口 一 i , 1 口 。 一 z , 2 厂 口 一 z 口 目2 a 一 l , 一 l a 一1 , . a . .t 一 l a ” 其中元素 al : , 心: , … 几一 1 , . , ` , 称为一组泛对 角线元素 , 同样 还有其他的泛对 角线元 素 。 这是 平行于 主对角线的泛对角线元素 。 同样还有平行于副 对角线的 泛对角线元素 。 后 文 中约定 , 凡 说到泛对角线元 素 , 总包括对角线元 素在 内 。 一个 二 阶幻 方 , 如果其所有的泛对角线元 素之和 也都等于幻和 , 就称为 砚 阶泛对 角幻 方 。 文献 〔1〕 仅给出了一些 特殊的五阶泛对角幻方 。 文献 〔2〕 只对 存在性 有一点讨论 , 未 给出作法 。 本文则给出 了 : 为 不被 3 整除的奇数时 , 阶泛对角幻方的 作法 。 按本文的方法 , 对 于任一个不是 3 的倍数的奇 数 。 , 至 少可以直接作出 2 ( : ! ) 2 个 砚 阶泛对角幻方 , 对于 素数 : , ① 19 9 1一 09 一 2 1 收稿 , 数力 系 ( oe 四 t m en t ot M a t址m a t i cs an d M ec 恤n i cs ) · 5 9 4 · DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1992. 05. 017

这个数目可扩大为(m一3)(m一4)(m!)2。 1辅助方阵及其性质 考虑阶方阵A=(a),·并称它为辅助方阵，如果它满足条件： a1一a1i=2-a12=…=au-a1.(i=1,2,…,m) 不难验证，若令 a,=a(i-1)+j 则A成为 1 2 n+1 B+2 2n L(m-1)B+1(n-1)8+2… 2 称这个方阵为自然辅助方阵，这个例子也说明了辅助方阵的存在性。不难理解，对自然辅助 方阵进行有限次的行交换或列交换所得方阵仍为辅助方阵。 定理1.辅助方阵A的所有不同行不同列的个元素之和都相等。 证明：设 a1一41=a2一a12=…=%-a1。=G(i=1,2,…,) 其中1=0。考虑A的不同行不同列的个元素a1,w,a2,2,…,a,,这里j(1)j(2)… j()是1,2，…，”的一个全排列。由于 ai,00=a131)十a 所以 -2w+2a=2+a 最后的结果与j(1),j(2),…,j()的排法无关，这就证明了本定理。 为了方便，今后把A的元素a,简单地记为j。在<10，<10时，把j看成一个二位数 (即10i+)并不失一般性。 2奇数阶泛对角幻方的作法与个数 把辅助方阵A的不同行不同列的？个元素作为一组，这种组共有！个，其中每组个元 素之和都相等。设想，如果对A经过元素位置的调整，使得调整后方阵的各行、各列及各泛 对角线都是由A的不同行不同列的个元素构成的，就得到一个n阶泛对角幻方。本节只叙述 泛角幻方的作法，方法的合理性留待下节讨论。 当为奇数且3不能整除n时，断言任意给定A的不同行不同列的一组元素a,), a(2.2,,a(,可以以这组元素为第一行或第一列至少作出一个n阶泛对角幻方。由于 幻方的转置还是幻方，故不失一般性，仅以行的情形来讨论上述断言。 ·595·

这个数 目 可扩大为 ( , 一 3 ) ( : 一 4 ) ( : J) 2 。 1 辅助方阵及其性质 考虑 : 阶方阵 A一 低 , ) , 4 并称它为辅助方 阵 , 如果它满足条件 : a ` , 一 a i : 一 a `: 一 a l: 一 … = a 。 一 a i 二 (落= l , 2 , … , . ) 不难验证 , 若令 a 。 二 盆 (￡一 1 ) + 7 则 A 成为 掀 、jJ.`巨, 加护 而 十 1 2 二 + 2 ( 泥 一 l ) 界 + 1 ( 旅 一 l ) 那 + 2 飞 称这个方阵 为 自然辅助 方阵 , 这个 例子也说明了辅助方阵 的存在性 。 不难理解 , 对 自然辅助 方阵进行有限次的行交换或列交换所得方阵仍为辅助方阵 。 定理 1 . 辅助方阵 A 的所有不同行不 同列 的 二 个元素之和都相等 。 证明 : 设 a . : 一 a , 1 = a `: 一 a i Z = , 二 = ` 一 a , : = 氏 (云= 1 , 乙 … 其 中 a l = 0 。 考虑 A 的不 同行不同列 的 : 个元素 a , , , 。; , , a Z , , 。: ) , … , ` , , ( . ) j (幻 是 1 , 2 , … , 。 的一个全排列 。 由于 , 忍 ) , 这里 j (l ) J (2 ) 一 a ` , , ( 、 ) = a i , , ( 1 ) + a ` 所以 习 a ` , , ( ` , 一 习 ( a ; , J ( ` , + 氏 ) 一 习 c 、 ij( , + 习 。 = 习 a l* + 习 二 ` = 1 `~ 1 . 舌= 1 咨~ 1 最后 的结果与 j (1 ) , J ( 2) , … , 夕 (幻 的排法无关 , 这就证明 了本定理 。 为了方便 , 今后把 A 的元素 气简单地记为 勺 。 在 ` < 1 0 , 夕< 10 时 , 把 汀看成一个 二位数 ( 即 1 0`+ 夕) 并不失 一般性 。 、 2 奇数阶泛对角幻方的作法与个数 把辅助 方阵 A 的不同行不 同列 的 : 个元素作为一组 , 这种组共有 司 个 , 其中每组 : 个元 素之和都相等 。 设想 , 如果对 月 经过元 素位置 的调整 , 使得 调整后方阵的各行 、 各列 及各泛 对角线都是 由 A 的不同行不同列的 。 个元素构成的 , 就得到一个 n 阶泛对角幻方 。 本节只叙述 泛 角幻方的作法 , 方法的合理性留待下节讨论 。 当 n 为奇数且 3 不能整 除 : 时 , 断言任意 给定 A 的不 同行不 同列 的一 组元 素 ia( , ) , j(1 ) , ia( , , , j(2 , , ’ ` ” 心 , , ,闰 , 可以 以这组元素为第一行或第一列至 少作出一个 , 阶泛对角幻方 。 由于 幻方的转置还是幻方 , 故不 失一般性 , 仅以行的情形 来讨论上述断言 。 · 5 9 5 ·

设i,2,…,为1,2，…，的一个全排列，我们对它进行下述的变换，记为T。T 作用到，2，…，元上，结果记为T(,2,…,)。它是一个nXn方阵，其第一行为， i2,…,,第二行为，+1，…，，…，-1，以下每行都是把前一行第k个元素写为第一 个元素，各元素顺序不变一直写到第n个元素，再把前一行第一个元素写在其后，顺序不变依 次排其他元素，直到排出上一行第k一1个元素为止。如此排出n行。例如T(d,2,…, i)为 234…运-2-1 官 ,-1i2…i-4d-i-2J 还规定T,(,2,…,i)Ts(j1,j2,…,)是一个方阵，它的元素为把(1,2，…， )的元素写在前，把Ts(,2,…,)的对应位置的元素写在后面，拼成一个“数”，如 12等。注意已约定uw表示aw。例如T(1,2,…,5)T4(1,2,…,5)等于 1122·334455 3445511223 5213243541 2531425314 4354152132 下面作泛对角幻方。为素数且3不能整除时，设给定第一行为a(),a,22,…,a, 其中i(1)。(2)…i(x),j(1)j(2)…j(m)都是1,2，…，n的全排列。把行标取出作 行标阵T:(i(1),。(2),…,(m),把列标取出作列标阵Ts()(1),方(2)，…，方(n)。 断言，若3≤k≤n一1,3≤sR-1且k≠8，T(i(1),i(2),…,i()Ts()(1),j(2), …,j(n)就是一个泛对角幻方（其中元素j理解为A的元素a,)。如果再取a,=n(一1）+ ,就得到从自然辅助方阵出发作出的？阶泛对角幻方。不难理解，这个幻方正是 n[T(i(1),(2),…,i(n)-D)+Ts(j(1),j(2),…,(n)) 其中D为每个元素均为1的阶方阵。这里的“十”理解为矩阵加法。 由于飞不能取1,2，n,故有n一3种取法；同样，s亦不能取1,2，，且当k取定后，s 也不能取，故只有n一4种取法。从而对固定的全排列i(1),i(2),…,元(n)及j(1),j (2),…,j(n),能作出(n一3)(R一4)个阶泛对角幻方。由于1,2，的全排列共有！ 个，从而按前述方法可作出（元一3）(n一4)(n!)2个阶泛对角幻方。 当”为奇数，且3不能整除，见不为素数时，可以证明对A的任一组不同行不同列的元 素a(1),a(2,2,…,a,,以它为第1行的泛对角幻方可取为 T3(i(1),i(2),…,i(n))T-1((1),j(2),…,(n) 及 T.-1((1),i(2),…,i(n)T3((1),j(2),…,(n) 与前面同样的理由，知对这样的？至少可作出2(！)2个泛对角幻方。 3方法合理性的讨论 首先，3阶泛对角幻方不存在。事实上，若3阶泛对角幻方存在，则由于它共有3行、3 ·596·

设 1 1 , ` 2 , ” , 、 为 l , 2 , 二 , : 的一个全排列 , 我们对它 进行下述的变换 , 记为 T * 。 几 作用到 。 1 , 礼 , … , 、 上 , 结果记为 T * ( 云, , 云2 , 一 , ` , ) 。 它 是一个 二 x : 方阵 , 其第一行为 1 1 , ` 2 , … , 礼 , 第二 行为 ` 。 , 红十 , , … 凡 , i , , … , ` 一 , , 以 下每行都是把前一行 第 无个元素写为 第一 个元素 , 各元素顺序不变一 直写到 第 , 个元素 , 再把前一行第一个元素写 在其后 , 顺序不 变依 次排其他元素 , 直到 排出上 一行第 k一 l 个元 素为 止 。 如此 排出 二 行 。 例如 ? : ( l , , 1 2 , 一 , 礼) 为 急] 多2 ; 3 忍刁 帐一 2 苏二一 1 乞- 勺ùù k乞一 1 还 规定 , . ( ; , , : 2 , … , 乞 二 ) 了s 、 ) 的 元素写 在前 , 把 T , ( J I , 12 等 。 注 意 已约 定 u 。 表 示 a , 。 。 礼一 4 鱿 一 3 ( J l , J Z , … , 苏) 是 一个方 阵 , 它的元素为把 甲` i( ; , 1 2 , … , J Z , … , 办 ) 的对 应位置的元素写 在 后面 , 拼 成一个 “ 数 ” , 如 ,J 1马乙勺1) 山勺0口介白民,J浦 例如 T : ( 1 , … , 5 ) T ; ( 1 , 2 , … , 5 ) 等于 口口八Jl 任`JQ 户公乙任工内O1j J 任勺乙孟才 5 八j 任J ,1 3 1 1 2 2 ù匕 3 4 45 5 2 13 2 5 3 1 4 3 5 4 15 2 1 下面 作泛对角幻方 。 : 为素数且 3 不 能整除 : 时 , 设给定第一行为 a ` ( , ) , , ( 1 ) , a . ( 2 ) , , ( 2 ) , … , a ` ( : ) , , ( . ) , 其中 乞 ( l ) ` ( 2 ) … i ( : ) , 夕 ( 1 ) j ( 2 ) … j ( , ) 都是 1 , 2 , … , 砚 的全排列 。 把行标取出作 行标阵 少* ( 云 ( 1 ) , 云 ( 2 ) , … , 云 ( n ) ) , 把列标取 出作列标阵 sT 勺 ( 1 ) , j ( 2 ) , … , j ( n ) ) 。 断 言 , 若 3 ( k ( , 一 1 , 3簇 s毛 , 一 1 且 无并。 , 爪 。 ( l ) , ` ( 2 ) , … , ` ( , ) ) , 。 ( J ( 1 ) , j ( 2 ) , … , 7 ( , ) 就是一个泛 对角幻方 (其中元素 勺理解为 A 的元素 内) 。 如果再取 a 。 一 : ( 客一 1) + j , 就得到从 自然 辅助方 阵出发作出 的 , 阶泛对角幻方 。 不难理解 , 这个幻方正是 : 沙 . ( 云( l ) , `( 2 ) , … , 云( : ) ) 一 D〕 + 少。 ( J ( 1 ) , J ( 2 ) , … , J ( n ) ) 其中 D 为每个元 素均为 1 的 : 阶方阵 。 这里的 “ + ” 理解为矩阵加法 。 由 于 无不 能取 1 , 2 , , , 故有 : 一 3 种取法 ; 同样 , 。 亦不能取 1 , 2 , : , 且当 无取定后 , 占 也不 能取 k , 故 只有 , 一 4 种取法 。 从而 对固定的全排列 i ( i ) , ` ( 2 ) , … , ` ( 二 ) 及 j ( 1 ) , J ( 2 ) , … , 夕 ( , ) , 能作出 ( 二 一 3 ) ( : 一 4) 个 : 阶泛对角幻方 。 由于 1 , 2 , 介 的全排列共有 。 ! 个 , 从 而按前述方法可作出 ( , 一 3) ( 二 一 4) ( nJ ) 2 个 : 阶泛对角幻方 。 当 , 为奇数 , 且 3 不 能整 除 。 , ! 不为 素数时 , 可以证 明对 A 的 任一组不 同行不同列 的元 素 a “ 1 , , j ( , ) , a : ( 2 ) , j ( 2 ) , 一 a ` ( · ) , , ( : , , 以 它为第 z 行的泛对角幻 方可取为 少3 (云( 1 ) , 云( 2 ) , … , 乞( 、 ) ) T , 一 ; ( J ( 1 ) , 夕( 2 ) , … , J( : ) ) 及 T一 , ( 乞( 1 ) , 艺( 2 ) , … , 云( , ) ) T 3 ( J( 1 ) , J ( 2 ) , … , j ( : ) ) 与前面 同样的理 由 , 知对这样的 ! 至少可作出 2 ( : ! ) 2 个泛对角幻方 。 3 方法合理性的讨论 首先 , 3 阶泛对 角幻方不 存在 。 事实上 , 若 3 阶泛对角幻方存在 , 则 由于它共有 3 行 、 3 · 5 9 6 ·

列及6条泛对角线，所以须用3阶辅助方阵的12种不同行不同列的元素的组合。但这种组合 只有3！=6种，所以3阶泛对角幻方不存在，直接验证也能证实这一点。 为了方便，再引入泛对角拉丁方这一术语。一个n阶拉丁方是由1,2，…，组成的方阵， 它的每行、每列及每条对角线都是1,2，·，"的全排列。如果一个n阶拉丁方的每条泛对角 线也是1,2，…，？的全排列，就称它为泛对角拉丁方。两个泛对角拉丁方L=(),M= (m)称为是正交的，如果把它们的对应元素配对而作成的方阵C=((,m,)的任意两个 元素都不相同。 容易明白，若把辅助方阵A的元素进行调整（标号不变）形成一个泛对角幻方，再把这 个泛对角幻方的行标与列标分开按幻方中的位置排成行标阵和列标阵，则这两个方阵都是泛 对角拉丁方且它们互相正交，反之也对。 断言，按照第2节的方法，当”为奇数且为3的倍数时，无法作出泛对角幻方。仅以= 9来证明，一般情形类似可证，不失一般性。设第1行为1,2，…，9。注意到T,(1,2,…, 9)等于 23456789 ii+1i+2… …i-1t一2 共9行 由于i,一1，i十1中必有一个被3整除，所以若3|，则T(1,2,…,9)的主对角线元素 将为 147147147 或 174174174 它们不是1,2，…，9的全排列。同样分析可知，若3|(i一1)，则T(1,2,…,9)的 第1列将不是1,2，…，9的全排列；若3！(i十1)，则副对角线上的元素将不是1,2，…， 9的全排列。所以无论采用哪种排法，都必有1行、1列或1条对角线上出现3个元素重复出 现的循环。对于其它3的倍数的奇数有同样结论。所以当n为3的倍数时，无法按前节所述方 法生成阶泛对角拉丁方，从而无法生成阶泛对角幻方。 定理2.对于不小于5的素数，若1,2，…，为1,2，…，的一个全排列，3≤k≤ 一1，则T:(1,2,…,)是一个阶泛对角拉丁方。 证明：不失一般性，来证明T(1,2、…,)是阶泛对角拉丁方。注意到T:(1,2, …,)等于 「1 2 3…k一1无k十1…n一1 k+1k十2… …… k一2 它的每一行显然都是1,2，，的全排列。它的第i列元素为 i,(k-1)十，2(k-1)十i,…,(n一1)(k一1)十i 其中的数理解为该数关于模的同余数，模n的同余群的代表元选为1,2，，。由于是 素数，k≥3故(k一1，)=1，从而k一1,2(k一1)，…，("一1)(k-1)互不相同后都与 互素，所以，(k一1)+i,…,(n一1)(k一1)十i关于模的同余数正好是1,2，…的全 排列。 从第一行第列开始的两条泛对角线分别为 ·597·

列及 石条泛对角线 , 所 以须用 3 阶辅助 方阵的 12 种不同行不 同列的元素的组合 。 但这种组合 只有 3 J 一 6 种 , 所以 3 阶泛对角幻方不存在 , 直接验证也能证实这一点 。 为 了方便 , 再引人泛对角拉丁方这一术语 。 一个 : 阶拉丁方是由 l , 2 , 一 , : 组成的方阵 , 它 的每行 、 每列及 每条对 角线都是 1, 2 , … , , 的全排列 。 如果 一个 。 阶拉丁方的每条泛对角 线也是 l , 2 , … , : 的全排列 , 就称它 为泛对角拉丁 方 。 两个泛对 角拉丁方 L 一 ( l砂 , M - (二 ` , ) 称为是正 交的 , 如果把它们的对应 元素配对而作成的方阵 C 一 ( .l( , , , , , ) 的任意两个 元素都不相 同 。 容易 明 白 , 若把辅助 方阵 A 的元素进行调整 ( 标号不变 ) 形 成一个泛对角幻方 , 再把 这 个泛对角幻方的行标与列 标分开按幻 方中的位置排成行标阵和列 标阵 , 则这两个方阵都是泛 对角拉丁方且它们互相正交 , 反之也对 。 断言 , 按照 第 2 节的方法 , 当 : 为奇数且 为 3 的倍数时 , 一 无法作出泛对角幻方 。 仅以 : - 9 来证 明 , 一般情形类似可证 , 不 失一般性 。 设第 1 行为 1 , 2 , … , 9 。 注意到 T : (l , 2 , 一 , 9 ) 等于 9 行 ! !洪 2 十 1 3 十 2 4 5 6 7 8 一 1 乞一 2 由于 坛, `一 l , `十 1 中必 有一 个被 3 整除 , 所 以若 别云 , 则 叭 l( , 将为 2 , … , 9) 的主对 角线元素 1 4 7 1 4 7 1 4 7 1 7 4 1 7 4 1 7 4 它 们不是 1 , 2 , 一 , 9 的全排列 。 同样分析可知 , 若 3 } ( : 一 1) , 则 叭 l( , 2 , , ~ , 9) 的 第 l 列将不是 1 , 2 , 一 , 9 的全 排列 ; 若 3 } ( 、+ l) , 则 副对角线上的元素将不是 l , 2 , … , ~ 9 的 全排列 。 所 以 无论采用哪种排法 , 都必有 1 行 、 1 列 或 l 条对角线上 出现 3 个元素重复出 现 的循环 。 对于其它 3 的倍数的奇数有同样结论 。 所以当 二 为 3 的倍数时 , 无法按前节所述方 法生成 二 阶泛对角拉丁方 , 从而无法生成 : 阶泛对角幻 方 。 定理 2 . 对于 不小于 5 的素数 : , 若 ` , , : 2 , … , : . 为 1 , 2 , … , : 的 一个全 排列 , 3簇k ( 二 一 l , 则 孔 “ , , 1 2 , … 证明 : 不失 一般性 , ~ . , : ) 等于 r 1 2 , i , ) 是一个 升 阶泛对角拉丁方 。 来证明 爪 ( 1 , 2 , … , : ) 是 : 阶泛对角拉丁方 。 注意到 叭 ( 1 , 2 , 行 3 飞j坛| k + 2 k 一 l 无 无 k 十 l 无 十 1 砚 一 1 兀 k 一 2 无 一 l 它的 每一行显然 都是 l , 2 , , 报 的全排列 。 它 的第 , 列 元素为 云 , ( k 一 1 ) 十 坛 , 2 任 一 1 ) 十 坛 , 一 , ( 界 一 1 ) ( k 一 l ) + 石 其中的数理解为该数关于模 , 的同余数 , 模 : 的同余群的代表元选为 1 , 2 , 一 , 。 。 由于 二 是 素数 , k ) 3 故 ( k 一 l , : ) ~ 1 , 从而 k 一 l , 2 ( k 一 l ) , … , ( : 一 1 ) ( k一 1 ) 互不相同后都与 滩 互 素 , 所以 : , k( 一 1) + ` , … , ( : 一 1) k( 一 l) + `关于模 : 的同余数正好是 1 , 2 , 二 的全 排列 。 从第一行第 ! 列 开始的两条 泛对角线分别为 · 5 9 7 -

i,k+,2k十i,…,(n一1)k十i; ,(还-2)十i,2(k-2)十i,…,(就一1)(k一2)十i 从(k,n)=1,k一2≥1知(k一2，)=1。再由前面所述的同样理由知，这两组数关于模n 的同余数正好都是1,2，…，的全排列。由i的任意性即知T(1,2,,n)是泛对角拉 丁方。定理证毕。 定理3.设n为素数，>3。若i1,…,,1,2,…,六都是1,2，…，n的全排列，则 只要k≠s,3≤≤n-1,Ts(,2,…,)与T8（1,2,…,)就是互相正交的拉丁方， 从而T(,2,…,)与Ts(,j2,…,)是n阶泛对角幻方。 证明：显然只需要证明正交性。不失一般性设s>k,只要证明对任一数，T:(1,2.·, m)Ts(1,2,…,)中形如(i,)的任意两个元素不相同，即r必取1,2，…，n的一切 值。又不失一般性，只须对=1证明这一结论即可。 由定义，数字1将出现在T(1,2,…,u)的第1行第1列上，第2行第一（一1）+ 1列上，第i行(i一1)〔m一(k-1)门十1列上(i=1,2…,n),其中每个数理解为该数关于 模n的同余数。由于Ts(1,2,…,)的第1行第个元素将出现在第2行一(s一1)十j 列上。一般地，将出现在第行第(i一1)〔n一(s一1))+j列上，由于 (一1)〔n-(k-1))+1=(i-1)〔-(s-1)+(i-1)(s-k)+1 所以与T(1,2,…,)中1对应的Ts(1、2,…,)中相应位置上将出现(2一1)(s一 )+1(i=1,2,…,)。 由于1≤s一k<,所以(s一k,)=1,从而n个数1,8-k十1,2(s一)+1，…， (m一1)(s一)+1正好代表了1,2，…，n的一个全排列，即T(1,2,…,)Ts(1,2, ·,)中形如(1，)的数对是互不相同的。按前面的说明，这就证明了定理的结论。 对于一般的奇数，n不是3的倍数，但也不是素数时，情况比较复杂。但有 定理4.如果为奇数，但不是素数，3不能整除，则对1,2，…，n的任意排列1,2， …,及1，j2,…,j,T(i,2,…,)及T-1(j1,2,…,j)是互相正交的泛对角拉 丁方。 证明：只要注意到3一2,3一1,3均与n互素，仿前面方法可证Tg(1,2,…,,)是泛 对角拉丁方。同样，从n一1，n一2，n一3与u互素可证T.-1（1,j2,…,)是泛对角拉丁 方。再从(-1)一3=心一4与n互素即可证明Tg(,2,…,)与T-1（1,j2,…,)正 交。详细证明从略。 对于偶数阶及一般奇数阶泛对角幻方的作法，将另文讨论；从事先给定的对角线元素也 能作出泛对角幻方，这也将另文讨论。 致谢：本文作者感谢陈难先教授的指导。 参考文献 1 Albert L.Candy Construction,Classification and Census of Magic Squares of Order Five. 2d Edition,Lincoln,Nebrask 1939 2 Denes J,Reedwell A D.Latin Squares and Their Applications.Acadelmic Budapest,1974 ·598·

: , k + ; , Zk 十 : , … , ( n 一 1 ) k + z ; : , (无一 2 ) + : , 2 ( k 一 2 ) + : , … , ( 。 一 ] ) (无 一 2 ) + : 从 k( , ; ) 一 1 , k一 2妻 1 知 k( 一 2 , 。 ) 一 1 。 再 由前 面所述 的 同样理 由知 , 这两 组 数关于 模 。 的 同余数正好都是 1 , 2 , … , 儿 的全 排列 。 由 ! 的任意性即知 T ` l( , 2 , … , ; ) 是 泛对 角拉 丁方 。 定理证毕 。 定理 3 . 设 n 为 素数 , n > 3 。 若 : 1 , … , : . , 夕1 , j : , … , 夕 。 都是 1 , 2 , … , 刀 的全 排列 , 则 只要 无共 、 , 3镇无簇 n 一 1 , , * ( 2 1 . : 2 , … , : 。 ) 与 T : ( ] 1 , , 2 , … , ] : ) 就 是互相 正交 的拉丁方 , 从而 , 。 ( 2 1 , : 2 , … , : 。 ) 与 ? : ( , t , 夕2 , … , , , ) 是 n 阶泛对 角幻 方 。 证 明 : 显然 只需要证 明正交 性 。 不失一 般性设 s > k , 只要证 明对 任一 数 : , 望 、 ( 1 , 2 , … , n) T : l( , 2 , . , 劝 中形如 ( : , 动 的任意 两个 元素不相 同 , 即 : 必取 1 , 2 , … , 泥 的一 切 值 。 又 不失一 般性 , 只须 对 : 一 l 证 明这一结论 即可 。 由定义 , 数字 1 将出现 在 T * (1 , 2 , 一 , 、 ) 的第 1 行第 1 列上 , 第 2 行第 : 一 k( 一 1) + 1 列上 , 第 云行 i( 一 l) 〔 、 一 k( 一 1 ) 〕 + 1 列上 ( 乙一 1 , .2 二 , ; ) , 其 中每个 数理 解为该数关 于 模 儿 的 同余数 。 由于 T 。 (1 , 2 , 一 , 的 的第 1 行 第 : 个 元素将 出现 在第 2 行 , 一 s( 一 1) 十 , 列上 。 一般 地 , 将出现 在第 Z 行 第 ( : 一 l) 〔 n 一 (s 一 1 ) 〕 + 夕列上 , 由于 ( : 一 1 ) 〔 n 一 ( k 一 1 ) 〕 + 1 = ( : 一 ] ) 〔 n 一 ( 。 一 1 ) 〕 + ( ; 一 1 ) ( s 一 k ) + 1 所以 与 叭 (1 , 乙 一 n) 中 1 对应 的 几 (1 , 2 , 一 n) . 中相 应位 置上 将 出现 ( ` 一 1 ) ( “ 一 k ) + 1 ( : = 1 , 2 , … , n ) 。 由于 1簇 s 一 无< n , 所 以 ( s 一 无 , n ) = 一 , 从而 n 个 数 ] , s 一无+ 1 , 2 ( s 一 k ) + z , … , ( n 一 1 ) ( s 一 k ) + 1 正 好代表 了 l , 2 , … , 儿 的一个 全排列 , 即 ? * ( 1 , 2 , … , , ) 少。 ( 1 , 2 , … , 、 ) 中形如 (1 , , ) 的数对 是互不 相 同的 。 按 前面 的说明 , 这就 证明了定理 的结 论 。 对 于一般的奇 数 。 , 泥 不是 3 的倍数 , 但也 不是 素数时 , 情况 比较复杂 。 但有 定理 4 . 如果 n 为 奇数 , 但 不是 素数 , 3 不能 整除 。 , 则对 1 , 2 , 一 , 刀 的任 意排列 ` , , : 2 , … , : , 及 7 1 , , 2 , … , 夕 。 , , 3 ( 乞, , , 2 , … , : : ) 及 , , 一 l ( 7 1 , 夕2 , … , 夕 , ) 是互 相正交 的泛对 角拉 丁方 。 证 明 : 只要注意 到 3 一 2 , 3一 1 , 3 均 与 泥 互 素 , 仿前面方法可证 T 3 ( 1 1 , : 2 , … , : : ) 是 泛 对角拉 丁方 。 同样 , 从 、 一 1 , , 一 2 , ; 一 3 与 砚 互 素可证 孔一 : (夕l , j Z , … , 7 。 ) 是泛 对角拉丁 方 。 再从 ( n 一 z ) 一 3 = 。 一 4 与 刀 互 素即可证 明 了 ’ 3 ( 乙l , : 2 , … , : : ) 与 ? : 一 , ( J l , j Z , … , j , ) 正 交 。 详细证 明从 略 。 对 于偶数阶及 一般奇 数阶泛 对 角幻方 的作法 , 将另文讨论 ; 从 事先 给定 的对角线元 素也 能作 出泛对 角幻方 , 这 也将另文讨论 。 致谢 : 本文作者感谢 陈难先教授 的指导 。 参 考 文 献 1 A lb e r t L . C a n d y , C o n s t r u e t i o n , C l a s s i f i e a t i o n a n d C e n s u s o f M a g i e S q u a r e s o f O r d e r F i v e . Z d E dl t i o n , L i n e o l n , N e b r a s k , 1 9 3 9 2 D e n e s J , R e e d w e ll A D . L a t i n S q u a r e s a n d T h e i r A PP li e a t i o n s . A e a d e lm i e B u d a P e s t , 1 9 7 4 · 5 9 8 ·