Gi)=4(6+a) S(S+1) a的变化范围为0,+]试绘制系统的闭环根轨迹 解:系统闭环特征方程为: D(s)=s3+s2+s+-a=0 即有 等效开环传递函数为 K G1(s) s(s+)2 44,变化范围为(0,) 按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数: 等效系统无开环有限零点:开环有限极点为P1=0,P2=P3 实轴上的根轨迹区间为(-∞,0]。 根轨迹有3条渐近线,且 0a39=60°,180°,300° 根轨迹的分离点:由分离方程 K*(32+2s+) G1(s)= s(S+ 解得:d、=ˉ2 d 根轨迹与虚轴的交点:根据闭环特征方 程列写劳斯表如下:
·93· ( 1) ( ) 4 1 ( ) 2 s s s a G s a 的变化范围为[0,+∞],试绘制系统的闭环根轨迹。 解：系统闭环特征方程为： 0 4 1 4 1 ( ) 3 2 D s s s s a 即有 0 4 1 4 1 1 3 2 s s s a 等效开环传递函数为 2 1 1 ) 2 1 ( * ( ) s s K G s K a 4 1 1 * ，变化范围为[0,∞ ) 。 按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数： 等效系统无开环有限零点；开环有限极点为 2 1 0, p1 p2 p3 。 实轴上的根轨迹区间为（-∞，0 ]。 根轨迹有 3 条渐近线，且 3 1 a ； a 60 ,180 ,300 根轨迹的分离点：由分离方程 0 ) 2 1 ( ) 4 1 * (3 2 ( ) 2 4 2 1 s s K s s G s ds d 解得： 6 1 , 2 1 d1 d2 根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方 程列写劳斯表如下：
1-4a 当a=1时,劳斯表的S行元素全为零 辅助方程为: A(s) 0 图4-13 解得 412 绘制系统参数根轨迹如图413所示。 例4-11若图414所示控制系统的闭环极点为2±√10j(即2±3.16j)试确定增益 K和速度反馈系数T:并对求出的T值画出根轨迹图;确定使系统稳定的K值范围 解:开环传递函数 G(s) R(S) C(s K D(s)=S+(3+KT)s+K Ts+1 D(s)=(s-2-√10(s-2+√10j)=s2-4s+14 4-14 比较系数;解出K,T得 K=14T=-1/2 l)-K/2(s-2 此时有 G(s)= s+3) 当K从0→>∞变化时,应画0根轨迹 分离点 dd+3 d-2 整理得 d2-4d-6=0 解出 d1=-1.16 d2=5.16 与虚轴交点 K )=S(s+3)--(s-2)=s2+(3--)s+k
·94· 4 4 1 4 1 4 1 1 1 2 3 a s a s s 当 a 1时，劳斯表的 1 s 行元素全为零， 辅助方程为： 0 4 1 ( ) 2 A s s 图 4-13 解得： 2 1 1,2 s j 。 绘制系统参数根轨迹如图 4-13 所示。 例 4-11 若图 4-14 所示控制系统的闭环极点为 2 10 j (即 2 3.16 j ),试确定增益 K 和速度反馈系数 T；并对求出的 T 值画出根轨迹图；确定使系统稳定的 K 值范围 解：开环传递函数 ( 3) ( 1) ( ) s s K Ts G s D(s) s (3 KT)s K 2 令 ( ) ( 2 10 )( 2 10 ) 4 14 2 D s s j s j s s 图 4-14 比较系数；解出 K,T 得 K=14 T=-1/2 此时有 ( 3) 1) 2 ( 1 ( ) s s K s G s = ( 3) / 2( 2) s s K s 当 K 从0 变化时,应画 0 0根轨迹. 分离点 2 1 3 1 1 d d d 整理得 4 6 0 2 d d 解出 d1=-1.16 d2=5.16 与虚轴交点 s K K s s K D s s s ) 2 ( 2) (3 2 ( ) ( 3) 2 R C(s) (s) s(s 3) K Ts 1
DGo) K=0 D(o)]=(3--)o=0 联立解出 K=6 画出根轨迹如图4-15所示 √6 图4-15 可以确定使系统稳定的K值范围为 例4-12已知单位反馈系统的闭环传递函数为 d(s)= (a>0) s2+as+16 要求 (1)绘出闭环系统的根轨迹(0≤a<∞) (2)判断点(-√3,是否在根轨迹上: (3)由根轨迹求出使闭环系统阻尼比=0.5时的a值 解:(1)本题给出的是闭环传递函数所以系统闭环特征多项式为 D(s) 构造等效开环传递函数 16
·95· 令 ) 0 2 Im[ ( )] (3 Re[ ( )] 0 2 K D j D j K 联立解出 K=6 6 画出根轨迹如图 4-15 所示。 图 4-15 图 4-16 可以确定使系统稳定的 K 值范围为 0<K<6 例 4-12 已知单位反馈系统的闭环传递函数为 16 ( ) 2 s as as s (a>0) 要求: （1）绘出闭环系统的根轨迹(0 a ) （2）判断点 ( 3, j) 是否在根轨迹上； （3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比 0.5 时的 a 值 解：（1）本题给出的是闭环传递函数,所以系统闭环特征多项式为 ( ) 16 2 D s s as 构造等效开环传递函数 16 * ( ) 2 s as G s
画出根轨迹如图416所示。它是以原点为圆心,半径为4的圆弧。 (2)点(-√3,八到原点的距离是√3+1=2≠4,故不在根轨迹上 D(s)=s2+as+16=s-+25o, √16=4 5=0.5,得 On 4 例4-13两个系数的结构图如图4-17(ab)所示要求 (1)画出当k(0→∞)变动时图4-17(a所示系统的根轨迹 (2)画出当p(0→∞)变动时图4-17b)所示系统的根轨迹(即广义根轨迹) (3)试确定kp值,使得两个系统的闭环极点相同 R(s) R(S) C(s) 4 (s+p) s+1 图4-17 解 G。(S) k(s+1) 画出系统根轨迹如图4-18虚线)所示 (2) G6()=~4 s(s+ D,(s) +4 构造等效开环传递函数 画出相应的根轨迹如图418(实线)所示。4 (3)由图418可见两条根轨迹公共交
·96· 画出根轨迹如图 4-16 所示。它是以原点为圆心,半径为 4 的圆弧。 （2）点 ( 3, j) 到原点的距离是 3 1 2 4 ,故不在根轨迹上. （3） n n D s s as s s 2 2 2 ( ) 16 2 n n a 2 16 4 令 0.5 ,得 4 n a 例 4-13 两个系数的结构图如图 4－17(a)(b)所示.要求: （1）画出当 k（0 ）变动时,图 4－17(a)所示系统的根轨迹； （2）画出当 p（0 ）变动时,图 4－17(b)所示系统的根轨迹(即广义根轨迹)； （3）试确定 k,p 值,使得两个系统的闭环极点相同。 （a） （b） 图 4-17 解 : （ 1 ） 2 ( 1) ( ) s k s G s a 画出系统根轨迹如图 4-18(虚线)所示。 (2) ( ) 4 ( ) s s p G s b ( ) 4 2 Db s s ps 构造等效开环传递函数 4 * ( ) 2 s ps G s b 画出相应的根轨迹如图 4-18(实线)所示。 （3）由图 4-18 可见,两条根轨迹公共交 C(s) 2 s k s 1 R(s) R(s) C(s) ( ) 4 s s p
点对应重极点S12=-2,所以令 D1(s)=D2(S)=(s+2) +ks+k=s2+ps+4=s2+4s+4 比较系数得 此时两系统具有相同的闭环极点S 例4-14已知系统开环传递函数 K*(S2+4) 画出系统闭环根轨迹 (s+1)(s-1)(s+3)(s-3 0 (2k+1)r 分离点 d+j2 d-j2 整理得 d4+8d2-49=0 解出 d12=±20155 d34=±j3473 画出系统根轨迹如图4-19所示。 K
·97· 点对应重极点 2 s1,2 , 所以令 2 1 2 D (s) D (s) (s 2) 即 s ks k 2 = 4 2 s ps = 4 4 2 s s 比较系数得 k=p=4 此时两系统具有相同的闭环极点 2 s1,2 . 例 4-14 已知系统开环传递函数 ( 1)( 9) *( 4) ( ) 2 2 2 s s K s G s 画出系统闭环根轨迹。 解： ( 1)( 1)( 3)( 3) *( 2)( 2) ( ) s s s s K s j s j G s 渐近线 0 90 4 2 (2 1) 0 4 2 1 1 3 3 k a a 分离点 2 1 2 1 3 1 3 1 1 1 1 1 d d d d d j d j 整理得 8 49 0 4 2 d d 解出 2.0155 d1,2 3.473 3,4 d j 画出系统根轨迹如图 4-19 所示。 图 4-18 4 1 s(s 3) K 2 2 2 s s R(s) C(s)