西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第四章 线性系统的根轨迹法

图4-19 图4-20 例4-15某负反馈系统结构图如图4-20所示。试画出系统闭环概略根轨迹(K0→∝ 解 G(s)=k+2s+2)=k(s+1+s+1-D 4×(-1)-2×(-1 渐近线 (2k+1)丌 4-2 起始角,由相角条件知 q1+9 (2k+1) 90°+900-40=(2k+1) 0=(2k+)x 分离点 d+1d+1+jd+1- 整理得 d2+2d+3=0 解出 d12=-1±j√2 图 画出根轨迹如图4-21所示 例4-16设反馈系统中 (s) H(s)=1 s2(s+2)s (1)概略绘制系统根轨迹图,并判断系统的稳定性 (2)如果改变反馈通路传递函数使H(s)=1+2s,试判断H(s)改变后系统的稳定 性,并研究H(s)改变所产生的效应 解:(1)绘根轨迹图 系统无开环有限零点:开环有限零点为P1=P2=0,P2 p4 实轴上根轨迹区间为-5,-2]

·98· 图 4-21 图 4-19 图 4-20 例 4-15 某负反馈系统结构图如图 4-20 所示。试画出系统闭环概略根轨迹(K:0  )。 解： 4 4 2 ( 1) ( 1 )( 1 ) ( 1) ( 2 2) ( )           s K s j s j s K s s G s 渐近线                    0 90 4 2 (2 1) 1 4 2 4 ( 1) 2 ( 1)    k a a 起始角,由相角条件知 1  2  4  (2k 1) 即 90 90 4 (2 1) 0 0     k  0 0 45 , 135 4 (2 1)        k 分离点 d d j d   j      1 1 1 1 1 4 整理得 2 3 0 2 d  d   解出 1 2 1,2 d    j 画出根轨迹如图 4-21 所示。 例 4-16 设反馈系统中 , ( ) 1 ( 2)( 5) * ( ) 2     H s s s s K G s （1） 概略绘制系统根轨迹图，并判断系统的稳定性。 （2）如果改变反馈通路传递函数使 H(s)  1 2s ，试判断 H(s) 改变后系统的稳定 性，并研究 H(s) 改变所产生的效应。 解：（1）绘根轨迹图 系统无开环有限零点；开环有限零点为 0, 2, 5 p1  p2  p3   p4   。 实轴上根轨迹区间为[－5，－2]

根轨迹有四条渐近线,且 dn=-175,pn=45135225315 由分离点方程 d 2+dd+5 =0得 (4d+5d+4)=0 经检验根轨迹的分离点为d=-4 概略绘制系统根轨迹如图4-22所示。由图知,无论K*为何值,闭环系统恒不稳 2)当H(s)=1+2s时,分析系统根轨迹 系统开环传递函数为 K G(S)H(s) s'(s+2)(s+5 其中K1*=2K*。H(s)的改变使系统增加了1个开环零点。 实轴上的根轨迹区间为(-∞,-5],[-2,-05。 根轨迹有三条渐近线,且 2.17 60°180°300 闭环系统特征方程为: D(S) 7s3+10s2+2K*s+K*=0 列劳斯表 10K 7 K 70-2K 70-2K 当K*=2275时,劳斯表s2行的元素全为零。由辅助方程 A(s)=(70-2K*)s2+7K*=242+159.25=0 解得:根轨迹与虚轴的交点为S12=±j2.55。 概略绘制根轨迹如图4-23所示。由图4-23可知,当0<K*<22.75时,闭环系统 稳定 附加的开环零点1=-0.5,使系统根轨迹向s平面的左半平面弯曲,因而闭环系统 可在K*的一定范围内稳定,改善了系统的稳定性

·99· 根轨迹有四条渐近线，且 1.75  a ，      a  45 ,135 ,225 ,315 由分离点方程 0 5 1 2 2 1      d d d 得 (4d  5)(d  4)  0 经检验根轨迹的分离点为 d  4。 概略绘制系统根轨迹如图 4－22 所示。由图知，无论 K *为何值，闭环系统恒不稳 定。 （2）当 H(s)  1 2s 时，分析系统根轨迹 系统开环传递函数为 ( 2)( 5) * ( 0.5) ( ) ( ) 2 1     s s s K s G s H s 其中 K1 *  2K *。 H(s) 的改变使系统增加了 1 个开环零点。 实轴上的根轨迹区间为（－∞，－5 ]，[－2，－0.5]。 根轨迹有三条渐近线，且 2.17  a ，     a  60 ,180 ,300 闭环系统特征方程为 ： ( ) 7 10 2 * * 0 4 3 2 D s  s  s  s  K s  K  列劳斯表 0 70 2 * * (91 4 *) * 7 70 2 * 7 2 * 1 10 * 1 2 3 4 K K K s K K s s K s K    当 K*  22.75时，劳斯表 1 s 行的元素全为零。由辅助方程 ( ) (70 2 *) 7 * 24.5 159.25 0 2 2 A s   K s  K  s   解得：根轨迹与虚轴的交点为 s1,2   j2.55 。 概略绘制根轨迹如图 4-23 所示。由图 4-23 可知，当 0  K*  22.75时，闭环系统 稳定。 附加的开环零点 z1  0.5 ，使系统根轨迹向 s 平面的左半平面弯曲，因而闭环系统 可在 K *的一定范围内稳定，改善了系统的稳定性