西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第四章 线性系统的根轨迹法

图4-6 图4-7 由上述可知: a=9时,根轨迹有一个非零实数分离点 a>9时,根轨迹有两个非零实数分离点 0<a<9时,根轨迹没有非零实数分离点。 例4-5闭环反馈系统的特征方程是1 ks(s+ 4) 0 s2+2s+2 (1)画根轨迹; (2)计算当两个根相等时k的值 解:(1)画根轨迹 a)有两条根轨迹分别起始于开环极点一1土j处,终止于开环零点-4和原点处。 b)求出射角 b4=180°+145°+ar 235°+1843°=25343 c)求分离与汇合点 P(s)=s2+4s Q(s)=s2+2s+2 代入方程PQ-PQ′=0 有 2s-4=0 2±√4+ √5 于是,汇合点为-124 图4-8

·88· 图 4-6 图 4-7 由上述可知： a  9时，根轨迹有一个非零实数分离点； a  9时，根轨迹有两个非零实数分离点； 0  a  9 时，根轨迹没有非零实数分离点。 例 4-5 闭环反馈系统的特征方程是 0 2 2 ( 4) 1 2      s s ks s （1）画根轨迹； （2）计算当两个根相等时 k 的值。 解:（1）画根轨迹 a) 有两条根轨迹,分别起始于开环极点－1±j 处，终止于开环零点－4 和原点处。 b) 求出射角       235 18.43 253.43 90 3 1 180 145 arctan     d     c）求分离与汇合点 ( ) 2 2 ( ) 4 2 2      Q s s s P s s s 代入方程 PQ  PQ  0 有 1 5 2 2 4 16 2 4 0 1,2 2         s s s 于是，汇合点为 -1.24。 图 4-8

根轨迹如图4-8所示。 s2+2s+ (2)由幅值条件知k 将s=1.24代入得k=028 例4-6单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)= s2(025s+1) 画出κ从0→>∞变化时闭环系统的根轨迹并确定闭环系统稳定时K的取值范围 解:G()=32K(s+05) s2(s+4) 渐进线 2.5 2 (2k+1)丌 4-1±00,1800 25、米 与虚轴交点 D(s)=s2(s+4)2+32K(s+0.5) 图4-9 s+8s3+16s2+32Ks+16K im[D(o)=-8o3+32KO=0 Re[D(o)=o-1602+16K=0 解出K=3 画岀根轨迹如图49所示。由根轨迹及计算结果可以确定K的稳定范围是 例4-7单位负反馈系统的开环传递函数为 K (s-1(s2+6s+10) 画出当κ*由0→∞变化时,闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时K*的取值范围

·89· 根轨迹如图 4-8 所示。 (2)由幅值条件知 4 2 2 2     s s s s k 将 s=-1.24 代入得 k=0.288 例 4-6 单位负反馈系统的开环传递函数为 2 2 (0.25 1) (2 1) ( )    s s K s G s 画出 K 从0   变化时闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时 K 的取值范围. 解： 2 2 ( 4) 32 ( 0.5) ( )    s s K s G s 渐进线                  0 0 60 ,180 4 1 (2 1) 2.5 4 1 2 ( 4) 0.5    k a a 与虚轴交点 s s s Ks K D s s s K s 8 16 32 16 ( ) ( 4) 32 ( 0.5) 4 3 2 2 2          令            Re[ ( )] 16 16 0 Im[ ( )] 8 32 0 4 2 3 D j K D j K       解出 K=3  =  2 3 画出根轨迹如图 4-9 所示。由根轨迹及计算结果可以确定 K 的稳定范围是 0<K<3 例 4-7 单位负反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( 6 10) * ( ) 2     s s s K G s 画出当 K*由0   变化时,闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时 K*的取值范围. 图 4-9

渐进线 =(-3-3)/3 +1)丌 分离点 d-1d+3 整理得 +10d+4=0 解出 相应的K*值是 图4-10 Ka=1-1d1+3+川|d1+3-小 4.023 Ka2=1d2-1d2+3+12+3-1=1088 与虚轴的交点 D(s)=s3+5s2+4s+K*-10 [D(o) 4a=0 令 ReD(o)=-502+K*-10=0 画出根轨迹如图4-10所示。由根轨迹可确定使系统稳定的K*取值范围为: 例4-8正反馈系统的开环传递函数 G(SH(S) (s+1)2(s+4)2 当K:0→∞时,绘制系统的根轨迹

·90· 解： ( 1)( 3 )( 3 ) * ( ) s s j s j K G s       渐进线               0 0 60 ,180 3 (2 1) 3 5 (1 3 3)/ 3    k a a 分离点 0 3 1 3 1 1 1        d  d j d j 整理得 3 10 4 0 2 d  d   解出        2.8685 0.4648 1 2 d d 相应的 K*值是                  1 3 3 10.88 1 3 3 4.023 2 2 2 2 1 1 1 1 K d d j d j K d d j d j d d 与虚轴的交点 ( ) 5 4 * 10 3 2 D s  s  s  s  K  令             Re[ ( )] 5 * 10 0 Im[ ( )] 4 0 2 3 D j K D j      解出      * 10 0 1 1 K        * 30 2 2 2 K  画出根轨迹如图 4-10 所示。由根轨迹可确定使系统稳定的 K*取值范围为： 10<K*<30 例 4-8 正反馈系统的开环传递函数 1 ( 1) ( 4) ( ) ( ) 2 2     s s K G s H s 当 K : 0   时，绘制系统的根轨迹。 图 4－10

因为 K (S+1)(S+4) 所以,系统根轨迹需按0根轨迹规则进行绘制 四个开环极点-1,-1,-4,-4为根轨迹的起点 无有限零点,因而四条根轨迹趋于无穷远处 四条渐近线与实轴的交点 四条渐近线与实轴的夹角: p2=90° =180 根轨迹在实轴上的分离点 K=(s+1)2(s+4)2 dK 令 求得:分离点为-25。 根轨迹与虚轴的交点 因 K (s+1)(s+4) s4+10s3+33s2+40s+16-K=0 将S=JO代入,得: -300-+(16-K)=0 10a3+40=0 由2)式得: 0 23=±2(不合理,舍去) 将=0代入1)式,求得: K=16

·91· 解：因为 1 ( 1) ( 4) 2 2  s  s  K 所以，系统根轨迹需按 0 o根轨迹规则进行绘制。 四个开环极点-1，-1，-4，-4 为根轨迹的起点； 无有限零点，因而四条根轨迹趋于无穷远处。 四条渐近线与实轴的交点： 2.5 4 ( 1 1 4 4)           四条渐近线与实轴的夹角：    90 180 90 0 4 3 2 1          根轨迹在实轴上的分离点： 2 2 K  (s 1) (s  4) 令  0 ds dK 求得：分离点为-2.5。 根轨迹与虚轴的交点： 因 0 ( 1) ( 4) 1 2 2     s s K 10 33 40 16 0 4 3 2 s  s  s  s   K  将 s  j 代入，得：           10 40 0 30 (16 ) 0 3 4 2     K 2) 1) 由 2）式得： 1  0 ；  2,3  2 （不合理，舍去） 将  0 代入 1）式，求得： K 16

开环增益的值: 图4 开环增益小于1,闭环系统稳定。根轨迹见图4-11所示。 例4-9设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) 试绘制K和a从零变到无穷大时的根轨迹簇。当K=4时绘出为参变量变化的根轨迹 解:闭环特征方程 +as+K=0 将上式改写为: 1+ K 开环传递函数 s"+K s(s+a) 具有同样的闭环特征方程 当K为定值时,研究:a:0→∞时的根轨迹 对于s2+as+K=0 令S=σ+J代入,得: 04+o--2joo+ao jao+K=0 令实部、虚部分别为零,得: 6+K=0 0 由4)式得 将a代入3)式,并整理得: a2-2-22+K=0 可见,这是一个圆的方程,圆形(0,j0) 半径√K as ,根轨迹的起点是开环传递函数2+K 的极点,即: ±√K 根轨迹的终点:0和无穷远处。 整个负实轴是根轨迹 依上述可绘制根轨迹簇(令K为不同的值) 根轨迹簇如图4-12所示 图4-1 例4-10已知单位反馈系统的开环传递函数为

·92· 开环增益的值： 1 16  K 开环增益小于 1，闭环系统稳定。根轨迹见图 4-11 所示。 例 4-9 设单位反馈系统的开环传递函数为： ( ) ( ) s s a K G s   试绘制 K 和 a 从零变到无穷大时的根轨迹簇。当 K  4时绘出为参变量变化的根轨迹。 解：闭环特征方程： 0 2 s  as  K  1) 将上式改写为： 1 0 2    s K as 2) 开环传递函数 s K as  2 与 s(s a) K  具有同样的闭环特征方程。 当 K 为定值时，研究： a : 0   时的根轨迹。 对于 0 2 s  as  K  令 s    j 代入，得： 2 0 2 2    j  a  ja  K  令实部、虚部分别为零，得：          2 0 0 2 2      a a K 4) 3) 由 4）式得： a  2 将 a 代入 3）式，并整理得： 2 0 2 2 2      K  2 2 2    ( K ) 可见，这是一个圆的方程，圆形（0，j0）， 半径 K 。 又，根轨迹的起点是开环传递函数 s K as  2 的极点，即： s   K j 根轨迹的终点：0 和无穷远处。 整个负实轴是根轨迹。 依上述可绘制根轨迹簇（令 K 为不同的值）。 根轨迹簇如图 4－12 所示。 例 4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为： 图 4-11 图 4-12