§5对角矩阵 定理7设A是n维线性空间T的一个线性变换,的矩阵可以在某一基下为 对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量. 定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的 推论1如果在n维线性空间V中,线性变换用的特征多项式在数域P中有n 个不同的根,即A有n个不同的特征值,那么用在某组基下的矩阵是对角形的 推论2在复数上的线性空间中,如果线性变换A的特征多项式没有重根, 那么A在某组基下的矩阵是对角形的. 在一个线性变换没有个不同的特征值的情形,要判断这个线性变换的矩阵能 不能成为对角形,问题就要复杂些. 定理9如果λ,…λ是线性变换理的不同的特征值,而an,…α是属于特 征值λ1的线性无关的特征向量,i=1,2,…k那么向量组 ax1…,amn,…,aA1…,∝也线性无关 根据这个定理,对于一个线性变换,求出属于每个特征值的线性无关的特征 向量,把它们合在一起还是线性无关的如果它们的个数等于空间的维数,那么 这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵;如果它们的个数少于空间的 维数,那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形换句话说,设星 全部不同的特征值是λ1…λ,于是理在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件 是A的特征子空间,…,吃的维数之和等于空间的维数 应该看到,当线性变换在一组基下的矩阵A是对角形时 100 02,0 000 的特征多项式就是
§5 对角矩阵 定理 7 设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换，A 的矩阵可以在某一基下为 对角矩阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 推论 1 如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 A 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根，即 Å 有 n 个不同的特征值，那么 A 在某组基下的矩阵是对角形的. 推论 2 在复数上的线性空间中，如果线性变换 A 的特征多项式没有重根， 那么 A 在某组基下的矩阵是对角形的. 在一个线性变换没有个不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能 不能成为对角形，问题就要复杂些. 定理 9 如果 k , , 1 是线性变换 A 的不同的特征值，而 i i ir , , 1 是属于特 征 值 i 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， i = 1, 2, , k 那 么 向 量 组 k ir k kr , , , , , , 11 1 1 也线性无关. 根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征 向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么 这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的 维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.换句话说，设 A 全部不同的特征值是 r , , 1 ，于是 A 在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件 是 A 的特征子空间 r V V , , 1 的维数之和等于空间的维数. 应该看到，当线性变换 A 在一组基下的矩阵 A 是对角形时： = n A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 A 的特征多项式就是
E-4=(-412-2)…(2-2) 因此,如果线性变换η在一组基下的矩阵是对角形,那么主对角线上的元 素除排列次序外是确定的,它们正好是A的特征多项式全部的根(重根按重数计 根据§3定理5,一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就 相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题 例在§4的例2中,已经算出线性变换理的特征值是-1(二重)与5,而对 应的特征向量是 53=E1+E2+E 由此可见,在基512,3.下的矩阵为对角矩阵 B=0-1 00 而由E1E2,E3到51,2,3的过渡矩阵是 101 于是,X-AX=B
( )( ) ( ) E − A = − 1 − 2 − n 因此，如果线性变换 A 在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元 素除排列次序外是确定的，它们正好是 A 的特征多项式全部的根（重根按重数计 算）. 根据§3 定理 5，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就 相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题. 例 在§4 的例 2 中，已经算出线性变换 A 的特征值是-1（二重）与 5，而对 应的特征向量是 . , , 3 1 2 3 2 2 3 1 1 3 = + + = − = − 由此可见，A 在基 , , . 1 2 3 下的矩阵为对角矩阵 − − = 0 0 5 0 1 0 1 0 0 B 而由 1 2 3 , , 到 , , . 1 2 3 的过渡矩阵是 − − = 1 1 1 0 1 1 1 0 1 X 于是， X AX = B −1