分域基 ·只在L的部分定义域存在(部分为零) 形状复杂 稳定 维、二维、三维 一个分域基函数仅在部分函数域内定义有非零值,通常这部分域的尺寸远 小于波长。除了方波函数(又称为脉冲基函数)以外,几乎全部分域基函 数(例如三角函数)具有重叠的非零区。 26
26 ▪ 分域基 • 只在L的部分定义域存在（部分为零） • 形状复杂 • 稳定 • 一维、二维、三维 一个分域基函数仅在部分函数域内定义有非零值，通常这部分域的尺寸远 小于波长。除了方波函数（又称为脉冲基函数）以外，几乎全部分域基函 数（例如三角函数）具有重叠的非零区
分域基 因此,为了定义分域基函数,通常需要将求解区域划分为很多小片的集合, 每个小片称为一个网格单元或简称为一个单元。这样的单元集合构成目标的 近似表示,因此称为网格。一些典型的网格单元形状如图4-4所示。典型的 网格单元的形状,对于线状结构为线段;对于面状结构为三角形和方形;对 于体状结构为立方体、四面体及棱柱体。 < (a)线段,(b)平面三角形,(c)六面体 图4-4典型的网格单元 27
27 因此，为了定义分域基函数，通常需要将求解区域划分为很多小片的集合， 每个小片称为一个网格单元或简称为一个单元。这样的单元集合构成目标的 近似表示，因此称为网格。一些典型的网格单元形状如图4-4所示。典型的 网格单元的形状，对于线状结构为线段；对于面状结构为三角形和方形；对 于体状结构为立方体、四面体及棱柱体。 (a) (b) (c) (a)线段，(b)平面三角形，(c)六面体 图4-4 典型的网格单元 分域基
分域基 实际上,广泛地选择矩形基函数和三角基函数作为分域基函数。许多其它基 函数是该两种基函数的变形或组合。一个矩形基函数在一个单元内定义为1, 而在其余全部单元内定义为零。因此,任何两个矩形基函数的非零的子域不 会重叠。三角基函数恰好相反,每个三角基函数在两个单元中具有非零区域。 显然,基函数的选择有时与网格的形状有关。以一维为例,将未知函数定义 在一个区域[1],再将该区域划分为相同尺寸的N个子区。第n个子区的数学 定义为(n-1)△≤x≤n△,这里n=1,2,3,…,N,而△=l/N。 f(r) 个矩形基函数J(x)定义为 l,(n-1)△≤x≤n△ 1(0)=0.其它区域 (n-1)△n△ 28 图101-2第n个矩形基基函数f(x)
28 实际上，广泛地选择矩形基函数和三角基函数作为分域基函数。许多其它基 函数是该两种基函数的变形或组合。一个矩形基函数在一个单元内定义为1， 而在其余全部单元内定义为零。因此，任何两个矩形基函数的非零的子域不 会重叠。三角基函数恰好相反，每个三角基函数在两个单元中具有非零区域。 显然，基函数的选择有时与网格的形状有关。以一维为例，将未知函数定义 在一个区域[0,1], 再将该区域划分为相同尺寸的N个子区。第n个子区的数学 定义为 (n −1)Δ x nΔ , 这里 n =1,2,3, ,N ，而 Δ =1/N 。 一个矩形基函数 f n (x) 定义为 − = 0, 其它区域 1, ( 1)Δ Δ ( ) n x n f x n 分域基
分域基 为了说明表示的精度,图10-1-3中给出函数 f(x)=snx,x∈[-3,4]的近似表示, 图10-1-3a为原函数,图10-1-3(b) 使用14个矩形基函数表示,图10-1- 3(c)使用46个矩形基函数表示。由 图可见,为了精确地表示一个函数 需要大量矩形基函数。 图10-1-3sinx函数的近似表示:a)原函数, (b)14个矩形基函数,(c)46个矩形基函数 29
29 为了说明表示的精度，图10-1-3中给出函数 f (x) = sin x, x[−3,4] 的近似表示， 图10-1-3(a)为原函数，图10-1-3(b) 使用14个矩形基函数表示，图10-1- 3(c)使用46个矩形基函数表示。由 图可见，为了精确地表示一个函数 需要大量矩形基函数。 分域基
分域基 矩形基函数是在一个分段内用常数表示的函数,所以它是一个零阶的函数。 矩形基函数十分简单,且易于编程。但是,它不是一个有效的基函数。为了 改善表示的有效性,可以提高基函数的阶数。三角函数是一个一阶基函数, 因为它在一段域内线性地由0增加到1,在相邻的域内线性地由1降至0。因此, 两个相邻的三角函数具有重叠部分。再以一维例子予以说明。 令[xn=1,xn]和[xn,xn+1]为两个相邻的单元,那么一个三角基函数可以表示为 fs( f(x)= (x-xn-1)/( x<x mn+1-x)/(xn+1-xn), xn n+1 (a)第三和第四单元中的三角基函数 30
30 分域基 矩形基函数是在一个分段内用常数表示的函数，所以它是一个零阶的函数。 矩形基函数十分简单，且易于编程。但是，它不是一个有效的基函数。为了 改善表示的有效性，可以提高基函数的阶数。三角函数是一个一阶基函数， 因为它在一段域内线性地由0增加到1，在相邻的域内线性地由1降至0。因此， 两个相邻的三角函数具有重叠部分。再以一维例子予以说明。 令 [xn−1 , xn ] 和 [xn , xn+1 ] 为两个相邻的单元，那么一个三角基函数可以表示为 − − − − = + + + − − − 1 1 1 1 1 1 ( )/( ), ( )/( ), ( ) n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x f x