水人 新课 3.5.1向量空间与子空间2 尚幸 由定义3.5.1可知，全体n维向量构成一个向量 空间，称为n维向量空间，记作R”, 由一个零向量构成的集合0，也是一个向量空间， 称之为零空间 定义3.5.2设W是向量空间V的一个非空子集 如果W关于向量的加法和数乘运算都封闭，则称 W是V的一个子空间。 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司
维向量空间，记作 以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 2 n n n R 由定义3.5.1可知，全体 维向量构成一个向量 空间，称为 . 由一个零向量构成的集合 {0} 也是一个向量空间， 称之为零空间. W V W 定义3.5.2 设 是向量空间 如果 关于向量的加法和数乘运算都封闭，则称 是 V 的一个子空间. 的一个非空子集， W
0人 新课 3.5.1向量空间与子空间3 尚幸 向量空间V本身和V中零向量组成的零空间都是 V的子空间，这两个子空间称为V的平凡子空间， 它们分别构成的最大的和最小的子空间： 的其它子空间称为非平凡子空间. 例3.5.1证明n维向量的集合Y={(a,0,,0)a,eR 为向量空间且为的子空间. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 3 向量空间 V 本身和 V 中零向量组成的零空间都是 V 的子空间，这两个子空间称为 它们分别构成 的最大的和最小的子空间. 的其它子空间称为非平凡子空间. V 的平凡子空间， V V n {( ,0, ,0) | } 1 T V = a1 a R n R 例3.5.1 证明 维向量的集合 为向量空间且为 的子空间
认人 新课 3.5.1向量空间与子空间4 尚幸 证明对于中任意向量 Q=(a10,0)）,阝=(b,0…0), 其中a,beR以及k∈R,有 a+阝=(@+b,0,s,0)eV, k@=(ka,0,…,0)e', 即V关于向量的加法和数乘运算都封闭，所以， /是向量空间，且由于VcR,故P是向量空间 且是R”的子空间. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
关于向量的加法和数乘运算都封闭，所以, 以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 4 V T 1 = (a ,0, ,0) T 1 = (b ,0, ,0) a1 ,b1 R k R 证明 对于 中任意向量 ， 其中 以及 ，有 + = a + b V T 1 1 ( ,0, ,0) k = ka V T 1 ( ,0, ,0) ， ， ， V V 即 是向量空间，且由于 n V R V n R ，故 是向量空间 且是 的子空间
0人 新课 3.5.1向量空间与子空间5 尚本 例3.5.2证明n维向量的集合 V={(a,a2,',a,)a1+a42+…+an=0,a,∈R,i=1,2,n 为向量空间且为R的子空间. 证明对于中任意向量a=(a,a2,,an), B=(b,b2,,b),其中 a+a2+…+a,=0,b+b2+…+bn=0 则 a1+b+a2+b2+…+an+bn=0, 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 5 例3.5.2 证明 n 维向量的集合 {( , , , ) | 0, , 1,2, } 1 2 T 1 2 V a a a a a a a R i n = n + ++ n = i = n 为向量空间且为 R 的子空间. V T 1 2 ( , , , ) = a a an T 1 2 ( , , , ) n = b b b 证明 对于 中任意向量 ， ，其中 a1 + a2 ++ an = 0 ， b1 +b2 ++bn = 0 ， 则 a1 +b1 + a2 +b2 ++ an +bn = 0
0人 新课 3.5.1向量空间与子空间6 幸 从而 a+阝=(a+b,a+b2,,an+bn)e、 而对于任意的keR,由 ka+ka2++k@,=k(a+a+…+an)=0, 知 ka=(ka,ka,s,kan)∈ 即了关手向量的加法和数乘运算都封闭，所以， V是向量空间，且由于Vc",故V是向量空间 且是"的子空间. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司
以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 6 n V R n R ，故 且是 的子空间. 从而 + = a + b a + b an + bn V T 1 1 1 2 ( , , , ) . 而对于任意的 k R ，由 k a1 + k a2 ++ k an = k(a1 + a2 ++ an ) = 0 ， 知 k = k a k a k an V T 1 2 ( , , , ) ， 即 V 关于向量的加法和数乘运算都封闭，所以, V 是向量空间，且由于 V 是向量空间