习题 1-1.已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r=R( cos oti+snot方 其中O为常量.求:(1)质点的轨道:(2)速度和速率 解:1)由x=R( cos ot+snoy)知 x=Rcos ot y=Rsin at 消去t可得轨道方程x2+y2=R2 dh-ORsin oti+oRosay v=[G-oRsin an)2+(aRcos or)21=oR 1-2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=4ti+(3+2t)j,式中r的 单位为m,t的单位为s.求:(1)质点的轨道:(2)从t=0到t=1秒的位移;(3) =0和t=1秒两时刻的速度。 解:1)由r=4ti+(3+2t)j可知 4t 消去t得轨道方程为:x=(y-3)
习 题 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = R(cosωti+ sin ωtj) 其中 为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由 r = R(cosωti + sin ωtj) 知 x = R cosωt y = Rsin ωt 消去 t 可得轨道方程 2 2 2 x + y = R 2） j r v ωRsin ωt ωRcosωt dt d = = − i+ v = −ωR ωt + ωR ωt = ωR 2 1 2 2 [( sin ) ( cos ) ] 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r 4t i (3 2t) j 2 = + + ，式中 r 的 单位为 m，t 的单位为 s.求：（1）质点的轨道；（2）从 t = 0 到 t =1 秒的位移；（3） t = 0 和 t =1 秒两时刻的速度。 解：1）由 r 4t i (3 2t) j 2 = + + 可知 2 x = 4t y = 3 + 2t 消去 t 得轨道方程为： 2 x = (y − 3)
2)v===8ti+2 vdt 8ti+2jdt=4i+2j 3)v0)=2j 1-3.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=t2i+2,式中r的单位为 m,t的单位为s求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速 度和法向加速度 dr 2)=[(2t)2+4]=2t2+1) dt√t2+1 1-4.一升降机以加速度a上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升 降机的天花板与底板相距为d,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间 解:以地面为参照系,坐标如图,升降机与螺丝的运动方程分别为 VI=volt=at (1) V2 VI=y
2） i j r v 8t 2 dt d = = + r vdt (8ti 2 j)dt 4i 2 j 1 0 1 0 = = + = + Δ 3） v(0) = 2 j v(1) = 8i + 2 j 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r t i 2tj 2 = + ，式中 r 的单位为 m，t 的单位为 s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速 度和法向加速度。 解：1） i j r v 2t 2 dt d = = + i v a 2 dt d = = 2） 2 1 2 2 1 2 v = [(2t) + 4] = 2(t +1) t 1 2t dt dv a 2 t + = = 2 2 2 2 1 n t a a a t = − = + 1-4. 一升降机以加速度 a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为 d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2 1 0 2 1 y = v t + at （1） 图 1-4 2 2 0 2 1 y = h + v t − gt （2） 1 2 y = y （3）
解之 1-5.一质量为m的小球在高度h处以初速度v水平抛出,求: (1)小球的运动方程; (2)小球在落地之前的轨迹方程 (3)落地前瞬时小球的 dt dt dt 解:(1)x=vot 式(1) h r(t=voti+(h--gt )j (2)联立式(1)、式(2)得 h-2、5 (3) vi-gj而落地所用时间t 所以d vi-√2ghj g√2gh dt [v2+(gt)2] (v2+2gh) 1-6.路灯距地面的高度为h1,一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行 走。试证明人影的顶端作匀速运动,并求其速度v2
解之 2d t g a = + 1-5. 一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 0 v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 dt dr ， dt dv ， t v d d . 解：（1） x v t = 0 式（1） 2 gt 2 1 y = h − 式（2） r i gt ) j 2 1 (t) v t (h - 2 = 0 + （2）联立式（1）、式（2）得 2 0 2 2v gx y = h − （3） i j r v - gt dt d = 0 而 落地所用时间 g 2h t = 所以 i j r v - 2gh dt d = 0 j v g dt d = − 2 2 0 2 y 2 x v = v + v = v + (−gt) 2 1 1 2 2 2 2 2 0 0 2 [ ( ) ] ( 2 ) dv g t g gh dt v gt v gh = = + + 1-6. 路灯距地面的高度为 1 h ，一身高为 2 h 的人在路灯下以匀速 1 v 沿直线行 走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度 2 v
证明:设人从O点开始行走,t时刻人影中足的坐标为x1,人影中头的坐标 为x2,由几何关系可得 图1-6 h 而 x2-x h 所以,人影中头的运动方程为 2≈hx1 ht h-h, h-h 人影中头的速度"2dh-h 1-7.一质点沿直线运动,其运动方程为x=2+4-2t2(m),在t从0秒到 3秒的时间间隔内,则质点走过的路程为多少? 解:v=一=4-4t若v=0解的t=ls dt Ax1=x1-x0=(2+4-2)-2=2m Ax3=x3-x1=(2+4×3-2×32)-(2+4-2)=-8m △x=x|+1x2|=10m 1-8.一弹性球直落在一斜面上,下落高度 h=20cm,斜面对水平的倾角b=30°,问它 第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远 (假设小球碰斜面前后速度数值相等,碰撞时人 射角等于反射角)。 图1-8
证明：设人从 O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为 1 x ，人影中头的坐标 为 2 x ，由几何关系可得 图 1-6 2 1 2 1 2 h h x x x = − 而 x v t 1 = 0 所以，人影中头的运动方程为 0 1 2 1 1 2 1 1 2 v h h h t h h h x x − = − = 人影中头的速度 0 1 2 2 1 2 v h h h dt dx v − = = 1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为 2 x = 2 + 4t − 2t (m)，在 t 从 0 秒到 3 秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？ 解： t dt dx v = = 4 − 4 若 v = 0 解的 t =1s x1 = x1 − x0 = (2 + 4 − 2) − 2 = 2m x x x (2 4 3 2 3 ) (2 4 2) 8m 2 3 = 3 − 1 = + − − + − = − x = x1 + x2 =10m 1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度 h = 20cm ，斜面对水平的倾角 = 30 ，问它 第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远 (假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人 射角等于反射角)。 图 1-8
解:小球落地时速度为vo=√2gh 建立直角坐标系,以小球 第一次落地点为坐标原点如图 y=y COs 60 x=vo cos 60t+=gcos 60t o= Vo sin 60 y=vo sin 60[-gsin 60[ (2) 第二次落地时y=0 g 所以 x=vo cos 60t+. o cos/'s 2v2 0.8m 1-9.地球的自转角速度最大增加到若干倍时,赤道上的物体仍能保持在地球 上而不致离开地球?己知现在赤道上物体的向心加速度约为34cm/s2,设赤道上 重力加速度为980ms2 解:赤道上的物体仍能保持在地球必须满足g=Ro2 现在赤道上物体o’=34×10 R 9.8 3.4×10 1-10.已知子弹的轨迹为抛物线,初速为vn,并且va与水平面的夹角为b 试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解:在顶点处子弹的速度v= V. cOs6,顶点处切向加速度为0
解：小球落地时速度为 v0 = 2gh 一 建立直角坐标系，以小球 第一次落地点为坐标原点如图 0 vx0 = v0 cos 60 0 0 2 0 cos60 2 1 x = v cos60 t + g t （1） 0 vy0 = v0 sin 60 0 0 2 0 sin 60 2 1 y = v sin 60 t − g t （2） 第二次落地时 y = 0 g v t 2 0 = 所以 m g v x v t g t 0.8 2 cos60 2 1 cos60 2 0 0 2 0 = 0 + = = 1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球 上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 2 3.4cm/s ，设赤道上 重力加速度为 2 9.80m/s . 解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 2 g = R 现在赤道上物体 R 2 3.4 10− = 17 3.4 10 9.8 2 = = − 1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 0 v ，并且 0 v 与水平面的夹角为 . 试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：在顶点处子弹的速度 v = v0 cos ，顶点处切向加速度为 0