+十十+十十 习题 4-1.如图所示的圆锥摆,绳长为l,绳子一端固定,另一端系一质量为m的 质点,以匀角速ω绕铅直线作圆周运动,绳子与铅直线的夹角为O。在质点旋转 周的过程中,试求 (1)质点所受合外力的冲量l (2)质点所受张力T的冲量I 解 (1)根据冲量定理:「F=dP=△P 其中动量的变化:m-mvn 在本题中,小球转动一周的过程中,速度没有变化,动量的变化就为0,冲 量之和也为0,所以本题中质点所受合外力的冲量I为零 (2)该质点受的外力有重力和拉力,且两者产生的冲量大小相等,方向相 重力产生的冲量=mgT=2mg/o;所以拉力产生的冲量=2mg/o,方向为竖直 向上 42.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动,速度℃=4m/s。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致,大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆,如图。求: (1)力F在1s到3s间所做的功 (2)其他力在ls到s间所做的功 (1)由做功的定义可知: W=Fax=JFvd=lF=vxS椭圆=1256J (2)由动能定理可知,当物体速度不变时,外力做的总功为零,所以当该F 做的功为1256J时,其他的力的功为-1256J 4-3.质量为m的质点在Oxy平面内运动,运动学方程为 r= a cos otr+bsno,求: (1)质点在任一时刻的动量 (2)从t=0到t=2丌/O的时间内质点受到的冲量
+++++++习题 4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为 l，绳子一端固定，另一端系一质量为 m 的 质点，以匀角速 ω 绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为 θ。在质点旋转 一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量 I； （2）质点所受张力 T 的冲量 IT。 解： （1）根据冲量定理： = = t t P P dt d 0 0 F P P 其中动量的变化： 0 mv − mv 在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为 0，冲 量之和也为 0，所以本题中质点所受合外力的冲量 I 为零 （2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相 反。 重力产生的冲量=mgT=2mg/；所以拉力产生的冲量=2mg/，方向为竖直 向上。 4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度 =4m/s。已知其中一力 F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求： （1）力 F 在 1s 到 3s 间所做的功； （2）其他力在 1s 到 s 间所做的功。 解： （1）由做功的定义可知： W Fdx Fvdt v Fdt v S J x 125.6 3 1 3 x 1 2 1 = = = = = 椭圆 （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该 F 做的功为 125.6J 时，其他的力的功为-125.6J。 4-3. 质量为 m 的质点在 Oxy 平面内运动，运动学方程为 r = a costi + bsin tj ，求： （1）质点在任一时刻的动量； （2）从 t = 0 到 t = 2 / 的时间内质点受到的冲量
解:(1)根据动量的定义:P=mv=m(- oasin ot+ @b cos atj) (2)从t=0到t=2丌/O的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动 量的变化,因为动量没变,所以冲量为零 44质量为M=20kg的物体(不考虑体积),用一根长为=1.0m的细绳悬挂 在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v=600m/s的水平速度射穿物体。刚 射出物体时子弹的速度大小y=30m/,设穿透时间极短。求 (1)子弹刚穿出时绳中张力的大小 (2)子弹在穿透过程中所受的冲量。 解 (1)解:由碰撞过程动量守恒可得:mvo=mv+Mv1 代入数据0.02×600=0.02×30+2v1可得:V1=57m/s 根据圆周运动的规律:TG=MRT=Mg+M2=846N (2)根据冲量定理可得:=mv-mvo=-0.02×570=-114N·s 45.一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子,已知电子 的动量为12×10-2kgms,中微子的动量为64×1023kgms,两动量方向 彼此垂直。(1)求核反冲动量的大小和方向:(2)已知衰变后原子核的质量为 58×10-6kg,求其反冲动能 由碰撞时,动量守恒,分析示意图,可写成分量式: m, sin a m, cos a P=m, cosa+m, sin a
解：（1）根据动量的定义： P mv m a t b t = = − + ( sin cos ) i j （2）从 t = 0 到 t = 2 / 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动 量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。 4-4.质量为 M=2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为 l=1.0m 的细绳悬挂 在天花板上。今有一质量为 m=20g 的子弹以 0 v =600m/s 的水平速度射穿物体。刚 射出物体时子弹的速度大小 v =30m/s，设穿透时间极短。求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解： （1）解：由碰撞过程动量守恒可得： mv0 = mv + Mv1 代入数据 02 30 2 1 0.02600 = 0. + v 可得： v 5.7m/s 1 = 根据圆周运动的规律：T-G= 2 v M R 2 1 84.6 v T Mg M N R = + = （2）根据冲量定理可得： I = mv − mv = −0.02570 = −11.4N • s 0 4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子 的动量为 1.2 10 kg m/s 22 − ，中微子的动量为 23 6.4 10 kg m/s − ，两动量方向 彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为 5.8 10 kg −26 ，求其反冲动能。 由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式： m1 sin = m2 cos P = m1 cos + m2 sin
所以P=14×10-2kg·m/sb=x-a=151.9° (2)反冲的动能为:Ek P2=017×101.J 2m 4-6.一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4×1031/3,子 弹从枪口射出时的速率为300ms。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求 (1)子弹走完枪筒全长所用的时间t (2)子弹在枪筒中所受力的冲量/ (3)子弹的质量 解:(1)由F=400-4×1051/3和子弹离开枪口处合力刚好为零,则可以 得到:F=400-4×1031/3=0算出t0.003s (2)由冲量定义 =Fd=-J。(4004×10/3)d=40012×102/360=06N 0.003 (3)由动量定理: Ft=△P=mv=06N●s 所以:m=06/300=0.002kg 47.有质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它的落地点为x。如果它在飞 行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落,另一碎片水 平抛出,它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解:在爆炸的前后,质心始终只受重力的作用,因此,质心的轨迹为一抛物 线,它的落地点为x x=mx+m2x2因为m=m2=m,x m1+m2
所以 22 P kg m s 1.4 10 / − = • = − = 151.9 （2）反冲的动能为： 2 18 0.17 10 2 k P E J m − = = 4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 400 4 10 / 3 5 F = − t ，子 弹从枪口射出时的速率为 300m/s 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求： （1）子弹走完枪筒全长所用的时间 t ； （2）子弹在枪筒中所受力的冲量 I ； （3）子弹的质量。 解：（1）由 400 4 10 / 3 5 F = − t 和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以 得到： 400 4 10 / 3 0 5 F = − t = 算出 t=0.003s。 （2）由冲量定义： 0.003 0.003 0.003 5 5 2 0 0 0 I Fdt t dt t t N s = = − = − = • 400 4 10 / 3 400 2 10 / 3 0.6 （ ） （3）由动量定理： 0.003 0 0.6 0.6/ 300 0.002 I Fdt P mv N s m kg = = = = • = = 所以： 4-7. 有质量为 2m 的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为 c x 。如果它在飞 行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物 线，它的落地点为 xc。 1 1 2 2 1 2 c m x m x x m m + = + 因为 m m m 1 2 = = ， 1 2 c x x =
mx + 2m 故x ,x2=万x 48.两个质量分别为m1和m2的木块A、B,用一劲度系数为k的轻弹簧连 接,放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块,使弹簧压缩x。然后释放 (已知m1=m,m2=3m)求: (1)释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时 速度的大小 (2)弹簧的最大伸长量 解:分析题意,可知在弹簧由压缩状态回到原长时,是弹簧的弹性势能转换 为B木块的动能,然后B带动A一起运动,此时动量守恒,可得到两者相同的 速度γ,并且此时就是弹簧伸长最大的位置,由机械能守恒可算出其量值 m2v202 v20=(m1+m2)v 2-5 (2)m2v202=kx2+(m1+m2)y2 那么计算可得:x==x 49.二质量相同的小球,一个静止,一个以速度Ub与另一个小球作对心碰撞, 求碰撞后两球的速度。(1)假设碰撞是完全非弹性的:(2)假设碰撞是完全弹性 的;(3)假设碰撞的恢复系数e=0.5 解:由碰撞过程动量守恒以及附加条件,可得 (1)假设碰撞是完全非弹性的,即两者将以共同的速度前行: 2
故 2 2 2 3 , 4 2 c c c mx mx x x x m + = = 4-8. 两个质量分别为 m1 和 m2 的木块 A、B ，用一劲度系数为 k 的轻弹簧连 接，放在光滑的水平面上。 A 紧靠墙。今用力推 B 块，使弹簧压缩 0 x 然后释放。 （已知 m1 = m， m2 = 3m ）求： （1）释放后 A、B 两滑块速度相等时的瞬时 速度的大小； （2）弹簧的最大伸长量。 解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换 为 B 木块的动能，然后 B 带动 A 一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的 速度 v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。 2 0 2 2 2 0 2 1 2 1 m v = kx v v m2 2 0 =（m1 + m2） 所以 m k v x 4 3 3 = 0 （2） 2 1 2 2 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 m v = k x + （m + m ）v 那么计算可得： 0 2 1 x = x 4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度 0 与另一个小球作对心碰撞， 求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性 的；（3）假设碰撞的恢复系数 e = 0.5. 解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得 （1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行： mv 2mv 0 =
所以:p=1 (2)假设碰撞是完全弹性的, mv mv, + mv mo =m, +om2 两球交换速度, (3)假设碰撞的恢复系数e=0.5,也就是 mo mv t mv2 =0.5 所以:v 4-10.如图,光滑斜面与水平面的夹角为a=30°,轻质弹簧上端固定.今在 弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M=10kg的木块,木块沿斜面从静止开始向下 滑动.当木块向下滑x=30cm时,恰好有一质量 m=00lkg的子弹,沿水平方向以速度v=200m 射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为 k=25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。 解:由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度,碰撞过程中子弹和木快沿 斜面方向动量守恒,可得: Mv,2+akx= mgxsin a →v1=0.83(碰撞前木快的速度) Mv, - a=(m+M v →ν′=-0.89
所以： 0 2 1 v = v （2）假设碰撞是完全弹性的， mv0 = mv1 + mv2 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 mv = mv + mv 两球交换速度， v1 = 0 2 0 v = v （3）假设碰撞的恢复系数 e = 0.5 ，也就是 mv0 = mv1 + mv2 0.5 10 20 2 1 = − − v v v v 所以： 1 0 4 1 v = v ， 2 0 4 3 v = v 4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为 = 30 ，轻质弹簧上端固定．今在 弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 M = 1.0kg 的木块，木块沿斜面从静止开始向下 滑动．当木块向下滑 x = 30cm 时，恰好有一质量 m = 0.01kg 的子弹，沿水平方向以速度 v = 200m/s 射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为 k = 25N/m 。求子弹打入木块后它们的共同速度。 解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿 斜面方向动量守恒，可得： 2 2 1 1 1 sin 2 2 Mv kx Mgx + = 1 = v 0.83 (碰撞前木快的速度) 1 Mv mv m M v − = + cos （ ） = − v 0.89