习题 5-1.如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的 两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两 个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物 组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力 解:受力分析如图 m2g-12=2mc T-mg=ma (2) (T2-T)r=JB (T-Dr=JB rB 联立 5-2.如图所示,一均匀细杆长为1,质量为m,平放在摩擦系数为的水平桌 面上设开始时杆以角速度O。绕过中心O且垂直与桌面的轴转动,试求:(1)作 用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。 (1)设杆的线=",在杆上取一小质元 df dmg= uagdx dM= uagxdx 考虑对称
习题 5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的 两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两 个定滑轮的转动惯量均为 / 2 2 mr ，将由两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物 组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图 2mg −T2 = 2ma （1） T1 − mg = ma （2） (T2 −T1 )r = J （3） (T −T1 )r = J （4） a = r (5) 联立 a g 4 1 = ， T mg 8 11 = 5-2. 如图所示,一均匀细杆长为 l ，质量为 m ，平放在摩擦系数为 的水平桌 面上,设开始时杆以角速度 0 绕过中心 O 且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作 用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 设杆的 线 l m = ，在杆上 取一小 质元 dm = dx df = dmg = gdx dM = gxdx 考虑对称
M=2 2ungxdx=amgl (2)根据转动定律M=JB=J d -Mdt= Jdo lt 所以t= g 5-3.如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质 量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动 惯量为MR2/2,试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系。 dv mg-T=ma=m dt = RB 整理(m+-M)"=mg cu gdr p=-h8
M gxdx mgl l = = 2 0 4 1 2 （2） 根据转动定律 d M J J dt = = − = t w Mdt Jd 0 0 0 0 2 12 1 4 1 − mglt = − ml 所以 g l t 3 0 = 5-3. 如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质 量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 M 、半径为 R ,其转动 惯量为 / 2 2 MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 dt dv mg − T = ma = m TR = J R dt dv = 整理 mg dt dv m + M ) = 2 1 ( gdt m M m dv v t + = 0 0 2 1 2 M m mgt v + =
5-4.轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4, 均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端, 而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物,如图。已知滑轮 对O轴的转动惯量J=MR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速M5囡 向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度? 解:选人、滑轮与重物为系统,设u为人相对绳的速度,为重 物上升的速度,系统对轴的角动量 L=EvR-M(u-v)R+(R2)o Mvr-Mur 根据角动量定理 MgR=-(wvR-MuR) 3,d3 MgR=MR 所以 g a 5-5.计算质量为m半径为R的均质球体绕其 轴线的转动惯量 证明:设球的半径为R,总重量为m,体 3m 密度P=4R 将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘, 则盘的体积为x(√R2-22)2d J=2列(R-2)s8x2 15 PR==mR2
5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 M / 4， 均匀分布在其边缘上，绳子 A 端有一质量为 M 的人抓住了绳端， 而在绳的另一端 B 系了一质量为 M / 4 的重物，如图。已知滑轮 对 O 轴的转动惯量 / 4 2 J = MR ，设人从静止开始以相对绳匀速 向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B 端重物上升的加速度？ 解：选人、滑轮与重物为系统，设 u 为人相对绳的速度， v 为重 物上升的速度，系统对轴的角动量 MvR MuR R M v R M u v R M L = − = − − + 2 3 ) 4 ( ) ( 4 2 根据角动量定理 dt dL M = ) 2 3 ( 4 3 MvR MuR dt d MgR = − = 0 dt du MRa dt dv MgR MR 2 3 2 3 4 3 = = 所以 2 g a = 5-5. 计算质量为 m 半径为 R 的均质球体绕其 轴线的转动惯量。 证明：设球的半径为 R ，总重量为 m ，体 密度 3 4 3 R m = ， 将球体划分为许多厚度为 dZ 的圆盘， 则盘的体积为 R Z dZ 2 2 2 ( − ) 2 1 8 2 2 2 5 2 ( ) 2 15 5 R R J R Z dZ R mR − = − = =
5-6.一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧 的劲度系数k=40N/m,当θ=0时弹簧无形变,细棒的质量 m=50kg,求在O=0的位置上细棒至少应具有多大的角速度15 O,才能转动到水平位置? 解:机械能守恒 mg+-J02=-k 根据几何关系(x+0.5)2=152+12=3.28nuds-1 5-7.如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕O轴 在铅直面内转动。若盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求 (1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率 (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力 解:在虚线位置的C点设为重力势能的零点,下降过程 机械能守恒 R 0- J=-mR+mR N3Rv。=Ro=|4Rg 16Rg V 3 v=2Ro Fr=g +mRo2= 方向向上 5-8.如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和 2m的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O 两端分别为l和=l.轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量 为m的小球,以水平速度ν与杆下端小球m作对心碰撞,碰后 以v0的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 2 解:根据角动量守衡有
5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧 的劲度系数 k = 40N/m ，当 = 0 时弹簧无形变，细棒的质量 m = 5.0kg ，求在 = 0 的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ，才能转动到水平位置？ 解：机械能守恒 2 2 2 1 2 1 2 1 mg + J = kx 根据几何关系 2 2 2 (x + 0.5) =1.5 +1 1 3.28 − = rad s 5-7. 如图所示，一质量为 m 、半径为 R 的圆盘，可绕 O 轴 在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求： （1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘 A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：在虚线位置的 C 点设为重力势能的零点，下降过程 机械能守恒 2 2 1 mgR = J 2 2 2 1 J = mR + mR R g 3 4 = 3 4Rg vc = R = 16 2 3 A Rg v R = = 2 7 3 F mg mR mg y = + = 方向向上 5-8. 如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为 m 和 2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴 O 在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为 l 3 1 和 l 3 2 ．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量 为 m 的小球，以水平速度 0 v 与杆下端小球 m 作对心碰撞，碰后 以 0 2 1 v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守衡 有
3mny=(3)m0+(3):2m0-m2" 3v 5-9.一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆 盘与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕通过其 中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时,圆盘静止, 质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后, 盘所获得的角速度:(2)经过多少时间后,圆盘停止/m 转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为 MR2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解(1)角动量守恒 myr=Mro+mro 2 (2m+ MR (2)M=dM=udmgr=Lugr R 2Trdr=-uMgR 2(M+2m 山MgRM=(MR2+mR2)o-0,∴M 4uMg 由(1)已得:O 代入即得=-3m M+2mr 2uMg 5-10.有一质量为m、长为的均匀细棒,静止 平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它可绕通过 其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水 平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒 的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在 碰撞前后的速度分别为v和v2,如图所示。求碰撞后 从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间
0 2 2 0 2 1 3 2 ) 2 3 ) ( 3 2 ( 3 2 m ml v l m l mv l = + − l v 2 3 0 = 5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ，半径为 R ，放在一粗糙水平面上(圆 盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其 中心 O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止， 一质量为 m 的子弹以水平速度 v 垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后， 盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止 转动。( 圆盘绕通 过 O 的竖直轴的转动 惯量为 2 2 1 MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解（1）角动量守恒 2 2 2 1 mvR = MR + mR 2 (2 ) mv m M R = + （2） 2 0 2 2π 3 R M M dM dmgr gr rdr MgR R = = = = 2 1 2 2 ( ) 0 3 2 MgR t MR mR = + − ， 2 2 ( ) 4 M m t R Mg + = 由（1）已得： ( ) 2 2 m M m R = + v ，代入即得 3 2 m t Mg = v 5-10. 有一质量为 m1 、长为 l 的均匀细棒，静止 平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过 其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水 平运动的质量为 m2 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒 的另一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在 碰撞前后的速度分别为 1 v 和 2 v ，如图所示。求碰撞后 从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间