习题 8-1.沿一平面简谐波的波线上,有相距20m的两质点A与B,B点振动相 位比A点落后一,已知振动周期为20s,求波长和波速 解:根据题意,对于A、B两点,△O=02-9_64x=2m 而相位和波长之间又满足这样的关系:△q=2-91= 代入数据,可得:波长A=24m。又已知T=2s,所以波速u=A/I=12m/s 8-2.已知一平面波沿x轴正向传播,距坐标原点O为x1处P点的振动式为 y=Acos(ot+g),波速为l,求 (1)平面波的波动式; (2)若波沿x轴负向传播,波动式又如何? 解:(1)根据题意,距坐标原点O为x1处P点是坐标原点的振动状态传过来 的,其0点振动状态传到p点需用Mt=—,也就是说t时刻p处质点的振动 状态重复t--时刻0处质点的振动状态。换而言之,0处质点的振动状态相当 于1+时刻p处质点的振动状态,则0点的振动方程为: y=AcosO(t+-)+P y=Acos(o(t+1-)+o]= A cos(o(t-21)+]
习题 8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距 2.0m 的两质点 A 与 B ，B 点振动相 位比 A 点落后 6 ，已知振动周期为 2.0s ，求波长和波速。 解：根据题意，对于 A、B 两点， x 2m 6 = 2 − 1 = ， = 而相位和波长之间又满足这样的关系： 2 2 2 1 2 1 x x x = − − = − = − 代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速 u=λ/T=12m/s 8-2． 已知一平面波沿 x 轴正向传播，距坐标原点 O 为 1 x 处 P 点的振动式为 y = Acos(t +) ，波速为 u ，求: （1）平面波的波动式； （2）若波沿 x 轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）根据题意，距坐标原点 O 为 1 x 处 P 点是坐标原点的振动状态传过来 的，其 O 点振动状态传到 p 点需用 u x t 1 = ，也就是说 t 时刻 p 处质点的振动 状态重复 u x t − 时刻 O 处质点的振动状态。换而言之，O 处质点的振动状态相当 于 u x t 1 + 时 刻 p 处 质 点 的 振 动 状 态 ， 则 O 点 的 振 动 方 程 为 ： cos[ ] 1 = （ + ）+ u x y A t 波 动 方 程 为 ： 1 1 cos[ ] cos[ ( ) ] x x x x y A t A t u u u − = + − + = − + （ ）
(2)若波沿x轴负向传播,0处质点的振动状态相当于1-时刻p处质点的 振动状态,则0点的振动方程为:y= Acos[@(t-)+g =Aosa1-X-x)+以]= Acos o(-xx)+以 8-3.一平面简谐波在空间传播,如图所示,已知 A点的振动规律为y=Acos(2rw+),试写出: (1)该平面简谐波的表达式 (2)B点的振动表达式(B点位于A点右方d 处) 解:(1)仿照上题的思路,根据题意,A点的振动规律为y=Acos(2m+q), 它的振动是O点传过来的,所以O点的振动方程为:y=Acos[2v(t+-)+] 那么该平面简谐波的表达式为:y=Acos[2nv(t+-+-)+q] (2)B点的振动表达式可直接将坐标x=d-1,代入波动方程 l d-l y=Acos[2rv(t+-+-)+g]=Acos[2rv(t+-)+q 也可以根据B点的振动经过一时间传给A点的思路来做。 8-4.已知一沿x正方向传播的平面余弦波,S时的波形如图所示,且周 期T为2s (1)写出O点的振动表达式; 10 (2)写出该波的波动表达式;
（2）若波沿 x 轴负向传播， O 处质点的振动状态相当于 u x t 1 − 时刻 p 处质点的 振动状态，则 O 点的振动方程为： cos[ ] 1 = （ − ）+ u x y A t 波 动 方 程 为 ： 1 1 cos[ ] cos[ ( ) ] x x x x y A t A t u u u + = − − + = − + （ ） 8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知 A 点的振动规律为 y = Acos(2t +) ，试写出： （1）该平面简谐波的表达式； （2） B 点的振动表达式（ B 点位于 A 点右方 d 处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意， A 点的振动规律为 y = Acos(2t +) ， 它的振动是O点传过来的，所以 O点的振动方程为： = cos[2 （ + ）+] u l y A t 那么该平面简谐波的表达式为： = cos[2 （ + + ）+] u x u l y A t （2）B 点的振动表达式可直接将坐标 x d l = − ，代入波动方程： cos[2 +] = cos[2 + +] − = （ + + ） （ ） u d A t u d l u l y A t 也可以根据 B 点的振动经过 u d 时间传给 A 点的思路来做。 8-4. 已知一沿 x 正方向传播的平面余弦波， s 3 1 t = 时的波形如图所示，且周 期 T 为 2s. （1）写出 O 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式；
(3)写出A点的振动表达式; (4)写出A点离O点的距离 解:由图可知A=0.1m,λ=0.4m,由题知T=2s,o=2/T=,而u=A/T=0.2m/s 波动方程为:y=0.lcos[π(t-x/0.2)+Φ。]m关键在于确定0点的初始相位 (1)由上式可知:0点的相位也可写成:中=πt+Φ。 由图形可知:t=-s时y=M2,v<0,∴此时的中=2/3, 将此条件代入,所以 0所以≈x O点的振动表达式y=0.cos[πt/3]m (2)波动方程为:y=0.1cos[r(t-x/0.2)+π/3]m (3)A点的振动表达式确定方法与0点相似由上式可知: A点的相位也可写成:φ=t+ΦA0 由图形可知:t=-s时y=0,v0>0,∴此时的中=-/2 将此条件代入,所以: 2=x3+90所以0=-2 6 A点的振动表达式y=0.1cos[rt-5/6]m (4)将A点的坐标代入波动方程,可得到A的振动方程,与(3)结果相同,所 以:y=0.1cos[π(tx/0.2)+/3]=0.1cos[mt-5/6] 可得到:x=30=023 一平面简谐波以速度u=0.8ms沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲 线如图所示。试写出 (1)原点的振动表达式 (2)波动表达式 (3)同一时刻相距lm的两点之间的位相差。 解:由图可知A=0.5cm,原点处的振动方程为:y=Acos(ot+φ)
（3）写出 A 点的振动表达式； （4）写出 A 点离 O 点的距离。 解：由图可知 A=0.1m，λ=0.4m，由题知 T= 2s，ω=2π/T=π，而 u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定 O 点的初始相位。 （1） 由上式可知：O 点的相位也可写成：φ=πt+Ф0 由图形可知： s 3 1 t = 时 y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3， 将此条件代入，所以： 0 3 1 3 2 = + 所以 3 0 = O 点的振动表达式 y=0.1cos［πt+π/3］m （2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3） A 点的振动表达式确定方法与 O 点相似由上式可知： A 点的相位也可写成：φ=πt+ФA0 由图形可知： s 3 1 t = 时 y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2， 将此条件代入，所以： 0 3 1 2 A − = + 所以 6 5 0 A = − A 点的振动表达式 y=0.1cos［πt-5π/6］m （4）将 A 点的坐标代入波动方程，可得到 A 的振动方程，与（3）结果相同，所 以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］ 可得到： xA 0.233m 30 7 = = 8-5. 一平面简谐波以速度 u = 0.8m/s 沿 x 轴负方向传播。已知原点的振动曲 线如图所示。试写出： （1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距 1m 的两点之间的位相差。 解：由图可知 A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ）
t=0s时y=A/2w0可知其相位为中=-z t=1s时y=0v<0可知其相位为中2= 代入振动方程, 可得:=-T=2/=12/5 63 2)沿x轴负方向传播,波动表达式 y=05s0g(+)305sg+31cm (3)根据已知的T=12/5,l=08ms,可知:2= 那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差:△q=2丌 Ax 25 =3.27rad 8-6.一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进,波的平均强度为 90×103J(sm),频率为300H,波速为300ms。问波中的平均能量密度和 最大能量密度各是多少?每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量 解:(1)∵I=Wu 9.0×10/300=3×103J·m Wn=2=0.6×104J·m3 (2)==1m2=i1ml2 3×105×1/4×(0.14)2×300/300=4.62×107J 8-7.一弹性波在媒质中传播的速度u=103ms,振幅A=1.0×10-m,频
t=0s 时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1= 3 − t=1s 时 y=0 v<0 可知其相位为φ2= 2 代入振动方程， φ= 3 − ω＋φ= 2 可得：ω= 6 5 T=2π/ω=12/5 则 y=0.5cos（ 6 5 ｔ- 3 ）cm （ 2 ） 沿 x 轴 负 方 向 传 播 ， 波 动 表 达 式 ： 5 5 5 y=0.5cos[ (t+ )- ]=0.5cos[ (t+ )- ]a 6 3 6 4 3 x x u cm （3）根据已知的 T=12/5，u = 0.8m/s ，可知： m 25 48 = 那么同一时刻相距 1m 的两点之间的位相差： 3.27rad 24 25 2 = = = x 8-6. 一正弦形式空气波沿直径为 14cm 的圆柱形管行进，波的平均强度为 9.0 10 J/(s m) 3 − ，频率为 300Hz ，波速为 300m/s 。问波中的平均能量密度和 最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1)∵ I= w u ∴ u I w = =9.0×10-3／300=3×10-5 J·m -3 wmax=2 w =0.6×10-4 J·m -3 (2) W= u V w d w d 2 2 4 1 4 1 = = =3×10-5×1π/4×（0.14）２×300/300=4.62×10-7 J 8-7. 一弹性波在媒质中传播的速度 10 m/s 3 u = ，振幅 1.0 10 m −4 A = ，频
率v=103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3,求: (1)该波的平均能流密度 (2)1分钟内垂直通过面积S=40×10+m2的总能量。 解:=2πγ=2π×10 244o21 ×103×800×(10-4)2(2×103)2 (1) 158×105J/(m2·s) (2)1分钟内垂直通过面积S=40×10+m2的总能量 W=St=1.58×105×4×10-4×60=3.79×103J 88.S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源,它们的间距为 d=5A/4,S2质点的振动比S1超前x/2.设S1的振动方程为 yo=Acos-1,且媒质无吸收, (1)写出S1与S2之间的合成波动方程; (2)分别写出S与S2左、右侧的合成波动方程 2 解:(1)y=Acos(ot+10-元 r) y2=Acos(af+2o 由题意:中2m-中10=设它们之间的这一点坐标为x,则 yi=Acos(ot+pro 2
率 10 Hz 3 = 。若该媒质的密度为 3 800kg/m ，求： （1）该波的平均能流密度； （2）1 分钟内垂直通过面积 4 2 4.0 10 m − S = 的总能量。 解：ω=2πγ=2π 3 10 （1） （ ） （ ）（ ） J m s I u A = • = = − 5 2 2 2 3 4 2 3 2 1.58 10 / 10 800 10 2 10 2 1 2 1 （2）1 分钟内垂直通过面积 4 2 4.0 10 m − S = 的总能量 W=ISt J 5 4 3 = 1.5810 410 60 = 3.7910 − 8-8. 1 S 与 2 S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为 d = 5 / 4 ， 2 S 质点的振动比 1 S 超 前 2 . 设 1 S 的振动方程为 t T y A 2 cos 10 = ，且媒质无吸收， （1）写出 1 S 与 2 S 之间的合成波动方程； （2）分别写出 1 S 与 2 S 左、右侧的合成波动方程。 解：（1） ) 2 cos( 1 10 1 y A t r = + − ) 2 cos( 2 20 2 y A t r = + − 由题意：φ20-φ10= 2 设它们之间的这一点坐标为 x，则 ) 2 cos( 1 10 y A t x = + −