习题 11直角三角形ABC的A点上,有电荷q1=1.8×10°C,B点上有电荷 q2=-48×10C,试求C点的电场强度(设BC=004mAC=003m) 解:q1在C点产生的场强E1=4 q2在C点产生的场强E2=—4h C点的合场强E=√E+B=324×10V 方向如图 11-2.用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环,两端间空隙为2cm,电量为 3.12×10-°C的正电荷均匀分布在棒上,求圆心处电场强度的大小和方向 解:棒长l=2xr-d=3.12m 电荷线密度A 10×10-°C.m-1 若有一均匀带电闭合线圈,则圆心处的合场强为0,有一段空隙,则圆心处场强等于闭 合线圈产生电场再减去d=0.02m长的带电棒在该点产生的场强。由于d<<r,该小段可 看成点电荷q=Md=2.0×10C 20×10-11 圆心处场强E 9.0×10 =0.72·n 4丌 Eot (0.5) 方向由缝隙指向圆心处 11-3.将一“无限长”带电细线弯成图示形状,设电荷均匀分布,电荷线密度为λ,四 分之一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强 解:设O为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴 半无限长导线A∞在O点的场强E 2( 4 半无限长导线B在O点的场强E 4丌EnR AB圆弧在O点的场强E 兀ER 总场强E=E1+E2+14x4+∥
53 习题 11-1. 直角三角形 ABC 的 A 点上，有电荷 1.8 10 C 9 1 − q = ， B 点上有电荷 4.8 10 C 9 2 − q = − ，试求 C 点的电场强度(设 BC = 0.04m, AC = 0.03m ). 解： 1 q 在 C 点产生的场强 2 0 1 1 4 AC q E = 2 q 在 C 点产生的场强 2 2 2 0 4 q E BC = C 点的合场强 2 2 4 1 2 E E E 3.24 10 V m = + = 方向如图 11-2. 用细的塑 料棒 弯成半 径为 50cm 的圆 环， 两端 间空 隙为 2cm ，电 量为 3.12 10 C −9 的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向. 解： 棒长 l = 2 r − d = 3.12m 电荷线密度 9 1 1.0 10− − = = C m l q 若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为 0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭 合线圈产生电场再减去 d = 0.02m 长的带电棒在该点产生的场强。由于 d r ，该小段可 看成点电荷 q d C 11 2.0 10− = = 圆心处场强 1 2 11 9 2 0 0 0.72 (0.5) 2.0 10 9.0 10 4 − − = = = V m r q E 方向由缝隙指向圆心处 11-3. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四 分之一圆弧 AB 的半径为 R ，试求圆心 O 点的场强． 解：设 O 为坐标原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴 半无限长导线 A 在 O 点的场强 ( ) 4 0 E i j 1 = − R 半无限长导线 B 在 O 点的场强 ( ) 4 0 E i j 2 = − + R AB 圆弧在 O 点的场强 ( ) 4 0 E i j 3 = + R 总场强 E E E E i j) = 1 + 2 + 3 = ( + 4 0R
114带电细线弯成半径为R的半圆形,电荷线密度为=1sinp, 式中A为一常数,p为半径R与x轴所成的夹角,如图所示.试求环心O 处的电场强度 d o sin de 4丌ER dE2= dE cos考虑到对称性E=0 de dE sin 9 2sn2ood方向沿y轴负向 4丌EnR 88r 11-5.一半径为R的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心O处的电场强 度 解:把球面分割成许多球带,球带所带电荷d=2rodl exod 4z(x2 4兀E0( x=Rcos6 r= rsin 0 dl= rde sin 20de 116.图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板,电荷体密度为.求 板内、外的场强分布,并画出场强随坐标x变化的图线,即E-x图线(设原点 在带电平板的中央平面上,Ox轴垂直于平板 解:在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面 E·s=2EA2q=2xnS 同理可得板外一点场强的大小E= (x>
54 11-4. 带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线密度为 = 0 sin ， 式中 0 为一常数， 为半径 R 与 x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心 O 处的电场强度． 解： R d R dl dE 0 0 2 0 4 sin 4 = = dEx = dEcos 考虑到对称性 Ex = 0 dEy = dEsin R R d Ey dE 0 0 0 0 2 0 4 8 sin sin = = = 方向沿 y 轴负向 11-5. 一半径为 R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为 ，求球心 O 处的电场强 度． 解：把球面分割成许多球带，球带所带电荷 dq = 2 r dl 2 3 2 2 0 2 3 2 2 0 4 ( ) 2 4 ( ) x r rx dl x r xdq dE + = + = x = Rcos r = Rsin dl = Rd 2 0 0 0 1 sin 2 2 2 4 E d i = = 11-6. 图示一厚度为 d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为 ．求 板内、外的场强分布，并画出场强随坐标 x 变化的图线，即 E − x 图线(设原点 在带电平板的中央平面上， Ox 轴垂直于平板)． 解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面 1 S 为高斯面 d E S S • = 2 1 E S q = 2xS 0 x E = ) 2 ( d x 同理可得板外一点场强的大小 2 0 d E = ( ) 2 d x
7.设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律p=P0Cosx分布在整个空间,式中p为恒 量.求空间的场强分布 解:过坐标±x处作与x轴垂直的两平面S,用与x轴平行的侧面将之封闭,构成高斯 面。根据高斯定理有 2poSsin x cos xdx= E=Po sin x Eo l18.在点电荷q的电场中,取一半径为R的圆形平面(如图所示),平面到 q的距离为d.试计算通过该平面的E的通量 解:通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 球冠面的面积S=2zH其中r=√d2+R2 通过该球冠面的电通量Φ=9.2 Trh qh而H=r(1-cosa) E04丌 所以Φ=(1-cosa)=0(1 119.一球体内均匀分布着电荷体密度为p的正电荷,若保持电荷分布不变在该球体中 挖去半径为r的一个小球体,球心为O’,两球心间距离OO=d,如图所示求 (1)在球形空腔内,球心O处的电场强度E0 (2)在球体内P点处的电场强度E设O、O、P三点在同一直径上,且OP=d P,'O/o2 解:(1)利用补偿法,以O为圆心,过O点作一个半径为d的高斯 面。根据高斯定理有 .-m/3 E·d E 80 3c。方同从O指向O (2)过P点以O为圆心,作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有 ds
55 11-7. 设电荷体密度沿 x 轴方向按余弦规律 cos x = 0 分布在整个空间，式中 0 为恒 量．求空间的场强分布． 解：过坐标 x 处作与 x 轴垂直的两平面 S ，用与 x 轴平行的侧面将之封闭，构成高斯 面。根据高斯定理有 0 0 0 0 0 2 sin cos 1 S x xdx S d d x x • = = = − E S E sin x 0 0 = 11-8. 在点电荷 q 的电场中，取一半径为 R 的圆形平面(如图所示)，平面到 q 的距离为 d . 试计算通过该平面的 E 的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与 A 为圆心、 AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。 球冠面的面积 S = 2 rH 其中 2 2 r = d + R 通过该球冠面的电通量 r qH r q rH 0 2 0 4 2 2 = = 而 H = r(1− cos) 所以 (1 ) 2 (1 cos ) 2 2 2 0 0 R d q q d + = − = − 11-9. 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中 挖去半径为 r 的一个小球体，球心为 O ，两球心间距离 OO = d ，如图所示. 求: (1) 在球形空腔内，球心 O 处的电场强度 E0 . (2) 在球体内 P 点处的电场强度 E .设 O、O、 P 三点在同一直径上，且 OP = d . 解：（1）利用补偿法，以 O 为圆心，过 O 点作一个半径为 d 的高斯 面。根据高斯定理有 0 3 3 4 d d • = E0 S 0 0 3 d E = 方向从 O 指向 O （2）过 P 点以 O 为圆心，作一个半径为 d 的高斯面。根据高斯定理有 0 3 3 4 d d • = E S P1 3 0 1 d EP =
过P点以O为圆心,作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有 )方向为径向 111.如图所示,一锥顶角为O的圆台,上下底面半径分别为R1和R2,在它的侧面上 均匀带电,电荷面密度为σ,求顶点O的电势.(以无穷远处为电势零点) 解:以顶点为原点,沿轴线方向为x轴,在侧面上取面元 dS= Rdo R=tan 6 dS o tan=dod Eo d 2 图示为一个均匀带电的球壳,其电荷体密度为p,球壳内表面半径为R1,外表 面半径为R2·设无穷远处为电势零点,求空腔内任一点的电势 解:E,=0 <R r'-Ri p(r3-R3) R <r< 4 R2 P-r(R2-Ri) B尽二)R E,·dr+「"E,·dr fC二2+厂二Bb (R2-R2)
56 过 P 点以 O 为圆心，作一个半径为 2d 的高斯面。根据高斯定理有 0 3 3 4 r d • = E S P2 2 0 3 12 21 d r EP = ) 4 ( 3 2 3 0 1 2 d r E = EP − EP = d − 方向为径向 11-10. 如图所示，一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 R1 和 R2 ，在它的侧面上 均匀带电，电荷面密度为 ，求顶点 O 的电势．(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向为 x 轴，在侧面上取面元 2 cos dx dS = Rd 2 tan R = x 2 cos x r = d dx r dS dU 2 tan 4 1 4 1 0 0 = = 0 2 1 tan tan 2 0 0 2 ( ) 2 tan 4 2 2 2 1 R R U d dx R R − = = 11-11. 图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为 ，球壳内表面半径为 R1 ，外表 面半径为 R2 ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势． 解： E1 = 0 R1 r 2 0 3 1 3 2 0 3 1 3 2 3 ( ) 4 ( ) 3 4 r r R r r R E − = − = 1 R2 R r 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 2 3 3 ( ) 4 ( ) 3 4 r R R r R R E − = − = R2 r = • + • R2 2 3 U E dr E dr R R 2 1 − + − = R2 dr r R R dr r R r R R 2 0 3 1 3 2 2 0 3 1 3 3 ( ) 3 2 ( ) 1 ( ) 2 2 1 2 2 0 = R − R
l112.电荷以相同的面密度a分布在半径为r=10cm和n2=20cm的两个同心球面 上.设无限远处电势为零,球心处的电势为U0=300V (1)求电荷面密度o (2)若要使球心处的电势也为零,外球面上应放掉多少电荷? (E=885×10C2.Nm-2) 解:(1)E1=0 r<r<r E >F2 Eo/ E,·t+E,·dr+「E,·d O o(2+n2 Sol (r1+2) EU08.85×10-×300 =885×10-C/m2 F1+2 30×10 (2)设外球面上放电后电荷密度σ,则有 U=(F+σ2)/E0=0 -r/rO 外球面上应变为带负电,共应放掉电荷q q=4m2(a-a)=4xr2(0+/l2) =4r2(+2) =4xz2(+r2)EU0/(1+F2) 4mEU=4×3.14×885×1012×300×0.2=667×10C 1113如图所示,半径为R的均匀带电球面,带有电荷q.沿某一半径方向上有一均 匀带电细线,电荷线密度为λ,长度为1,细线左端离球心距离为r·设球和线上的电荷分 布不受相互作用影响,试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷 远处的电势为零) 解:以O点为坐标原点,有一均匀带电细线的方向为x轴 球面在轴线上任一点的场强E 4ea6(0+D) 方向沿X正方向。 dw= dg edx x 4rE x
57 11-12. 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r1 =10cm 和 r2 = 20cm 的两个同心球面 上．设无限远处电势为零，球心处的电势为 U0 = 300V． (1) 求电荷面密度 (2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？ （ 12 2 1 2 0 8.85 10 C N m − − − = ） 解： （1） E1 = 0 1 r r 2 0 2 1 2 r r E = 1 2 r r r 2 0 2 2 2 1 3 ( ) r r r E + = 2 r r = • + • + • 2 1 2 1 0 0 r r r r U E dr E dr E dr 1 2 3 dr r r r dr r r r r r + = + 2 2 1 2 0 2 2 2 1 2 0 2 1 ( ) ( ) 1 2 0 = r + r 9 2 3 12 1 2 0 0 8.85 10 30 10 8.85 10 300 C m r r U − − − = = + = （2）设外球面上放电后电荷密度 ' ，则有 ' ' 0 1 2 0 U r r = + = ( ) / 0 ' 1 2 = −r r/ 外球面上应变为带负电，共应放掉电荷 ' q ' 2 ' 2 2 2 1 2 q r r r r = − = + 4 ( ) 4 ( / ) 2 1 2 = + 4 ( ) r r r 2 1 2 0 0 1 2 = + + 4 ( ) /( ) r r r U r r 0 2 0 = 4 rU 12 4 3.14 8.85 10 300 0.2 − = 9 6.67 10− = C 11-13. 如图所示，半径为 R 的均匀带电球面，带有电荷 q ．沿某一半径方向上有一均 匀带电细线，电荷线密度为 ，长度为 l ，细线左端离球心距离为 0 r ．设球和线上的电荷分 布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷 远处的电势为零)． 解：以 O 点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为 x 轴 球面在轴线上任一点的场强 2 4 0 πε x q E = 4 4 ( ) 0 0 0 2 0 0 0 πε r r l λql λdx πε x q F r l r + = = + 方向沿 X 正方向。 dW = dq Edx 0 0 0 2 0 ln 4 4 0 0 r r l πε qλ dx πε x q W λdx x r l r + = = +