第5次课2学时 教师教案 第二章离散傅里叶变换及其快速变换 授课章节 2.1离散傅里叶变换 授课方式 ■理论课口讨论课口实验课口习题课 口其他 1、 了解周期序列的傅里叶级数DFS)及性质，掌握周期卷积过程： 课堂教学 2、理解离散傅里叶变换及性质： 目的及要求3、掌握圆周移位、共轭对称性，掌握周期卷积、循环卷积、线性卷积及两 者之间的关系 重点：应用离散傅立叶级数的目的，离散傅立叶级数的概念、性质及其 课堂教学 应用 重点及难点 难点：圆周卷积、循环卷积、线性卷积及两者之间的关系 教学方法及引 教学过程 段 1、周期序列及其离散傅里叶级数(DFS) 举例讲解、 x()=DFS[n=∑x(n)e ∑(n)w 媒体讲解 =0 月= 5W=IDFS=岁xe 2 k=0 说明：周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-o到+o都周 而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，连续时间 周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级 数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 2.DFS的性质 教学过程 1)线性 2)周期性：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍 是一个周期序列。 3)序列的移位 4)共轭对称性 5)周期卷积 如果： (k)=X (k)(k) 则 (n)=IDFS[Y(k)] =公0m底a-m=公0m这-m =0
第 5 次课 2 学时 教 师 教 案 授课章节 第二章离散傅里叶变换及其快速变换 2.1 离散傅里叶变换 授课方式 ■理论课 □讨论课 □实验课 □习题课 □其他 课堂教学 目的及要求 1、了解周期序列的傅里叶级数(DFS)及性质，掌握周期卷积过程； 2、理解离散傅里叶变换及性质； 3、掌握圆周移位、共轭对称性，掌握周期卷积、循环卷积、线性卷积及两 者之间的关系 课堂教学 重点及难点 重点：应用离散傅立叶级数的目的，离散傅立叶级数的概念、性质及其 应用 难点：圆周卷积、循环卷积、线性卷积及两者之间的关系 教学过程 教学过程 教学方法及手 段 1、周期序列及其离散傅里叶级数（DFS） 说明：周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周 而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，连续时间 周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级 数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 2.DFS的性质 1）线性 2）周期性：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍 是一个周期序列。 3）序列的移位 4）共轭对称性 5）周期卷积 − = − = = − = − = = 1 0 1 0 1 2 2 1 1 2 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~ ( ) [ ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ N m N m x m x n m x m x n m y n IDFS Y k Y k X k X k 则 如果： 举例讲解、多 媒体讲解 1 1 2 0 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N N j nk N nk N n n X k DFS x n x n e x n W − − − = = = = = 1 1 2 0 0 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) N N j nk N nk N k k x n IDFS X k X k e X k W N N − − − = = = = =
周期卷积特性 同周期序列的时域卷积等于频域的乘积 同周期序列的时域乘积等于频域的卷积 (m),(n-m)←s→文，(-文，( N-1 即 m=0 t.h 3、周期卷积与线性卷积的区别： 1)线性卷积在无穷区间求和：周期卷积在一个主值周期 内求和 2)两个不同长度的序列可以进行线性卷积：只有同周期 的两个序列才能进行周期卷积，且周期不变 举例说明 .ji..uu 震iIⅢ N-1 m n=0 N12 n=1 是 N-1 个 n=2 0 N-1 个f(n) 1L山l女L 周期卷积
− = − = ⎯→ − − ⎯→ 1 0 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 ( ) ~ ( ) 1 ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ N l DFS DFS N m X l X k l N x n x n x m x n m X k X k 积等于频域的卷积 积等于频域的乘积 周期卷积特性 3、周期卷积与线性卷积的区别： 1) 线性卷积在无穷区间求和;周期卷积在一个主值周期 内求和 2) 两个不同长度的序列可以进行线性卷积;只有同周期 的两个序列才能进行周期卷积，且周期不变 举例说明 周 期 卷 积
4、离散傅里叶变换DFT DFS、IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1 的主值区间进行，因此有限序列的离散傅氏变换(DFT) 定义为： X)=DFT-=2am0≤k≤N-1 m)IDFr 1)线性 2)循环移位特性 3)循环卷积的定理 4)循环卷积和线性卷积的关系 可见，N点循环卷积f(n)是线性卷积f(n)以N为周期 的周期延拓序列的主值序列。 (n)的长度为W+N2-1 所以只有当N≥N,+N2-时，y(n)以N为周期进行 周期延拓才无混叠现象。 即当循环卷积的长度N≥N,+N2-时，N点循环卷积 能代表线性卷积 N≥N+N2-1 x (n)*x2 (n)=x(n)x2 (n) 0≤n≤N+N2-2 5、动画演示周期卷积、循环卷积、线性卷积及两者之间的关 系 思考题：周期卷积、循环卷积、线性卷积及两者之间的关系怎样？什么时候 课后作业 线性卷积和循环卷积相等，什么时候不等？ 与思考题 习题：2.2,2.3,2.6(2)，2.19 本节是学习F℉T算法的基础，基本的理论内容比较多，而且比较抽象，尽量 课后 采用形象化的方法讲述，才能达到理想的效果 小结 授课教师签名：张培珍 2007年3月20日 注：每项页面大小可根据实际情况自行添减
4、离散傅里叶变换DFT − = − − = = = − = = − = = − 1 0 1 0 ( ) ,0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 DFT DFS IDFS 0 1 N k n k N N n n k N X k W n N N x n IDFT X k X k DFT x n x n W k N n n N ， 定义为： 的主值区间进行，因此有限序列的离散傅氏变换（ ） 、 的求和只限定在 到 1）线性 2）循环移位特性 3）循环卷积的定理 4）循环卷积和线性卷积的关系 5、动画演示周期卷积、循环卷积、线性卷积及两者之间的关 系 课后作业 与思考题 思考题：周期卷积、循环卷积、线性卷积及两者之间的关系怎样？什么时候 线性卷积和循环卷积相等，什么时候不等？ 习题：2.2，2.3，2.6（2），2.19 课后 小结 本节是学习 FFT 算法的基础，基本的理论内容比较多，而且比较抽象，尽量 采用形象化的方法讲述，才能达到理想的效果 授课教师签名：张培珍 2007 年 3 月 20 日 注：每项页面大小可根据实际情况自行添减 + − + − = + − + − + − 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 n N N N N N x n x n x n x n N N N N N N N y n N y n N N N f n f n N 能代表线性卷积 即当循环卷积的长度 时， 点循环卷积 周期延拓才无混叠现象。 所以只有当 时， 以 为周期进行 的长度为 的周期延拓序列的主值序列。 可见， 点循环卷积 是线性卷积 以 为周期
第6-7 次课4学时 教师教案 授课章节 2.2快速傅里叶变换 授课方式 ■理论课 口讨论课口实验课 口习题课 口其他 课堂教学 I、了解FFT与DFT的关系： 目的及要 2、了解DFT,FFT存在的计算量的问题： 求 3、 熟悉FFT的理论依据；掌握时间抽选基2一FFT算法的原理。 课堂教学 重点：直接计算N点DFT的计算量，减少运算量的基本途径，时间抽选基 2一FFT算法的基本思想 重点及难 难点：利用DFT的运算规律及其中某些算子的特殊性质(W的周期性和对 点 称性)，找出减少乘法和加法运算次数的有效途径 教学方法及 教学过程 手段 问题提出：设有限长序列x(n),非零值长度为N,计算对x(n) 举例讲解、多 进行一次DFT运算，共需多大的运算工作量？这对数字系统的 媒体讲解 实现有何影响？如何解决？ I、以DFT为例复数运算量 要完成整个DFT运算，其计算量为：NN次复数相乘和N*(N-I) 次复数加法。当N很大时，运算量将是惊人的，这样，难以做到 实时处理。 例：石油勘探，24道记录，每道波形记录长度5秒，若每 秒抽样500点/秒，每道总抽样点数=500*5=2500点，24道总抽 样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次 教学过程 2、FFT的计算工作量 FFT算法对于N点DFT,仅需(N/2)1og2N 次复数乘法运算和NIog2N次复数加法。 例：如果计算机的速度为平均每次复数乘需要5×10-6 秒，每次复加需要1×10-6秒，用来计算N=1024点DFT, 问1)直接计算需要多少时间？2)用F℉T算法计算需要多少时 间？ )直接计算所需时间为： T=5×10-6×N2+10-6×N×(N-1) 5×10-6×10242+10-6×1024×1023≈6.29s 2)用FFT计算需要时间为多少？ 5x1xlog+0x Nlog:=35.84ms
第 6-7 次课 4 学时 教 师 教 案 授课章节 2.2 快速傅里叶变换 授课方式 ■理论课 □讨论课 □实验课 □习题课 □其他 课堂教学 目的及要 求 1、了解 FFT 与 DFT 的关系： 2、了解 DFT，FFT 存在的计算量的问题； 3、 熟悉 FFT 的理论依据；掌握时间抽选基 2—FFT 算法的原理。 课堂教学 重点及难 点 重点：直接计算N点DFT的计算量，减少运算量的基本途径，时间抽选基 2—FFT算法的基本思想 难点：利用 DFT 的运算规律及其中某些算子的特殊性质（ nk WN 的周期性和对 称性），找出减少乘法和加法运算次数的有效途径 教学过程 教学过程 教学方法及 手段 问题提出： 设有限长序列x(n),非零值长度为N,计算对x(n) 进行一次DFT运算，共需多大的运算工作量?这对数字系统的 实现有何影响？如何解决？ 1、以DFT为例复数运算量 要完成整个DFT运算，其计算量为：N*N次复数相乘和N*(N-1) 次复数加法。当N很大时,运算量将是惊人的, 这样,难以做到 实时处理。 例：石油勘探，24道记录，每道波形记录长度5秒，若每 秒抽样500点/秒，每道总抽样点数=500*5=2500点，24道总抽 样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次 2、FFT的计算工作量 FFT算法对于N点DFT,仅需(N/2)log2N 次复数乘法运算和Nlog2N 次复数加法。 例：如果计算机的速度为平均每次复数乘需要5×10-6 秒 ，每次复加需要1×10-6秒，用来计算N=1024点DFT, 问1)直接计算需要多少时间？2）用FFT算法计算需要多少时 间？ N ms N T s T N N N N N log 10 log 35.84 2 5 10 2) FFT 5 10 1024 10 1024 1023 6.29 5 10 10 ( 1) 1) 2 6 2 6 6 2 6 6 2 6 = + = + = + − − − − − − − 用 计算需要时间为多少？ 直接计算所需时间为： 举例讲解、多 媒体讲解