《矩阵计算》课程教学资源（讲义）第五讲 对称特征值问题

-162第五讲对称特征值问题5.2Rayleigh商送代法在反送代算法中，a()的Rayleigh商是特征值入的近似，因此我们可以把它作为位移，于是就得到下面的Rayleigh商选代法算法5.4.Rayleigh商选代算法(RQI,RayleighQuotientIterations)1: Given an initial guess r(0) with [r(0)Il2 = 12: compute the Rayleigh quotient Po = (r(0), Ar(0)3: set k = 14: while not converge do5:g = Pk-1g(k) = (A -αI)-12(k-1)6:() = y(k) / lg() 27:8:Pk = (r(k), Ar(k)9:k=k+110:end while关于Rayleigh商送代的收敛性，我们有下面的结论定理5.5如果特征值是单重的，则当误差足够小时,Rayleigh商选代法中每步选代所得的正确数(板书)字的位数增至三倍，即Rayleigh商选代是局部三次收敛的。证明.设A=QAQT,令全()=QTa(k),则在Rayleigh商送代算法中Pk = (2(k)TAr(k) = (全(k)TQTAQ(k) = ((k)TA(k)令g(k)= QTy(K),则g(k) = QT(A - Pk-11)-1(k) = (QTAQ - Pk-1I)-1(k-1) = (A - Pk-1I)-1(k-1),即，“以初始向量r(0)对A做Rayleigh商选代"等价于“以初始向量(0)对A做Rayleigh商选代即它们有相同的收敛性.因此,不失一般性，我们可以假定A=A为对角阵，此时A的特征向量为ei,i= 1,2,...,n.我们假定r(k)收敛到e1.令dk=r(k)-e1,则dkll2→0.为了证明算法具有局部三次收敛，我们需要证明：当ek=[ld:/2充分小时,有 ek+1= dk+1ll2=I2(k+1)-e1ll2=O(ex)。我们注意到1 = (r(k))Ta(k) = (e1 + de)T(e1 + dk) = 1 + 2de(1) + dfdk = 1 +2dk(1)+e其中dk(1)表示ds的第一个元素.故di(1)=-/2.所以Pk = (r()TA(k) = (e1 + de)TA(ei + dk)=eTAe1 + 2eTAd +dAd, = 1 -n,其中=-(2eTAdk+dk)=-2d(1)-Adk=-dk于是≤ + A12 d2A2

· 162 · 第五讲 对称特征值问题 5.2 Rayleigh 商迭代法 在反迭代算法中, x (k) 的 Rayleigh 商是特征值 λk 的近似, 因此我们可以把它作为位移, 于是就 得到下面的 Rayleigh 商迭代法. 算法 5.4. Rayleigh 商迭代算法 (RQI, Rayleigh Quotient Iterations) 1: Given an initial guess x (0) with ∥x (0)∥2 = 1 2: compute the Rayleigh quotient ρ0 = (x (0), Ax(0)) 3: set k = 1 4: while not converge do 5: σ = ρk−1 6: y (k) = (A − σI) −1x (k−1) 7: x (k) = y (k)/∥y (k)∥2 8: ρk = (x (k) , Ax(k) ) 9: k = k + 1 10: end while 关于 Rayleigh 商迭代的收敛性, 我们有下面的结论. 定理 5.5 如果特征值是单重的, 则当误差足够小时, Rayleigh 商迭代法中每步迭代所得的正确数 字的位数增至三倍, 即 Rayleigh 商迭代是局部三次收敛的. (板书) 证明. 设 A = QΛQT, 令 xˆ (k) = QTx (k) , 则在 Rayleigh 商迭代算法中 ρk = (x (k) ) TAx(k) = (ˆx (k) ) TQ TAQxˆ (k) = (ˆx (k) ) TΛˆx (k) . 令 yˆ (k) = QTy (k) , 则 yˆ (k) = Q T (A − ρk−1I) −1x (k) = (Q TAQ − ρk−1I) −1xˆ (k−1) = (Λ − ρk−1I) −1xˆ (k−1) , 即, “以初始向量 x (0) 对 A 做 Rayleigh 商迭代” 等价于 “以初始向量 xˆ (0) 对 Λ 做 Rayleigh 商迭代”, 即它们有相同的收敛性. 因此, 不失一般性, 我们可以假定 A = Λ 为对角阵, 此时 A 的特征向量为 ei , i = 1, 2, . . . , n. 我们假定 x (k) 收敛到 e1. 令 dk = x (k) − e1, 则 ∥dk∥2 → 0. 为了证明算法具有局部三次收敛, 我们需要证明: 当 εk = ∥dk∥2 充分小时, 有 εk+1 = ∥dk+1∥2 = ∥x (k+1) − e1∥2 = O(ε 3 k ). 我们注意到 1 = (x (k) ) Tx (k) = (e1 + dk) T (e1 + dk) = 1 + 2dk(1) + d T k dk = 1 + 2dk(1) + ε 2 k , 其中 dk(1) 表示 dk 的第一个元素. 故 dk(1) = −ε 2 k /2. 所以 ρk = (x (k) ) TΛx (k) = (e1 + dk) TΛ(e1 + dk) = e T kΛe1 + 2e T 1 Λdk + d T kΛdk ≜ λ1 − η, 其中 η = −(2e T 1 Λdk + d T kΛdk) = −2λ1dk(1) − d T kΛdk = λ1ε 2 k − d T kΛdk. 于是 |η| ≤ |λ1|ε 2 k + ∥Λ∥2 · ∥dk∥ 2 2 ≤ 2∥Λ∥2 ε 2 k

5.2Rayleigh商选代法·163.由Rayleigh商算法5.4可知g(k+1) = (A - pμI)-1()[()(1) 2(k)(2)(k)(n)入1 - pk2 - pkAn-pkd;(n) Td(2)[1 + dk(1)入1 - pkX2-PkAn-pk[1 -/2dk(2)dk(n)入2-1 + n入n-+nn1 -%/2d;(2)nd:(n)n/2)(2—入1 +n)n (1 -/2)(入n -1 +n)α 1-e/2 (e1 + dx+1),n其中dk(2)ndk(n)ndk+1(1-% /2)(入2 -入1 +n)(1-e/2)(n-1+n)因为入1是单重特征值，所以gap(>1, A) min [ ->1l >0,故对于i=2.3...,n，当ek足够小时有[ - + l ≥ [; -] -[l ≥ gap(1, ) -[l ≥ gap(1, ) - 2]l2 > 0.于是我们有2/A2 Ild;l/2 nldk+1l1(1/2)(gap(A1,))I(1 -e /2)(gap(A1,A) -nl)即dx+1,=O(e). 又1 x+1l, ≤le1 + dx+1, ≤1 + dk+1l即[1-e1 + dx+1=d+1由于g(k+1)ei + dk+2(k+1)Il(k+1)12e1 + dk+ll所以(1 le1 + dk+1/) e + d+IIdk+1l2 = I/2(k+1) - ell/ei+dk+1[1Ile1 + d+/ + d+ll2dk+1ei+dk+1e1 + dk+1口又dk+1=0(ex),故ek+1=1dk+12=0(e元)

5.2 Rayleigh 商迭代法 · 163 · 由 Rayleigh 商算法 5.4 可知 y (k+1) = (Λ − ρkI) −1x (k) = " x (k) (1) λ1 − ρk , x (k) (2) λ2 − ρk , . . . , x (k) (n) λn − ρk #T =  1 + dk(1) λ1 − ρk , dk(2) λ2 − ρk , . . . , dk(n) λn − ρk T =  1 − ε 2 k /2 η , dk(2) λ2 − λ1 + η , . . . , dk(n) λn − λ1 + η T = 1 − ε 2 k /2 η  1, dk(2)η (1 − ε 2 k /2)(λ2 − λ1 + η) , . . . , dk(n)η (1 − ε 2 k /2)(λn − λ1 + η) T ≜ 1 − ε 2 k /2 η · (e1 + ˆdk+1). 其中 ˆdk+1 =  0, dk(2)η (1 − ε 2 k /2)(λ2 − λ1 + η) , . . . , dk(n)η (1 − ε 2 k /2)(λn − λ1 + η) T . 因为 λ1 是单重特征值, 所以 gap(λ1,Λ) ≜ min i̸=1 |λi − λ1| > 0, 故对于 i = 2, 3, . . . , n, 当 εk 足够小时有 |λi − λ1 + η| ≥ |λi − λ1| − |η| ≥ gap(λ1,Λ) − |η| ≥ gap(λ1,Λ) − 2∥Λ∥2 ε 2 k > 0. 于是我们有 ˆdk+1 2 ≤ ∥dk∥2 |η| (1 − ε 2 k /2)(gap(λ1,Λ) − |η|) ≤ 2∥Λ∥2 ε 3 k (1 − ε 2 k /2)(gap(λ1,Λ) − |η|) , 即 ˆdk+1 2 = O(ε 3 k ). 又 1 − ˆdk+1 2 ≤ e1 + ˆdk+1 2 ≤ 1 + ˆdk+1 2 , 即    1 − e1 + ˆdk+1 2    ≤ ˆdk+1 2 . 由于 x (k+1) = y (k+1) ∥y (k+1)∥2 = e1 + ˆdk+1 e1 + ˆdk+1 2 , 所以 ∥dk+1∥2 = ∥x (k+1) − e1∥2 =  1 − e1 + ˆdk+1 2  e1 + ˆdk+1 2 e1 + ˆdk+1 2 ≤    1 − e1 + ˆdk+1 2    + ˆdk+1 2 e1 + ˆdk+1 2 ≤ 2 ˆdk+1 2 e1 + ˆdk+1 2 . 又 ˆdk+1 2 = O(ε 3 k ), 故 εk+1 = ∥dk+1∥2 = O(ε 3 k ). □

164第五讲对称特征值问题否RQI算法具有局部三次收敛性，但无法确定收敛到哪个特征向量(特征值),因此可以作为其他算法的加速手段，即先使用其他算法（比如幂送代）计算出所需特征值的近似值，然后再使用RQI算法加速.白实际计算时，判断（pk，r(k)）是否收敛可以观察残量rk=（A-PkI)r(k）是否趋于零下面是关于RQI算法的全局收敛性，可参见文献[100]定理5.6在RQI算法中,设rk=(A-PkI)(K),则有rk+1l≤lrk:l其中等号成立当且仅当pk+1=Pk且2(K)是(A一pkI)的特征向量

· 164 · 第五讲 对称特征值问题 b RQI 算法具有局部三次收敛性, 但无法确定收敛到哪个特征向量 (特征值), 因此可以作为其 他算法的加速手段, 即先使用其他算法 (比如幂迭代) 计算出所需特征值的近似值, 然后再 使用 RQI 算法加速. b 实际计算时, 判断 (ρk, x(k) ) 是否收敛可以观察残量 rk = (A − ρkI)x (k) 是否趋于零. 下面是关于 RQI 算法的全局收敛性, 可参见文献 [100]. 定理 5.6 在 RQI 算法中, 设 rk = (A − ρkI)x (k) , 则有 ∥rk+1∥ ≤ ∥rk∥, 其中等号成立当且仅当 ρk+1 = ρk 且 x (k) 是 (A − ρkI) 2 的特征向量

·165.5.3对称QR选代法5.3对称QR选代法将带位移的隐式OR方法运用到对称矩阵，就得到对称OR迭代法.由于此时A是对称的，所以上Hessenberg化后就转化为一个对称三对角矩阵，相应的过程就称为对称三对角化任何一个对称矩阵AERnxn都可以通过正交变换转化成一个对称三对角矩阵T.这个过程可以通过Householder变换或Givens变换来实现对称QR选代算法基本步骤1.对称三对角化：利用Householder变换，将A化为对称三对角矩阵，即寻找正交矩阵Q使得T=QAQT为对称三对角矩阵；2.使用带（单）位移的隐式QR迭代算法计算T的特征值与特征值向量；3.计算A的特征向量.对称QR选代算法的运算量(1）三对角化需要4n3/3+O(n2)），如果需要计算特征向量，即形成矩阵Q，则需要额外4n3/3+O(n2)，因此总运算量为8n3/3+O(n2)；也可以暂时不计算Q而是将所有Householder向量存放在A的严格上三角部分（A对称，因此A只需保存下三角部分）(2)对T做带位移的隐式QR选代，每次选代的运算量为6n;(3）计算T的特征值时，假定每个平均送代2步，则计算所有特征值的运算量为12n2；（每求出一个特征值后，通过defation，矩阵规模也会相应减小，因此运算量可能会更少）(4)若要计算T的所有特征值和特征向量,则运算量为6n3+O(n2);(5）若只要计算A的所有特征值，运算量为4n3/3+O（n2);(6）若需要计算A的所有的特征值和特征向量，则运算量为26n3/3+O(n2);位移的选取一Wilkinson位移位移的选取直接影响到算法的收敛速度.我们可以通过下面的方式来选取位移.设6(k)[a(k)6(k).Ak=6(k)b(-1ak)一种简单的位移选取策略就是令k=an).这种位移选取方法几乎对所有的矩阵都有三次渐进收敛速度，但也存在不收敛的例子，故我们需要对其做一些改进图事实上，a(k）就是收敛到特征向量的选代向量的Rayleigh商：如果在QR选代算法中使用位移gk=am,而在Rayleigh商选代算法5.4中取o=en=[0..,0,1]T,则利用QR送代与

5.3 对称 QR 迭代法 · 165 · 5.3 对称 QR 迭代法 将带位移的隐式 QR 方法运用到对称矩阵, 就得到对称 QR 迭代法. 由于此时 A 是对称的, 所 以上 Hessenberg 化后就转化为一个对称三对角矩阵, 相应的过程就称为 对称三对角化. b 任何一个对称矩阵 A ∈ R n×n 都可以通过正交变换转化成一个对称三对角矩阵 T. 这个过 程可以通过 Householder 变换或 Givens 变换来实现. 对称 QR 迭代算法基本步骤 1. 对称三对角化: 利用 Householder 变换, 将 A 化为对称三对角矩阵, 即寻找正交矩阵 Q 使得 T = QAQT 为对称三对角矩阵; 2. 使用带 (单) 位移的隐式 QR 迭代算法计算 T 的特征值与特征值向量; 3. 计算 A 的特征向量. 对称 QR 迭代算法的运算量 (1) 三对角化需要 4n 3/3 + O(n 2 ), 如果需要计算特征向量, 即形成矩阵 Q, 则需要额外 4n 3/3 + O(n 2 ), 因此总运算量为 8n 3/3 + O(n 2 ); 也可以暂时不计算 Q, 而是将所有 Householder 向 量存放在 A 的严格上三角部分 (A 对称, 因此 A 只需保存下三角部分). (2) 对 T 做带位移的隐式 QR 迭代, 每次迭代的运算量为 6n; (3) 计算 T 的特征值时, 假定每个平均迭代 2 步, 则计算所有特征值的运算量为 12n 2 ; (每求出 一个特征值后, 通过 deflation, 矩阵规模也会相应减小, 因此运算量可能会更少) (4) 若要计算 T 的所有特征值和特征向量, 则运算量为 6n 3 + O(n 2 ); (5) 若只要计算 A 的所有特征值, 运算量为 4n 3/3 + O(n 2 ); (6) 若需要计算 A 的所有的特征值和特征向量, 则运算量为 26n 3/3 + O(n 2 ); 位移的选取 — Wilkinson 位移 位移的选取直接影响到算法的收敛速度. 我们可以通过下面的方式来选取位移. 设 Ak =        a (k) 1 b (k) 1 b (k) 1 . . . . . . . . . . . . b (k) n−1 b (k) n−1 a (k) n        , 一种简单的位移选取策略就是令 σk = a (k) n . 这种位移选取方法几乎对所有的矩阵都有三次渐进 收敛速度, 但也存在不收敛的例子, 故我们需要对其做一些改进. b 事实上, a (k) n 就是收敛到特征向量的迭代向量的 Rayleigh 商: 如果在 QR 迭代算法中使用位 移 σk = a (k) n , 而在 Rayleigh 商迭代算法 5.4 中取 x0 = en = [0, . . . , 0, 1]T, 则利用 QR 迭代与

-166.第五讲对称特征值问题反送代之间的关系可以证明：QR选代算法中的k与Rayleigh商选代算法中的pk相等[a(-]]6(k)的最接近a的特征值作为一种有效的位移是Wilkinson位移，即取子矩阵[62, ]位移.通过计算可得Wilkinson位移为=()+8-sign()82+(62),其中 8=(a(21-a%),出于稳定性方面的考虑，我们通常用下面的计算公式(6(k) )g = a(k)8 + sign(8) /82 + (6(2.)定理5.7[57,100]采用Wilkinson位移的QR选代是整体收敛的，且至少是线性收敛.事实上几乎对所有的对称矩阵都是渐进三次收敛的例5.1带Wilkinson位移的隐式QR选代算法收敛性演示(Eig_TriQR.m)T1.9345e-01000-1.1495e+00001.9345e-01-5.7144e-01-3.5163e+0000-3.5163e+001.4138e+00-1.2639e+0000-1.2639e+00-2.0125e-014.3216e+000004.3216e+001.9285e+00iter = 1A人00-1.1606e+002.0488e-0100-1.0240e+002.0488e-01-3.1370e+0000-3.5560e+00-1.0240e+001.2439e+0000-3.5560e+00-1.1053e+003.1938e-010003.1938e-015.5790e+00iter = 2T =000-1.1748e+002.6621e-01002.6621e-01-3.3005e+00-6.4187e-0100-6.4187e-01-3.1162e+00-1.8413e+000e-1.8413e+003.4052e+001.3658e-030001.3658e-035.6064e+00iter = 3

· 166 · 第五讲 对称特征值问题 反迭代之间的关系可以证明: QR 迭代算法中的 σk 与 Rayleigh 商迭代算法中的 ρk 相等. 一种有效的位移是 Wilkinson 位移, 即取子矩阵 " a (k) n−1 b (k) n−1 b (k) n−1 a (k) n # 的最接近 a (k) n 的特征值作为 位移. 通过计算可得 Wilkinson 位移为 σ = a (k) n + δ − sign(δ) r δ 2 +  b (k) n−1 2 , 其中 δ = 1 2 (a (k) n−1 − a (k) n ). 出于稳定性方面的考虑, 我们通常用下面的计算公式 σ = a (k) n −  b (k) n−1 2 δ + sign(δ) r δ 2 +  b (k) n−1 2 . 定理 5.7 [57, 100] 采用 Wilkinson 位移的 QR 迭代是整体收敛的, 且至少是线性收敛. 事实上, 几乎对所有的对称矩阵都是渐进三次收敛的. 例 5.1 带 Wilkinson 位移的隐式 QR 迭代算法收敛性演示. (Eig_TriQR.m) T = ‐1.1495e+00 1.9345e‐01 0 0 0 1.9345e‐01 ‐5.7144e‐01 ‐3.5163e+00 0 0 0 ‐3.5163e+00 1.4138e+00 ‐1.2639e+00 0 0 0 ‐1.2639e+00 ‐2.0125e‐01 4.3216e+00 0 0 0 4.3216e+00 1.9285e+00 iter = 1 T = ‐1.1606e+00 2.0488e‐01 0 0 0 2.0488e‐01 ‐3.1370e+00 ‐1.0240e+00 0 0 0 ‐1.0240e+00 1.2439e+00 ‐3.5560e+00 0 0 0 ‐3.5560e+00 ‐1.1053e+00 3.1938e‐01 0 0 0 3.1938e‐01 5.5790e+00 iter = 2 T = ‐1.1748e+00 2.6621e‐01 0 0 0 2.6621e‐01 ‐3.3005e+00 ‐6.4187e‐01 0 0 0 ‐6.4187e‐01 ‐3.1162e+00 ‐1.8413e+00 0 0 0 ‐1.8413e+00 3.4052e+00 1.3658e‐03 0 0 0 1.3658e‐03 5.6064e+00 iter = 3