【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:若向量组1:a,a2…,an 可由向量组I:B1,B2,…,B,线性表示,则当r>s时,向量组I必线性相关或其逆否命 题:若向量组I:a1,a2,…ar,可由向量组I:B1,B2,…B线性表示,且向量组I线性无 关,则必有r≤s.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案 【详解】用排除法如1={0B=(0B=(1),则a=0,B+0B,但B,B 线性无关,排除(A):01-(0)(0 2-0 则a1,a2可由B1线性表示,但B1线 性无关,排除(B);a1=B1= a1可由B1,B2线性表示,但a1线性无 关,排除(C).故正确选项为(D 【评注】本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案 若记不清楚,也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P409定 理1 (5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题: ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B) ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A=秩(B) ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (D)③④ B 【分析】本题也可找反例用排除法进行分析,但①②两个命题的反例比较复杂一些, 关键是抓住③与④,迅速排除不正确的选项 【详解】若Ax=0与Bx=0同解,则n-秩A=n-秩(B,即秩(A)=秩(B),命题③成立, 可排除(A)C):但反过来,若秩A)=秩(B),则不能推出Ax=0与Bx=0同解,如A 00 ,则秩(A=秩(B)=1,但Ax=0与B=0不同解,可见命题④不成立,排除(D), 故正确选项为(B) 【评注】文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题 【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件 (A)r(A=r(B) (B)A,B为相似矩阵 (C)AB的行向量组等价 (D)AB的列向量组等价 有此例题为基础,相信考生能迅速找到答案
6 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，则当 r s 时，向量组 I 必线性相关. 或其逆否命 题：若向量组 I： r , , , 1 2 可由向量组 II： s , , , 1 2 线性表示，且向量组 I 线性无 关，则必有 r s. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解】用排除法：如 = = = 1 0 , 0 1 , 0 0 1 1 2 ，则 1 0 1 0 2 = + ，但 1 2 , 线性无关，排除(A)； = = = 0 1 , 0 1 , 0 0 1 2 1 ，则 1 2 , 可由 1 线性表示，但 1 线 性无关，排除(B)； = = = 1 0 , 0 1 , 0 1 1 1 2 ，1 可由 1 2 , 线性表示，但 1 线性无 关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定 理 11. （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)； ② 若秩(A) 秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些， 关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项. 【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立， 可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如 = 0 0 1 0 A ， = 0 1 0 0 B ，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题④不成立，排除(D), 故正确选项为(B). 【评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题： 【例】 齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案
设随机变量X~1(mn>1)y=2,则 (A)Y~x2(m) (B)Y~x(n-1) (C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) 【分析】先由t分布的定义知X 其中U~N(0,1),V~x2(n),再将其代入 Y=x2,然后利用F分布的定义即可 【详解】由题设知,X ,其中U~N(0,1)V~x2(m),于是 这里U2~2(1),根据F分布的定义知Y 1-F(n1)故 应选(C) 【评注】本题综合考查了t分布、x2分布和F分布的概念,要求熟练掌握此三类常用 统计量分布的定义,见《文登数学全真模拟试卷》数学一P57第二大题第(6)小题(事实 上完全相当于原题)和《数学复习指南》P592的定义和P595的【解题提示】 三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线y=nx的切线,该切线与曲线y=nx及x轴围成平面图形D (1)求D的面积A (2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V 【分析】先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立 体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算,为了帮助理解,可画一草图 【详解】(1)设切点的横坐标为x0,则曲线y=lnx在点(x,lnxa)处的切线方程是 In (x-x0) 由该切线过原点知hnxo-1=0,从而x0=e.所以该切线的方程为 平面图形D的面积 A=f(e'-ey)dy=3 (2)切线y=-x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积
7 （6）设随机变量 2 1 ~ ( )( 1), X X t n n Y = ，则 (A) ~ ( ) 2 Y n . (B) ~ ( 1) 2 Y n − . (C) Y ~ F(n,1) . (D) Y ~ F(1, n) . [ C ] 【分析】 先由 t 分布的定义知 n V U X = ，其中 ~ (0,1), ~ ( ) 2 U N V n ，再将其代入 2 1 X Y = ，然后利用 F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知， n V U X = ，其中 ~ (0,1), ~ ( ) 2 U N V n ，于是 2 1 X Y = = 1 2 2 U n V U n V = ，这里 ~ (1) 2 2 U ，根据 F 分布的定义知 ~ ( ,1). 1 2 F n X Y = 故 应选(C). 【评注】 本题综合考查了 t 分布、 2 分布和 F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用 统计量分布的定义, 见《文登数学全真模拟试卷》数学一 P.57 第二大题第（6）小题（事实 上完全相当于原题）和《数学复习指南》P.592 的定义和 P.595 的【解题提示】. 三 、（本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积 A; 旋转体体积可用一大立 体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图. 【详解】 (1) 设切点的横坐标为 0 x ，则曲线 y=lnx 在点 ( ,ln ) 0 0 x x 处的切线方程是 ( ). 1 ln 0 0 0 x x x y = x + − 由该切线过原点知 ln x0 −1 = 0 ，从而 . 0 x = e 所以该切线的方程为 . 1 x e y = 平面图形 D 的面积 = − = − 1 0 1. 2 1 A (e ey)dy e y （2） 切线 x e y 1 = 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体积