西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第四章 级数 Series

第四章级数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Series 例如 级数 21+月是否收敛？ n=I 00 解 因为2a,=2!发散 m=1 n=I n 00 ,收敛. n= n=I n 所以原级数发散， 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 17

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 17 (1 ) 1 1 级数 是否收敛？    n n i n 解 ; 1 1 1 因为  发散      n n n n a . 1 1 2 1   收敛      n n n n b 所以原级数发散. 例如 第四章 级数 Series

第四章级数 历些毛子种枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Series 推论（收敛的必要条件） 00 若之a,收敛→ia,=0 =1 证明 由a,收敛→∑a,∑b,收敛 n- n- 从而有limn=0,limb=0 1->oo 所以得出lima=O H->oo 0● 重要结论： lima≠0→级数∑xn发散 1->00 =1 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 18

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 18 推论（收敛的必要条件） n n n n 1 α limα 0    若 收敛    证明 1 1 1 n n n n n n  a , b       由 收敛 收敛     n n n n lima 0, limb 0   从而有   n n limα 0  所以得出  重要结论: lim 0 . 1 级数 发散      n n n n   第四章 级数 Series

第四章级数 历安毛子代枚大” XIDIAN UNIVERSITY Series 0 例如，级数>en: n=1 因为lima=limeim≠0， 1->o0 n->o0 不满足必要条件，所以原级数发散 启示：判别级数的敛散性时，可先考察iman0 lima≠0， 级数发散； 如果 lima=0, 应进一步判断 1->oo 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 19

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 19 , : 1   n in 例如 级数 e lim  lim  0,   in n n n 因为  e 不满足必要条件, 所以原级数发散. 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 lim  0  n n  ?        lim 0, n n  如果 级数发散; 应进一步判断. lim  0,  n n  第四章 级数 Series

第四章级数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Series 2.绝对收敛与条件收敛 定 32a收敛÷2a收敛，吃as2a 证明 (1)rla=4n+ib=Va+b好 由比较判定法 ∴la≤V好+ ∑a,和∑b,均绝对收敛。 n=1 b≤Va+b好 由定理2得∑心，收敛。 =1 注意 ∑an的各项都是非负的实数 场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 20

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 20 定理3 . 1 1 1 1               n n n n n n n 若  n 收 敛  收敛，且   证明 2 2 (1) n n n n n      a ib a b 由定理 得 收敛。 和 均绝对收敛， 由比较判定法          1 1 1 2 n n n n n an b  2. 绝对收敛与条件收敛 注意 , 1  的各项都是非负的实数  n  n 2 2 2 2 , n n n n n n a a b b a b      第四章 级数 Series

第四章级数 历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Series 定理3 若2a收敛→收敛，2as立a 证明 )由丁2as2a 卿2asm2a空a2a 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 21

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 21 定理3 . 1 1 1 1               n n n n n n n 若  n 收 敛  收敛，且   证明   1 1 2 n n k k k k     由于   1 1 1 1 n n k k n n n n k k n n lim lim                    即 第四章 级数 Series