西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第四章 级数 Series

第四章级数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Series nπ. 1- nni (4)Zn =e 21 (5)n=e2 n 解： n n zn=cos5π-isin5π， 2 2 n .cos二π，sin二π在n→oo时，极限不存在。 2 2 这个序列极限不存在。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 位12

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 12 12 2 (4) ; n i n z e    cos sin , 2 2 n n n     i 解： z ,sin 2 2 n n cos  在n  时，极限不存在。 这个序列极限不存在。 2 1 (5) . n i n z e n    第四章 级数 Series

第四章级数 历些毛子代拔大学 XIDIAN UNIVERSITY Series 二、级数的概念 1.定义设{an}={an+bn}(n=1,2,)为一复数列 表达式 a,=a4ta,+ta,+ n=1 称为复数项无穷级数， 部分和其最前面n项的和Sn=必1+2+…+Cm 称为级数的部分和. 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 13

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 13 二、级数的概念 1.定义 设{ }  {a  b }(n  1,2, )为一复数列, n n n        n n  n 1  2  1 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s 1 2  称为级数的部分和. 部分和 第四章 级数 Series

第四章级数 历些毛子代拔大等 XIDIAN UNIVERSITY Series 级数的前面n项的和 s=a+a,++a,=22, 级数的部分和 ● 收敛一级数∑an称为收敛 n=1 ·若部分和数列sn} lim s,=s称为级数的和 不收敛 一级数2α，称为发散 n=1 说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散 性的基本方法是：利用极限imsn=s. 1-→00 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 14       n i n n i s 1  1  2    级数的前面n项的和 ---级数的部分和 sn s称为级数的和 n   lim －级数 称为收敛  n1 n 不收敛 －级数 称为发散  n1 n       收 敛 若部分和数列{ }n  s 说明: lim s s. n n   利用极限 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 第四章 级数 Series

第四章级数 历些毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Series 00 例如， 级数z”: n=0 解：5n=1+z+z2++z1=1-z (z≠1)， 1-z 由于当z<1时，lims=lim 1-z"1 1→0 n-∞1-z1-z1 所以当z<1时级数收敛 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 15

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 15 , : 0   n n 例如 级数 z 2 -1 1 n n s   z  z  z 由于当 z  1时, ( 1), 1 1     z z z n z z s n n n n      1 1 lim lim , 1 1  z  所以当 z  1时级数收敛. 解: 第四章 级数 Series

第四章级数 历些毛子代拔大学 XIDIAN UNIVERSITY Series 定理2（判别定理） 三a,收敛÷2a2均收敛 证明 令2a,2a,2,的部分和分别为s,0, n= 则sn=a1十a2+…+an=0n+i江m 而由定理1知，lisn=S=o+i讧 定理1（数列收敛的充要条件） o,lint,T 11->oo 数列{an}收敛于a台lima.=4 lim b=b 1→c0 n→c0 =】 n=l n=l 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 16

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 16 定理2 (判别定理) 1 1 1 n n n n n n  a b          收敛 和 均收敛  证明 n n n n n n n 1 n 1 n 1 α , a , b s ,σ ,τ       令 的部分和分别为    1 n n lims s σ iτ  而由定理 知，    n n n n limσ σ,limτ τ      1 1 1 n n n n n n  a b       即： 收敛 和 均收敛     则 n 1 2 n n n s       α α α σ iτ 数列 收敛于  n n n  n n α α lima a, lim b b      定理1(数列收敛的充要条件) 第四章 级数 Series