《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第七章 参数估计

第七章参数估计 例3.设总体X的均值山，方差o都存在，且σ2>0， 但山，o2未知，又设X1,.,Xn是一个样本； 求：4，o2的矩估计量 解：4=EX=4, 42=EX2=DX+(EX)2=o2+2 令41=A,2=A2, 即u=A,σ2+2=4， 所以=A,=X, =4-4-n∑好-2-2x- 合】返回主目录

第七章 参数估计 但 ， 未知，又设 是一个样本； 例 设总体 的均值 ，方差 都存在，且 X Xn X , , 3. 0, 1 2 2        求：, 2 的矩估计量。 2 2 2 2 2 1 ( ) ,      = = + = + = = EX DX EX 解： EX , , 令 1 = A1  2 = A2 , , 2 2 2 即  = A1  +  = A ˆ , 所以  = A1 = X 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 1 ˆ X X n X X n A A n i i n i = − =  i − =  − = =  返回主目录

第七章参数估计 特别，若X~N(4,o2),4,o2未知； §1点估计 则立=元2=1∑(x-0 2.极大似然估计法 (1)若总体X属离散型，其分布律P{X=x}=p(x;O),0∈⊙ 的形式为已知，为待估参数，⊙是可能取值的范围。 设X1,.,Xn是来自X的样本；则X1,.,Xn的联合分布律 Πpx;0) i=l 又设1，xn是X1,Xn的一个样本值： 易知样本X1,Xn取x1,.,xn的概率，亦即 事件{X1=x1,.,Xm=xn}发生的概率为：图遇回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 特别，若 X ~ N(, 2 ), , 2 未知； = = = − n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 则 ˆ , ˆ 2. 极大似然估计法 的形式为已知， 为待估参数， 是 可能取值的范围。 若总体 属离散型，其分布律      (1). X P{X = x} = p(x; ),  设X1 ,  , Xn 是来自X的样本；则X1 ,  , Xn 的联合分布律： = n i i p x 1 ( ; ) 又设x1 ,  , xn 是X1 ,  , Xn 的一个样本值； 事件 发生的概率为： 易知样本 取 的概率，亦即 { , , } , , , , 1 1 1 1 n n n n X x X x X X x x =  =   返回主目录

第七章参数估计 §1点估计 (0)=L(x1,xn0)=门px;0,0∈O1.i 它是的函数。L(O)称为样本的似然函数 由极大似然估计法：固定x1,.,xn;挑选使概率 L(x1,.,xnO)达到最大的参数0，作为的估计值， 即取0使得： L(x1,xn;0)=maxL(x1,.,xn;0)(1.2) 0∈⊙ 与x1,.,xn有关，记为8(x1,.,xn)月 称其为参数的极大似然估计值。 0(X1,.,Xn)称为参数的极大似然估计量

第七章 参数估计 §1 点估计 ( ) ( , , ; ) ( ; ), . (1.1) 1 = 1 =  =     n i n i L L x  x p x 它是的函数。L()称为样本的似然函数。 即取 使得： 达到最大的参数 ，作为 的估计值， 由极大似然估计法：固 定 挑选使概率     ˆ ˆ ( , , ; ) , , ; 1 1 n n L x x x x   ) max ( , , ; ) (1.2) ˆ ( , , ; 1  1   n n L x  x L x  x  = 称其为参数 的极大似然估计值。 与 有关，记为    ( , , ); ˆ , , ˆ 1 n 1 n x  x x  x  ˆ (X1 ,, Xn )称为参数的极大似然估计量

第七章参数估计 §1点估计 (2).若总体X属连续型，其概率密度f(x;0),0∈⊙ 的形式已知，为待估参数： 则X1,.,Xn的联合密度： fx,0) i=l 设x1,.,xn是相应X1,.,Xn的一个样本值，则随 机点(X1,.,Xn)落在(1，.，xn)的邻域（边长分别为 dk1,.,dn的n维立方体)内的概率近似为： Πf(x:8 (1.3) i=1 我们取的估计值0，使概率(1.3)取到最大值

第七章 参数估计 §1 点估计 ; (2). ( ; ), 的形式已知， 为待估参数 若总体 属连续型，其概率密度  X f x    则X1 ,  , Xn 的联合密度： = n i i f x 1 ( ; ) 的 维立方体）内的概率近 似为： 机点 落在 的邻域（边长分别为 设 是相应 的一个样本值，则随 d x d x n X X x x x x X X n n n n n , , ( , , ) ( , , ) , , , , 1 1 1 1 1      ( ; ) (1.3) 1 i n i  f xi dx =  我们取的估计值 ˆ ，使概率(1.3)取到最大值

第七章参数估计 但d;不随而变，故只需考虑： §1点估计 0=1(x,xn0)=Πfx:0, (1.4) 的最大值，这里()称为样本的似然函数 若 L1x0)=max L(1) 0∈O 则称(x1,.,xn)为的极大似然估计值。 称(X1,.,Xn)为的极大似然估计量。 般，p(x;0),f(x;0)关于可微，故0可由下式求得： dL(e 2=0. do 合】返回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 但 不随而变，故只需考虑： i dxi ( ) ( , , ; ) ( ; ), (1.4) 1 1 = = = n i n i L  L x  x  f x  的最大值，这里L()称为样本的似然函数。 ) max ( , , ; ) ˆ ( , , ; 1  1   n n L x  x L x  x  若 = 则称 ˆ (x1 ,, xn )为的极大似然估计值。 称 ˆ (X1 ,, Xn )为的极大似然估计量。 0. ( ) ( ; ), ( ; ) =       d d L 一般，p x f x 关于 可微，故 可由下式求得： 返回主目录