自动控制原理电子教案 2c1-1.5ec2+ec3+5=2 可得c1=-0.73,c2=-0.13。则所求最优控制为 u*(1)=0.73+1.3e=0.73(1+0.18e) 3.tr自由,终端约束 设终端约束为式(9.20)。同样构造增广泛函Ja为 J=x()y+Mx()+[H(x,n,)-2+ (9.28) 将式(9.28)与式(9.21)比较可以看出,式(9.28)除了tr自由外,与式(9.21) 完全相同,因而所推导出的结果除了因r是任意的而增加一个终端边界条件 方程外,其余结果完全相同。最优控制问题(9.7),(9.8)取极值的必要条 件为 正则方程 状态方程 OH(,u, 4, 1) (9.29) 伴随方程 aH(, u, 1,1) (9.30) 控制方程 aH(,u,A,t) (9.31) 边界条件与横截条件x(0)=x Mlr(r),t,]=0 (9.32) A(r)=[+()v (9.33) [H(x, u, a, 1) (9 例9.3已知系统的状态方程为 x(1)=l(1) 初始条件为x(0)=x,终端时刻t自由,终端约束条件为x(tr)=co(常数), 求最优控制u*(1)和x*(),使性能指标 J=「(x2+i2)d 为最小。 解本题为自由、终端受约束的可动边界最优控制问题。由于控制变量 不受约束,所以可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 H(x, u, 1, 1)=x+x+Au=x+u+au 伴随方程为 控制方程为 2u+A=0 由伴随方程和控制方程得 x=ut 代入状态方程得 解上面的二阶微分方程得 x=ce +c2 浙江工业大学自动化研究所6
自 动 控 制 原 理电 子 教 案 2 1.5 3 5 2 2 2 2 − 1 − + + = − c e c e c v 可得c1 = −0.73 ，c2 = −0.13 。则所求最优控制为 *( ) 0.73 1.3 0.73(1 0.18 ) t t u t = + e = + e 3. t f 自由，终端约束 设终端约束为式（9.20）。同样构造增广泛函 J a 为 (9.28) ∫ = + + − f t t T f f T a f f J x t t v M x t t H x u t x dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ), ] [ ( , , λ, ) λ &] 将式（9.28）与式（9.21）比较可以看出，式（9.28）除了 自由外，与式（9.21） 完全相同，因而所推导出的结果除了因 是任意的而增加一个终端边界条件 方程外，其余结果完全相同。最优控制问题（9.7），（9.8）取极值的必要条 件为 f t f δt 正则方程 状态方程 λ λ ∂ ∂ = H(x, u, ,t) x& (9.29) 伴随方程 x H x u t ∂ ∂ = − ( , , λ, ) λ & (9.30) 控制方程 0 ( , , , ) = ∂ ∂ u H x u λ t (9.31) 边界条件与横截条件 x(t0 ) = x0 M[x(t f ),t f ] = 0 (9.32) f t t T f v x M x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) = [ ( ) ] θ λ (9.33) [ ( , , , ) ] = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + = f t t T t M v t H x u t θ λ (9.34) 例 9.3 已知系统的状态方程为 x&(t) = u(t) 初始条件为 ，终端时刻 自由，终端约束条件为 （常数）， 求最优控制 和 ，使性能指标 0 x(0) = x f t 0 x(t ) c f = u *(t) x*(t) ∫ = + f t J x x dt 0 2 2 ( & ) 为最小。 解 本题为 自由、终端受约束的可动边界最优控制问题。由于控制变量 不受约束，所以可以用变分法求解。构造哈密顿函数为 f t H x u λ t = x + x + λu = x + u + λu 2 2 2 2 ( , , , ) & 伴随方程为 λ = −2x & 控制方程为 2u + λ = 0 由伴随方程和控制方程得 x = u& 代入状态方程得 & x& = x 解上面的二阶微分方程得 t t x c e c e = 1 + 2 − 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 6
自动控制原理电子教案 因此 u=xdt=-Ge"+c2e 积分得 代入边界条件与横截条件,得 0 解得C1=0,c2=Co,或者c2=0,c1=C0。于是,最优控制和最优状态轨 线为 l*(1) Xoe xo>c Xoe 表9.1不同终端状态边界条件下的边界条件与横截条件 终端时刻 终端状态 边界条件与横截条件 =x(t)-x=0 终端固定 x(0)=x 终端自由 tn) 给定终端部分固定、部x(0)=x0x()=x厂 分自由(x1()固 2(y)=-0 定、x2()自由) ax2() x(0)=x0 终端约束 Mx(r)=0 a0 aM a(t) 自由 终端固定 x(0)=x0 i(t-dc 终端自由 x(ty) () 浙江工业大学自动化研究所7
自 动 控 制 原 理电 子 教 案 因此 t t u xdt c e c e = = − 1 + 2 − ∫ t t x c e c e 1 2 = −2 = −2 − 2 − λ & 积分得 t t c e c e 1 2 = 2 − 2 − λ 代入边界条件与横截条件，得 1 2 0 c + c = c 0 c1c2 = 解得c1 = 0 ， 2 0 c = c ，或者c2 = 0 ， 1 0 c = c 。于是，最优控制和最优状态轨 线为 ⎩ ⎨ ⎧ − > < = − 0 0 0 0 0 0 , , *( ) x e x c x e x c u t t t ⎩ ⎨ ⎧ > < = − 0 0 0 0 0 0 , , *( ) x e x c x e x c x t t t 表 9.1 不同终端状态边界条件下的边界条件与横截条件 终端时刻 终端状态 边界条件与横截条件 终端固定 M = x(t f ) − x f = 0 0 0 x(t ) = x 终端自由 0 0 x(t ) = x ( ) ( ) f f x t t ∂ ∂ = θ λ 终端部分固定、部 分自由（ 固 定、 自由） ( ) 1 f x t ( ) 2 f x t 0 0 x(t ) = x f f x t x 1 1 ( ) = ( ) ( ) 2 2 f f x t t ∂ ∂ = θ λ f t 给定 终端约束 0 0 x(t ) = x M[x(t f )] = 0 f t T f v x M x (t ) [ ( ) ] ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ λ 终端固定 0 0 x(t ) = x f f x(t ) = x f f t H t ∂ ∂ = − θ ( ) f t 自由 终端自由 0 0 x(t ) = x ( ) ( ) f f x t t ∂ ∂ = θ λ f f t H t ∂ ∂ = − θ ( ) 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 7
自动控制原理电子教案 to )=xo MIr(In),l=0 终端约束()= a0 aM (r)= 9.4极小值原理 控制变量uO)受到限制时的最优控制问题,通常称为有约束最优控制问 题。对于有约束最优控制问题,不能应用变分法求解,而需要采用本节所介绍 的极小值原理求解。 9.41连续系统的极小值原理 设系统的状态方程为 x(1)=fx(),u(1), x(t0)=x0 (9.35) 式中,x∈Rn;u∈Ω∈RP;g为有界闭集。不等式约束为 (9.36) 其中,G为m维连续可微向量函数,m≤p。系统从初始状态x转移到终端状 态x(),要求终端状态x(y)满足等式约束 Mr(t),t/l=0 其中,M为q维连续可微向量函数,q≤n。性能指标为 J=Ol(g),91+L[x(o), u(o),r]dt (9.38) 最优控制问题就是寻找最优容许控制(1),使目标函数J最小。 为了将不等式约束问题转化为等式约束问题,引入两个新的向量: 1)引入一个新的p维控制变量o( r)=l() o(tl0)=0 (9.39) 这样,就可以容许u()不连续。因为当u(1)不连续时,o()也是连续的。而当u() 是分段连续函数时,o()也是分段光滑连续函数。 2)引入另一个新的m维控制变量() [=(t)=G[x(1),u(1),n (9.40) 由于上式左边恒为非负,所以满足G是非负的要求。 通过以上变换,将上述有不等式约束的最优控制问题,转化为了下列具有 等式约束的条件极值问题,通常称为波尔扎( bolza)问题: 系统的状态方程为 x()=fx(),o(), (9.41) (t)=G{x(1),o(1), (9.42) x(0)=x0,z(10)=0,o(to)=0 终端时刻tr未给定,终端状态约束为 Mx(t,),]=0 (9.43) 要求确定最优控制(t),使性能指标 J=O[r(),y1+ L[x(o),o( ) t]dr (9.44) 浙江工业大学自动化研究所8
自 动 控 制 原 理电 子 教 案 终端约束 0 0 x(t ) = x M[x(t f ),t f ] = 0 f t T f v x M x (t ) [ ( ) ] ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ λ f t T f t M v t H(t ) [ ] ∂ ∂ + ∂ ∂ = − θ 9.4 极小值原理 控制变量 受到限制时的最优控制问题，通常称为有约束最优控制问 题。对于有约束最优控制问题，不能应用变分法求解，而需要采用本节所介绍 的极小值原理求解。 u(t) 9.4.1 连续系统的极小值原理 设系统的状态方程为 x&(t) = f [x(t), u(t),t] 0 0 x(t ) = x （9.35） 式中， x ∈ Rn ；u ∈Ω∈ R p ；Ω 为有界闭集。不等式约束为 G[x(t), u(t),t] ≥ 0 （9.36） 其中，G 为 m 维连续可微向量函数，m ≤ p 。系统从初始状态 转移到终端状 态 ，要求终端状态 满足等式约束 0 x ( ) f x t ( ) f x t M[x(t f ),t f ] = 0 （9.37） 其中， M 为 q 维连续可微向量函数， q ≤ n 。性能指标为 (9.38) ∫ = + f t t f f J x t t L x t u t t dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ), ( ), ] 最优控制问题就是寻找最优容许控制u(t) ，使目标函数 J 最小。 为了将不等式约束问题转化为等式约束问题，引入两个新的向量： 1）引入一个新的 p 维控制变量ω(t) ω&(t) = u(t) ， ω(t0 ) = 0 （9.39） 这样，就可以容许u(t) 不连续。因为当u(t) 不连续时，ω(t) 也是连续的。而当 是分段连续函数时， u(t) ω(t) 也是分段光滑连续函数。 2）引入另一个新的 m 维控制变量 z(t) [ ( )] [ ( ), ( ), ] 2 z& t = G x t u t t ， z(t0 ) = 0 （9.40） 由于上式左边恒为非负，所以满足G 是非负的要求。 通过以上变换，将上述有不等式约束的最优控制问题，转化为了下列具有 等式约束的条件极值问题，通常称为波尔扎（Bolza）问题： 系统的状态方程为 x&(t) = f [x(t),ω&(t),t] （9.41） [ ( )] [ ( ), ( ), ] 2 z& t = G x t ω& t t （9.42） ， 0 0 x(t ) = x z(t0 ) = 0 ， ω(t0 ) = 0 终端时刻t f 未给定，终端状态约束为 M[x(t f ),t f ] = 0 （9.43） 要求确定最优控制ω&(t) ，使性能指标 (9.44) ∫ = + f t t f f J x t t L x t t t dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ),ω&( ), ] 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 8
自动控制原理电子教案 为极小 引入拉格朗日乘子向量及r,写出增广性能指标泛函为 J=Ox)1+yMx0,)1-121+(xD=刘+r(xD=m ox(r)y+pMx(r)t+[,x,1-x+rTG(x,a)-2]dh (9.45) 式中,哈密顿函数H(x,O,A,1)定义为 H(x,O,A,1)=L(x,oi,1)+xf(x,,1) (9.46) 为了简化问题,定义拉格朗日标量函数Φ为 d(x,x,O,,A,r,D)=H(x,,A,D)-x+I[G(x,@,1)-2 (9.47) 于是,J可以写成 J=x(r)y+yMx()+x,0,,,, (9.48) 对J取一阶变分,得 =++ *17 OM ax(t) (9.49) ()&x+()欲+()b+()]lt 式中,为最优终端时刻。对上式积分项中的后三项分别进行分部积分,并利 用关系式 ax(t )=ar(tf)+x(tr (9.50) 0M161f (9.51) +x+(ax)+a=6x()+(ao)6a+ +[c-d d a d a ax dt ax dt do dt az 根据泛函取极值的必要条件,应有a=0。由于式(9.51)中81r,bt(), r,i和&都是任意的,并且相互独立,所以增广性能指标泛函J取极值 的必要条件为 op d a (9.52) d a d a (9.53) dt do 分)F+OraM oo (9.54) (9.55) 0 (9.56) 由式(9.47)得 Tr 浙江工业大学自动化研究所9
自 动 控 制 原 理电 子 教 案 为极小。 引入拉格朗日乘子向量λ 及Γ ，写出增广性能指标泛函为 ∫ = + + + − + Γ − f t t T T f f T a f f J x t t v M x t t L x t f x t x G x t z dt 0 [ ( ), ] [ ( ), ] { [ , , ] [ ( , , ) ] [ ( , , ) ]} 2 θ ω& λ ω& & ω& & (9.45) ∫ = + + − + Γ − f t t T T f f T f f x t t v M x t t H x t x G x t z dt 0 [ ( ), ] [ ( ), ] { [ , , , ] [ ( , , ) ]} 2 θ ω& λ λ & ω& & 式中，哈密顿函数 H(x,ω&, λ,t) 定义为 H(x, , ,t) L(x, ,t) f (x, ,t) T ω& λ = ω& + λ ω& （9.46） 为了简化问题，定义拉格朗日标量函数Φ 为 ( , , , , , , ) ( , , , ) [ ( , , ) ] 2 x x z t H x t x G x t z T T Φ & ω& & λ Γ = ω& λ − λ & + Γ ω& − & （9.47） 于是， J a 可以写成 （9.48） ∫ = + + Φ Γ f t t f f T a f f J x t t v M x t t x x z t dt 0 θ[ ( ), ] [ ( ), ] ( , &,ω&, &, λ, , ) 对 J a 取一阶变分，得 ∫ ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Φ + = = f f f t t T T T T f t t T T f t t T a z dt z x x x x x t x M v x t t M v t J * * 0 * * [( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] [( ) ] ( ) & & & & & & δω δ ω δ δ δ θ δ θ δ （9.49） 式中， 为最优终端时刻。对上式积分项中的后三项分别进行分部积分，并利 用关系式 * f t δx(t f ) = δx(t * f ) + x&(t f )δ t f （9.50） 可得 ∫ ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂Φ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂Φ = Φ − = = = * 0 * * * [( ) δ ( ) ( ) δ ] [ ( ) ] δ ( ) [( ) δ ( ) δ ] [ ] δ * f f f f t t T T T t t T T f T t t T f t t T T a z dt dt z d dt d x dt x d x z z x t x v x M x t t M v x t J x & & & & & & & & δω ω ω ω θ θ δ （9.51） 根据泛函取极值的必要条件，应有δJ a = 0 。由于式（9.51）中δ t f ，δx(t * f ) ， δx ，δω 和δz 都是任意的，并且相互独立，所以增广性能指标泛函 取极值 的必要条件为 a J = 0 ∂ ∂Φ − ∂ ∂Φ dt x d x & （9.52） = 0 ∂ ∂Φ dt ω& d ， = 0 ∂ ∂Φ dt z d & （9.53） [ ( ) ] * = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂Φ Φ − = f t t T T t M v t x x θ & & （9.54） [ ( ) ] * = 0 ∂ ∂Φ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = f t t T x v x M x & θ （9.55） ( ) * = 0 ∂ ∂Φ = f t t ω& ， ( ) * = 0 ∂ ∂Φ = f t t z& （9.56） 由式（9.47）得 Γ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂Φ T x G x H x ( ) 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 9
自动控制原理电子教案 代入式(9.52),得 d2 ah aG or+(o'l 若不等式约束函数G内不含x,即为 G[u(1),n≥0 (9.58) 则由于一≡0,由式(9.57)得 (9.59) 由式(9.54)和(955),并注意到 分-2,可计算出t=t时的H及λ值 H(r)= (9.60) M (9.61) 当系统在最优控制u'()作用下,沿最优轨迹x()进行状态转移时的t即是最 优时刻了,略去式(960)和(961)中的符号(*),即得横截条件为 H(x,u,元,1)+ 00 aM (t)= (9.63) 式(953)表明,在最优轨线上,如和都为常数。又由式(9.56)可知 该常数为零,所以,沿最优轨迹 0 (9.64) 由于Φ中包含x,b和,若将极值曲线上的x,b和,分别用x,b和 表示,则式(964)可以写成 0 (9.65) 上面得到了使性能指标J取极值的必要条件。为了使性能指标取极值 还必须满足充分条件:维尔斯特拉斯函数E沿最优轨线为非负 x =H(x‘,,,1)-H(x',',A,1)≥0 (9.66) 以oi(t)=l(),b·()=u'·(n)代入上式得 H(x,u',A,)≤H( 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理电 子 教 案 = −λ ∂ ∂Φ x& 代入式（9.52），得 Γ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = T x G x H dt d ( ) λ 即 Γ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − T x G x H λ ( ) & （9.57） 若不等式约束函数G 内不含 x ，即为 G[u(t),t] ≥ 0 （9.58） 则由于 ≡ 0 ∂ ∂ x G ，由式（9.57）得 x H ∂ ∂ λ = − & （9.59） 由式（9.54）和（9.55），并注意到 = −λ ∂ ∂Φ x& ，可计算出t = t * f 时的 H 及λ 值 * ( ) [ ] * f t t T f t M v t H t = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − θ （9.60） * ( ) [ ( ) ] * f t t T f v x M x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ λ （9.61） 当系统在最优控制 作用下，沿最优轨迹 进行状态转移时的 即是最 优时刻 ，略去式（9.60）和（9.61）中的符号（*），即得横截条件为 ( ) * u t ( ) * x t f t * f t [ ( , , , ) ( ) ] = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + = f t t T v t M t H x u t θ λ （9.62） f t t T f v x M x t = ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) = [ ( ) ] θ λ （9.63） 式（9.53）表明，在最优轨线上， ∂ω& ∂Φ 和 ∂z& ∂Φ 都为常数。又由式（9.56）可知， 该常数为零，所以，沿最优轨迹 ∂ω& ∂Φ = ≡ 0 ∂ ∂Φ z& （9.64） 由于Φ 中包含 x& ，ω& 和 z& ，若将极值曲线上的 x& ，ω& 和 z& ，分别用 x& * ，ω& * 和 * z& 表示，则式（9.64）可以写成 0 * * ≡ ∂ ∂Φ = ∂ ∂Φ ω& z& （9.65） 上面得到了使性能指标 取极值的必要条件。为了使性能指标取极值， 还必须满足充分条件：维尔斯特拉斯函数 a J E 沿最优轨线为非负，即 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) ( ) ( ) * * * * * * * * * * * x x x E x x z t x x z t T & & & & & & & & & − ∂ ∂Φ = Φ ω λ Γ − Φ ω λ Γ − * * * * * * * * * * * * (x , x, , z, , ,t) x (x , x , , z , , ,t) x T T = Φ & ω& & λ Γ + λ & − Φ & ω& & λ Γ − λ & ( , , , ) ( , , , ) 0 * * * * * = H x ω& λ t − H x ω& λ t ≥ （9.66） 以ω&(t) = u(t) ，ω& * (t) = u * (t) 代入上式得 ( , , , ) ( , , , ) * * * * * H x u λ t ≤ H x u λ t （9.67） 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 10