第一章直角三角形的边角关系 且BM=√3千米，l3上的点N位于点M的 .'.cos a= DM DM 13 13 MN2/13 13, 北偏东a方向上，且cosa= 13 MN= 解得DM=2(千米). 2I3千米，点A和点N是城际铁路线L 2和⅓之间的距离为2千米。 上的两个相邻的站点。 2)点M位于点A的北偏东30方向 北 城际铁路线L十东 上，且BM3千米， 2道路线 ian30=胎A启号 BM3√3 道路线2 道路线， 解得AB=3(千米)， 可得AC=3+2=5(千米)： (1)求12和1之间的距离； (2)若城际火车的平均时速为150千米/时，求 ·.:MN=2/13千米，DM=2千米， 市民小强乘坐城际火车从站点A到站点 .DN=W(2/1}-22=4√3（千米）片 N需要多少小时？（结果用分数表示） ∴.NC=DN+BM=5W3(千米). 解(1)过点M作MD⊥NC于点D, ∴.AN=√JAC2+CN'=W√53}+5= 北 城际铁路线L本东 10(千米). N 道路线1， 道路线(2 ·城际火车的平均时速为150千米/时， ·.市民小强乘坐城际火车从站点A到 道路线 3,MN=2/13千米， /1 站点N考要品时 .COS o= 第2课时 仰角、俯角 基础·自主梳理 1.如图，在距建筑物AB的 是45米时，观测电线杆顶部的俯角为30°，则 底部a米远的C处，测得建筑物 该电线杆的高度约为14米.（结果精确到1 的顶端点A的仰角为α，则建筑 米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) 物AB的高可表示为atan o· B 4.如图，甲楼AB的高度为20米，自甲楼 2.从一艘船上测得海岸上高为42米的 楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°， 灯塔顶部的仰角是30°，船离灯塔的水平距离 测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼CD 为(A). 的高度是(20+20√3)米. A.42√5米 B.145米 C.21米 D.42米 3.数学兴趣小组利 用无人机测量电线杆高 730 度，已知无人机的飞行 甲B 高度为40米，当无人机 与该电线杆的水平距离 19
家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 核心·重难探究 知识点：仰角、俯角 tan∠DEN=an37=2N-075= 4 【例题】小明利用寒假进 行综合实践活动，他想利用测 设DN=3xm,则EN=4xm. 角仪和卷尺测量自家所住楼 在Rt△DNA中，DN=3X,AN=4x-8, (甲楼)与对面邮政大楼（乙 :tan∠DaAN-tan42-R别 楼)的高度，现小明用卷尺测 得甲楼宽AE是8m,用测角乙楼 甲楼 即42g=0g群移元12 仪在甲楼楼顶E处与A处测得乙楼顶部D .DN=36,AN=40 的仰角分别为37°和42°，同时在A处测得乙 楼底部B处的俯角为32°，请根据小明测得数 在Rt△BNA中，tan/NAB-tan2=BN AN 据帮他计算甲、乙两幢楼的高度.（精确到 ∴.BN=AN·tan32°≈24.8. 0.01m)(参考数据：cos32°≈0.85，tan32°≈ .DB=DN+BN=36+24.8=60.8, 0.62,cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，cos37°≈ AC=BN=24.8. 0.80,tan37°≈0.75) .甲楼的高为24.8m,乙楼的高为60.8m. 思路点拨(1)怎样作辅助线构造直角三 角形？ 【方法归纳】 (2)图中的基本图形有哪些？它们有哪 解决此类问题要了解角之间的关系，找 些性质？ 到相关联的直角三角形，当图形中没有直角 解过点A作AN⊥BD 三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角 于点N, 形，另当问题以一个实际问题的形式给出时， 由题意，得∠DEN=37 要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三 ∠DAN=42°，∠NAB=32°. 角形中边角关系问题加以解决. 在Rt△DNE中， 乙楼 甲楼 新知· 训练巩固 1.某滑雪场用无人机测量 BC的高约为24.2m. 509 雪道长度.如图，通过无 (结果保留小数点后 人机的镜头C测一段水 位，参考数据：sin53°≈ 平雪道一端A处的俯角 0.80,c0s53°≈0.60， 为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜 tan53°≈1.33) 539 头C处的高度CD为238米，点A,D,B在同 3.如图，某活动小组利 D 一直线上，则雪道AB的长度为438米.（结 用无人机航拍校园， 果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77， B 已知无人机的飞行速 c0s50°≈0.64，tan50°≈1.19) 759 2.如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆 度为3m/s,从A处沿 30 AB,从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°， 水平方向飞行至B处 水平线 观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物 需10s.同时在地面C处分别测得A处的仰 20
第一章直角三角形的边角关系\ 角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机 角为60°，求小聪在地面的有效测温区间 的飞行高度大约是20m.(√3≈1.732，结 MN的长度.（额头到地面的距离以身高 果保留整数) 计，计算结果精确到0.1m,sin18°≈0.31， 4.某校为检测师生体温，在 cos18°≈0.95，tan18°≈0.32) 校门安装了某型号测温 解延长BC交AD于点E,则 门.如图为该测温门截面 AE=AD-DE=0.6 m 示意图，已知测温门AD BE= AE tan18≈1.875m, 的顶部A处距地面高为2.2m.为了解自己 的有效测温区间，身高1.6m的小聪做了 CE= AE tan60≈0.346m. 如下实验：当他在地面V处时测温门开始 所以BC=BE-CE≈1.529m. 显示额头温度，此时在额头B处测得A的 所以MN=BC≈1.5m. 仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显 答：小聪在地面的有效测温区间MN的 示额头温度，此时在额头C处测得A的仰 长度约为1.5m 素能·演练提升 1.如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵 456 树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与 10m 树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD= B30 60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°.若房屋 0 15m 的高BC=6米，则树高DE为(D). A.(5√5-5)m B.(10√2-10)m C.(10-5√2)m D.(10-5√5)m 3.如图，直立于地面上的电线杆AB,在阳光下 A.3√6米 B.6√2米 落在水平地面和坡面上的影子分别是BC, C.33米 D.6√6米 CD,测得BC=6米，CD=4米，∠BCD= 2.如图，从坡上建筑物AB处观测坡底建筑物 150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 CD.从点A处测得点C的俯角为45°，从点 30°，则电线杆AB的高度为(4+2√③)米 B处测得点D的俯角为30°.已知建筑物 AB的高度为10m,AB与CD的水平距离 30D 是OD=15m,则CD的高度为(A). 21
儿家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 4.(2022·贵州黔东南州中 ∴.EF2x=10√3-10≈7.3(m). 考)如图，校园内有一株枯 .点E与点F之间的距离为7.3m 死的大树AB,距树12米处 6.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头 有一栋教学楼CD.为了安 (如图(1))，完全开启后，把手AM的仰角 全，学校决定砍伐该树，站 12米 α=37°，此时把手端点A、出水口点B和落 在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A 水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头的 的俯角为30°.小青计算后得到如下结论： ①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接 相关数据如图(2).（参考数据：sin37≈号， 从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向 c0s37号an37) 会对教学楼有影响；④若第一次在距点A 的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD 造成危害.其中正确的是①③④·（填写 序号，参考数值：W3≈1.7，W2≈1.4) 5.在某大桥的东 端一处空地上， 30C E30 有一块矩形的 图(1) 图(2) 759 (1)求把手端点A到BD的距离； 标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的 (2)求CH的长. 高AB=5m,在地面的点E处测得标语牌 点A的仰角为30°，在地面的点F处测得 解(1)过点A作AN⊥ 104 BD于点N,过点M作 标语牌点A的仰角为75°，且点E,F,B,C -12 MQ⊥AN于点Q, 在同一直线上，求点E与点F之间的距离. 在Rt△AMQ中， (计算结果精确到0.1m,参考数据：√2 ·.Ah10,sina= 1.41,3≈1.73)》 解如图，作FHLAE于点H. 是般多 ..AQ= 号AM6 AN-AQ+ON-12 E30 (2)延长AN交CH于点G 根据题意，NB∥GC 由题意可知，∠HAF=∠HFA=45°， BN AN ∴.AH=HF. △ANB△AGC. GC-AG 设AH=HF=Xm, MQ=DN=8,..BN=DB-DN=4. 则EF=2xm,EH=√3xm. 总-号群得cC-12, 4 在Rt△AEB中，：∠E=30°，AB=5m, .AE=2AB=10m). ∴.CH=30-8-12=10. ..CH的长度是10. .+√3x10,解得=5√3-5. 22
第一章直角三角形的边角关系\ 第3课时坡度、坡角 基础·自主梳理 1.小明同学爱好登山运动，一天他沿坡 3.(2022·贵州毕节中考)如图，某地修 角为60的斜坡登山，此山的坡度是(D). 建的一座建筑物的截面图的高BC=5m,坡 A.1:2B.2:1 C.1:√5D3:1 面AB的坡度为1：√3，则AB的长度为 2.如图，一个人从山脚下的点A出发，沿 (A). 山坡小路AB走到山顶点B.已知坡角为20°， A.10m B.10√3m 山高BC=2千米.用科学计算器计算小路 C.5m D.55m AB的长度，下列按键顺序正确的是(A). B i=13 B D B A20 C (第3题图) (第4题图) A.2日sin20目 4.如图，某市在建高铁的某段路基横断 B.2☒sin②o目 面为梯形ABCD,DC∥AB.BC长6米，坡角 C.②母cos2o目 B为45°，AD的坡角a为30°，则AD长为 D.②☒tam②o目 6√2米.（结果保留根号） 核心·重难探究 知识点：坡度、坡角 需留下至少3米宽的人行道，则该建筑物是 【例题】某市 否需要拆除？（最后计算结果保留一位小数） 座人行天桥的示意 (参考数据：√2≈1.414，√5≈1.732) 30X459 图如图所示，天桥离 HD A 思路点拨在Rt△ABC,Rt△DBC中， 地面的高BC是10米，坡面AC的坡角 利用锐角三角函数分别计算 和 ∠CAB=45°，在距点A10米处有一建筑物 ,然后计算 的长，根据 HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门 DH与3米人行道的关系求解即可. 决定降低坡度，使新坡面DC的坡角 解由题意，知AH=10米，BC=10米. ∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间 在Rt△ABC中，.'∠CAB=45, 23