儿家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 链”连接，图(3)是图(2)中“滑块铰链”的平面 10cm, 示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE ∴.四边形ACDE是平行四边形！ 安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以 ∴.AC∥DE..∠DFB=∠CAB. 左右滑动，支点B,C,D始终在一条直线上， ∠CAB=85,∴.∠DFB=85. 延长DE交MN于点F.已知AC=DE= 2)作CG⊥AB于点G. 20 cm,AE=CD=10 cm,BD=40 cm. D 窗扇 MF A G BN 滑块 AC=20,∠CGA=90°，∠CAB=60°， 窗框 铰链 M 图(I) 图(2) ∴.CG=AC·sin∠CAB=10√3，AG=AC· C0S∠CAB=10. .BD=40,CD=10, BN .CB=30. 图(3) .BG=√302-(10√3}=10√6(cm). (1)窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求 .AB=AG+BG=10+10√6≈10+ 此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数： (2)窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求 10×2.449=34.49≈34.5(cm), 此时点A,B之间的距离（精确到0.1cm). 即A,B之间的距离为34.5cm. (参考数据：√5≈1.732，√6≈2.449) 【方法归纳】 思路点拨(1)根据 的判定和 性质可以解答本题；(2)根据锐角三角函数和 解答这类问题的关键是明确题意，正确 定理可以求得AB的长 作出辅助线构造直角三角形，找出所求问题 (1).AC=DE=20 cm,AE=CD= 需要的条件，利用数形结合的思想解答. 新知·训练巩固 1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB= 0.5,若AC=6,则BC的长为(C). A.8 B.12 C.6√5 D.123 A C D B B- (第3题图) (第4题图) (第1题图) (第2题图) 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1 2.如图，在△ABC中，nB=专anC=2. AB,垂足为点D,若∠B=30°，CD=6,求 AB的长 AB=3,则AC的长为(B). 解在Rt△BCD中，snB=8:BC= A.√2 R号 C.5 D.2 CD 3.(2022·贵州六盘水中考)如图，将△ABC sin B =12.在Rt△ABC中，：00SB= 2 绕点A旋转得到△ADE,若∠B=90°， BC ∠C=30°，AB=1,则AE=2· .AB-BCB12-8/3. AB cOS B3 2 14
第一章直角三角形的边角关系 素能·演练提升 1.如图，Rt△ABC中，∠C= 杆AB,用绳子拉直 90°，点D在AC上， AD后系在树干EF C ∠DBC=∠A.若AC=4, 上的点E处，使得A, osA=青则BD的长度 D,E在一条直线上， 通过调节点E的高度 为(C) 可控制“天幕”的开合，AC=AD=2m, A号 B号 c D.4 BF=3 m. (1)天晴时打开“天幕”，若∠α=65°，求遮阳 2.如图，△ABC底边BC上的高为h1,△PQR 宽度CD(结果精确到0.1m); 底边QR上的高为h2,则有(A). (2)下雨时收拢“天幕”，∠a从65减小到45， 求点E下降的高度（结果精确到0.1m). (参考数据：sin65°≈0.90，c0s65°≈ 125 0.42,tan65°≈2.14，w2≈1.41) 55 C Q R 解(1)由对称知，CD=2OD,AD=AC= A.h=h2 B.h<h2 2m,∠AOD=90, C.h>h2 D.以上都有可能 在Rt△AOD中，∠OAD==65, 3.如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，点D在AB的延长线上， .sin 0: 连接CD,若AB=2BD, .OD=AD·sina=2×sin65≈2× tan∠BCD= 号则瓷的值为 0.90=1.80m..CD=20D=3.6m: 答：遮阳宽度CD约为3.6米. (B. (2)如图， A.1 B.2 过点E作EH⊥c c号 n AB于点H, ∴.∠BHE=90. 4.(2022·贵州遵义中考)如图(1)是第七届 .AB⊥BF, 国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体 EF⊥BF, 图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好 ∴.∠ABF∠EFB=90. 能组合得到如图(2)所示的四边形OABC .∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90. 若AB=BC=1,∠AOB=30°，则点B到 .HBFE为矩形.∴.EH=BF=3m. OC的距离为(B). 在Rt△AHE中，an&=启， EH ·AHEH tan o 3 当La=65时，Atan65214 3 ICME7 图(1) 图(2) 1.40m), A. 5 B25 C.1 3 5 D.2 当La=45时，Atan45=3m, 5.(2022·贵州六盘水中考)“五一”节期间， 故当∠a从65°减小到45°时，点E 许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳 下降的高度约为3-1.40=1.6m. 和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图 是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支 15
1家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 5三角函数的应用 第1课时方向角 基础·自主梳理 1.如图，已知点B位于点A北偏东30°方 2.如图，小明从A处出发，要到北偏东 向，点C位于点A北偏西30°方向，且AB= 60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米 AC=8千米，那么BC=8千米. 到达B处，再沿北偏东30°方向走恰好能到达 北 北 目的地C处.则B,C两地的距离为200米. 东 609 30°- B (第1题图) (第2题图) 核心·重难探究 知识点一：求路程问题 .CB=BD+CD=(30√2+10⑥)海里. 【例1】如图，一艘海监船 .该船与岛上目标C之间的距离为 在某岛附近海域巡航，某一时 (30√2+10√⑥)漫里. 刻海监船在A处测得该岛上 某一目标C在它的北偏东45 北 【方法归纳】 方向，海监船沿北偏西30°方 A东 向航行60海里后到达B处，此时测得该目标 在解决有关方向角的问题中，一般要根 C在它的南偏东75°方向，求此时该船与目标 据题意理清图形中各角的关系，有时所给的 C之间的距离CB的长度.（结果保留根号） 方向角并不一定在直角三角形中，需要用到 思路点拨(1)利用BC所在的△ABC能 两直线平行内错角相等或两个角互余等知识 转化为所需要的角。 否直接求出BC的长？ (2)怎样构造直角三角形求解？ 知识点二：求时间问题 解由题意，得∠EBA=∠FAB=30, 【例2】如图，一巡逻艇 .∠ABC-∠EBC-∠EBA75-30=45. .∠C=180-45°-75°=60°. 在A处执行任务时，发现在 过点A作AD⊥BC于点D,北 B东 A处的北偏东30°方向有一 则BD=AD=AB· B个心东 西AE东 snA60=60x是302 岛屿C,在A处的北偏东 南 F 75°方向、相距60海里的B处有一不明船只， c0-品&2g-0a 正以15海里/时的速度向位于B处西北方向 的C岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时 16
第一章直角三角形的边角关系\ 的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只 ∴.BH=30W3-1),AH=30(3-√3)： 谁先到达C岛？（参考数据：w2≈1.4w3≈1.7） 在Rt△ACH中，AC=√2AH=√2x 思路点拨(1)怎样构造直角三角形才能 303-√3)=30√2(3-√3). 利用上两个已知角？ 在Rt△BCH中，BC=2BH=60W3-1). (2)利用什么来比较谁先到达C岛？ 则巡逻艇到达C岛所用的时间为 解如图，过点C作CHL AB于点H, 30/2(3-√3)÷20≈2.7小时)，不明船只到达C 由意可得，∠DAB7万， 岛所用的时间为60W3-1)÷15≈2.8（小时） ∠DAC=30,∠CBF45. AE东 2.8>2.7, .∴.∠BAC=45°，∠BAE=∠ABF=15 .巡逻艇先到达C岛. .∠ABC=60 【方法归纳】 设BHX海里，则CH=AH√3X,BC=2X 解决这类问题关键是在不破坏已知角的 .AB=60,.√3x+X=60, 情况下构造直角三角形，正确利用勾股定理 解得x=30W3-1). 和三角函数求解。 新知·训练巩固 1.如图，某数学社 北 面上航行，当它行驶到A 团开展实践性研 东历下亨 处时，发现在它的北偏东 60 东 究，在大明湖南 30°方向有一灯塔B.轮船 门A,测得历下 游船码头大 明 379 继续向北航行2小时后到 亭C在北偏东 南门湖 达C处，发现灯塔B在它的北偏东60方向. 37°方向，继续向北走105m后到达游船码 若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间 头B,测得历下亭C在北偏东53°方向.请 时，轮船离灯塔最近？(A). 计算一下南门A与历下亭C之间的距离约 A.1小时 B.√3小时 为(C). C.2小时 D.2√3小时 (参考数据：lamn37r是，lam53~ 4 4.如图，一艘海轮位于灯塔P的 北 A.225mB.275mC.300m D.315m 南偏东45°方向，距离灯塔 东 30e 北 60 n mile的A处，它沿正北方向 2.如图，小岛在港口P 北 十东 航行一段时间后，到达位于灯塔 的北偏西60°方向，距 A P的北偏东30°方向上的B处， 45 港口56海里的A处， 60145 货船从港口P出发， 这时，B处与灯塔P的距离为60√2 n mile. 沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时 5.如图，一艘轮船在小 北 B十东 后货船在小岛的正东方向，则货船的航行 岛A的北偏东60 459 速度是(A) 距小岛80海里的B A A.7√2海里/时 B.7√5海里/时 处，沿正西方向匀速航行2小时后到达小岛 的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 C.7√6海里/时 D.28√2海里/时 3.如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海 20+20√3海里/时
家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 素能·演练提升 1.一艘在南北方向的航线上的测量船，于点 方向.为了在台风到来之前用最短时间到达 A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向， M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度向 继续向南航行30海里到达点C时，测得海 岛B在点C的北偏东15°方向，那么海岛B 着避风港M直线航行，继续航行 18+6√3 5 离此航线的最近距离是(B).(结果保留 小时即可到达.（结果保留根号） 北 小数点后两位)（参考数据：√3≈1.732 避风港 √2≈1.414) 609 307 B.5.49海里 →东 A.4.64海里 C.6.12海里 D.6.21海里 2.如图，轮船在A处，在船上观测灯塔C位于北 (第4题图) (第5题图) 偏西70°方向上，轮船从A处以20海里/时的 5.如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏 速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后 东60°方向上有一座灯塔C,再向东继续航行 到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏 60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东 西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 30°方向上.已知在灯塔C的周围47km内有 (C). 暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 解过点C作CD⊥AB,垂足为D.如图所示. A.10√2海里 B.10√3海里 C.10√6海里 D.20√6海里 北 北 50 东 E 北 D 70° D 40 259 根据题意可知∠BAC=90°-60°= 50 50 280 30,∠DBC=90-30=60, (第2题图) (第3题图) .,∠DBC=∠ACB+∠BAC, .∴.∠BAC=30=∠ACB, 3.(2022·贵州黔西南中考)如图，某海军舰 .BC=AB=60 km. 艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC= 北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛 在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西 60 ,sin/DBC=CD 40°方向.A,B之间的距离为80海里，则C sn60=品 岛到航线AB的最短距离约是34海里. 六CD=60×sin60=60×5 (参考数据：√2≈1.4√3≈1.7，保留整数结果) 30√3(km)>47km, 4.如图，一艘渔船正以60海里/时的速度向正 这艘船继续向东航行安全 东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方 6.如图为某区域部分交通线路图，其中道路 向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时 线l1∥2∥l3,高速路线1与道路线11，l2,l 测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛 都垂直，垂足分别为点A、点B和点C,2 礁P正东方向上的避风港M在北偏东60 上的点M位于点A的北偏东30°方向上， 18