例56已知两个频率均为50Hz的正弦电压,它们的相量 分别为01=380/6V,2=220/m/3V,试求这两个电压的解 析式 解0=2πf2π×50=314rad/s U1(→>l1=√2U1sin(o计1)=380√m(314t1/6)V U2sin(Ot+2)=220√n(314t-/3) 522两个同频率正弦量之和 1.两个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量 u,(t)=Um sin( at+u=v2U, sin( at +1) u ,(r)=U2m sin( at+u)=v2U2 sin(at+2) 利用三角函数,可以得出它们之和为同频率的正弦量,即 l()=u4()+2()=√2Usn(ot+q)
例 5.6 已知两个频率均为50 Hz的正弦电压， 它们的相量 分别为 Ù1=380 /π/6 V, 2=220 /—π/3 V， 试求这两个电压的解 析式。 解 ω=2πf=2π×50=314 rad/s u 1= U 1 sin(ωt+φ 1 )=380 sin(314t+π/6)V u 2= U 2 sin(ωt+φ 2 )=220 sin(314t-π/3) V 5.2.2 两个同频率正弦量之和 1. 两个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量 2 2 2 1 → 2 . U 2 → . U ( ) sin( ) 2 sin( ) ( ) sin( ) 2 sin( ) 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 w w w w = + = + = + = + u t U t U t u t U t U t m m 利用三角函数，可以得出它们之和为同频率的正弦量，即 ( ) ( ) ( ) 2 sin( ) u t = u1 t + u2 t = U wt +
其中U=√U1cos9+02cos2)2+(U/sima+U2sima)2 sinp+U2 sin 2 P=arctan U, coS , +U, coS o 可以看出,要求出同频率正弦量之和,关键是求 出它的有效值和初相。 可以证明,若vF=u1+l2,则有 U=U1+U 1+l2 图58两个相量加减的三 角形法则
其中 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin arctan ( cos cos ) ( sin sin ) U U U U U U U U U + + = = + + + 2 . 1 . . U = U +U I 2 . I 2 . I 1 . I 2 . (a) I 2 . I 1 . －I 2 . －I 2 . I 1 . －I 2 . I 1 . (b) I 1 . ＋ 图 5.8 两个相量加减的三 角形法则 可以看出， 要求出同频率正弦量之和，关键是求 出它的有效值和初相。 可以证明， 若u=u 1+u 2， 则有
2.求相量和的步骤 (1)写出相应的相量,并表示为代数形式。 为,以)按复数运算法则进行相量相加,求出和的 (3)作相量图,按照矢量的运算法则求相量和 6e如图58所示。图59表示多个相量加减的多边形法
2. 求相量和的步骤 (1) 写出相应的相量， 并表示为代数形式。 (2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的 相量。 (3)作相量图，按照矢量的运算法则求相量和。 如图5.8所示。图5.9表示多个相量加减的多边形法 则
例57l()=220 snot v,ln()=220√厘n(1-120°)V,求 +3和uA-lBo 解(1)相量直接求和。 4→>U4=220/0=220+10 l→UB=220/-120=220c0-120)+j20sm(-120) 110-j110√3 →UA+UB=110-10、3=20/607 n4-lB<→>04-U8=330+l10 3=380/60V l4+la=220√2snot-60 l4-u2=380√2(siot+300
例5.7 uA(t)=220 sinωtV， uB(t)=220 sin(ωt—120°) V， 求 u A+uB和 uA—uB 。 解 (1) 相量直接求和。 2 2 u u t V u u t V u u U U j V u u U U j V j V u U j u U j V A B A B A B A B A B A B B B A A 380 2(sin 30 ) 220 2(sin 60 ) 330 110 3 380 60 110 110 3 220 60 110 110 3 220 120 220(cos( 120 ) 220sin( 120 ) 220 0 220 0 0 0 0 . . 0 . . 0 0 0 . 0 . / / / / − = + + = − − → − = + = + → + = − = = − − → = − = − + − → = = + w w
(2)作相量图求解。见图5.10,根据等边三角形和顶角为 0°的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果,读者自行 分析。 30° 120° 30° 120 60 120 U=U +U+U-U U3 图59相量加减的多边形法则 UA+U 图5.10例57图
(2) 作相量图求解。 见图5.10， 根据等边三角形和顶角为 120°的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果， 读者自行 分析。 120° 120° 120° 60° 30° 30° UA . UB . UC . UB . UB . UA . ＋ UB . UA . － UB . － 图 5.10 例5.7图 U1 . U2 . U3 . U2 . U . U3 . U4 . U1 . U2 . U3 . U . －U4 . = ＋ ＋ 图 5.9 相量加减的多边形法则