(*一产生库仑势中本征波函数的角度相关部分一* WaveALtheta, phi, 1 m]: Modulelitr tmp SphericalHarmonicY[l, m, theta, phi] (*一产生电子在库仑势中的本征波函数一*) WaveF[Z, r, theta_, phi,n, 1,m]: Modulelitmp tmp=WaveR[Z, r, n, 1] WaveA[theta, phi, 1 Endl EndPackage [ 当我们需要对电子在原子核的库仑势中的本征波函数习性进行分析时,我们 可以首先调入程序包 Coulomb. m,然后调用程序包中定义的函数。例如通过运 行下面的指令: < Coulomb m Plot [WaveR[1, r, 1, 01, WaveR[1, r, 2, 0], WaveRLl, r, 3, 0], WaveR[1, r, 4, 0] [r, 0, 35, AxesLabe1->r,u, Prolog->Thickness [o 0011] Plot [Abs [WaveAltheta, Pi/2, 2, 11]2 Itheta, 0, Pi], AxesLabel1->"theta,"y", Prolog->Thickness [0. 0011] Plot3D [Abs [WaveF[1, r, theta, Pi/2, 3, 2, 2]]2, r, 0, 15, theta, 0, Pi], Ligh ting->True] 0.025 -0.075 -0.1
] (* --- 产生库仑势中本征波函数的角度相关部分 --- *) WaveA[theta_, phi_, l_, m_] := Module[{tmp}, tmp = SphericalHarmonicY[l, m, theta, phi] ] (* -- 产生电子在库仑势中的本征波函数 --- *) WaveF[Z_, r_, theta_, phi_, n_, l_, m_] := Module[{tmp}, tmp = WaveR[Z, r, n, l] WaveA[theta, phi, l, m] ] End[] EndPackage[] 当我们需要对电子在原子核的库仑势中的本征波函数习性进行分析时，我们 可以首先调入程序包Coulombp.m，然后调用程序包中定义的函数。例如通过运 行下面的指令： (*----------------------------------------------------------------*) << Coulombp.m Plot[WaveR[1,r,1,0],WaveR[1,r,2,0],WaveR[1,r,3,0],WaveR[1,r,4,0], {r,0,35},AxesLabel->"r","u",Prolog->Thickness[0.001]] Plot[Abs[WaveA[theta,Pi/2,2,1]]^2, {theta,0,Pi},AxesLabel->"theta","Y",Prolog->Thickness[0.001]] Plot3D[Abs[WaveF[1,r,theta,Pi/2,3,2,2]]^2,{r,0,15},{theta,0,Pi},Ligh ting->True] (*---------------------------------------------------------------*)
0.14 0.08 0.06 0.04 0.02 th吧ta 0.5 1.5 图(8.1.1)本征波函数径向部分的四条曲线(当z=1,1=0和n=1,2,3,4时)。 图(8.1.2)本征波函数角度关联部分绝对值平方随极角变化的曲线(当=x/2,=2和 m=1时)。 0.0001 图(813)本征波函数绝对值平方随r和极角O变化的三维曲线(当=x/2,1=2和m=1 时)
图（8.1.1）本征波函数径向部分的四条曲线（当Z = 1，l = 0和n = 1,2,3,4 时）。 图（8.1.2）本征波函数角度关联部分绝对值平方随极角θ 变化的曲线（当ϕ = π 2，l 和 1.3）本 = 2 m = 1时）。 图（8. 征波函数绝对值平方随 r 和极角θ 变化的三维曲线（当ϕ = π 2， 和 l = 2 m = 1 时）
8.2求非相对论性薛定格方程本征能量限 用 Mathematica V4.0系统的指令,对应的计算过程可表述为 MATHEMATICA V4. 0 (*积分*) In[1]:=E-r"dr Out[1]= /[Reln]>-1&& Re[a]>0, t-"Gamma l +n]. erdr] 这一输出结果的含义是:如果Re4]>0,且Ren>-1,则以上积分的结果为 A-"T(1+n),否则将输出 dr 这意味着 Mathematica无法求解该问题。由此可以得归一化因子 归一化的“试验”波函数为 23 为保险起见,我们可以检验一下关系式两边的量纲。根据以前的讨论,我们知道关系式左 边的量纲为 DimE/2]。为使指数运算exp{-r}有意义,乘积必须是无量纲的量,即 Dm=1,由此有oa-Dme,甲 Dm平]=DmE32]=Dm312]。 很显然,在以上推导中至少量纲是正确的。下面我们演示一下如何运用 Mathematica语言 作以上定义和计算 采用 Mathematica v4.0的对应计算为:
8.2 求非相对论性薛定格方程本征能量限 用 Mathematica V4.0 系统的指令，对应的计算过程可表述为： MATHEMATICA V4.0 （* 积分 *） In[1]:= E ∫ r dr r n ∞ − 0 λ Out[1]= [Re[ ] 1&& Re[ ] 0, [1 ], ] 0 1 If n Gamma n e r dr n r n ∫ ∞ − − − > − > + λ λ λ 这一输出结果的含义是：如果 Re[λ] > 0 , 且 Re[n] > −1 则 ( ) 1 1 n λ n − − Γ + ， 以上积分的结果为 ，否则将输出 dr r r n ∫ ∞ 0 exp{λ } , 这意味着Mathematica无法求解该问题。由此可以得归一化因子 N = ， π λ 3/ 2 归一化的“试验”波函数为 Ψ(r, ) r e λ π λ λ − = 3/ 2 为保险起见，我们可以检验一 . 下关系式两边的量纲。根据以前的讨论，我们知道关系式左 边的量纲为 Dim[E3/ 2 ]。为使指数运算 exp{−λr}有意义，乘积 λr 必须是无量纲的量，即 Dim[λr] = 1。由此有 im[E]，即 [ ] [ ] D Dim r Dim λ = = 1 。 很显然，在以上推导中至少量纲是正确的。下面我们演示一下如何运用 Mathematica 语言 作以上定义和计算。 [ ] [ ] [ ] 3 / 2 3 / 2 Dim Ψ = Dim E = Dim λ 采用 Mathematica V4.0 的对应计算为：