《固体物理学》课程教学资源（讲义）第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动（5.1）准经典运动

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 第五章晶体中电子在电场和磁场卬的动 ▲问题的提出 皛体中的电子在外加场的作用下,外场可以是电场、磁场、掺入杂质势场等,如何描述电子的运动? 如果外场与晶体的势场相比弱许多,可以用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础进行讨论。 方法一——求解在外加势场时电子的薛定谔方程[-。V2+(F)+U]y=Ev 2m ▲方法 在满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子来处理,这样可以很方便地讨论 均匀电磁场中各种电导效应以及一般晶体中输运过程问题。 本节介绍电子在晶体中准经典运动的一些基本概念和规律。 §51准经典运动 波包和电子速度 波包——在量子力学中,对任意有经典类比的力学系统,如果对一个态的经典描述近似成立,则在 量子力学中这个态就由一个波包代表 根据量子力学测不准原理,粒子的坐标和动量不能冋时有确定的值。 粒子空间分布在石附近的范围内,动量取值为Mk附近h伙的范围内,构成了粒子的波包。 波包中心后为粒子的中心,中心的动量称为粒子的动量。 ▲波包的波函数 晶体中的波包由布洛赫波组成,布洛赫波:vk(F,1)=e lg2() 为得到以量子态k为中心的波包,k'=k+k-其中k必须很小 势场周期性函数近似表示为:4(F)≈u(P) 将能量E(k")按泰勒级数展开:E(k)≡E(k)+k(VE) REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动 V 问题的提出 晶体中的电子在外加场的作用下，外场可以是电场、磁场、掺入杂质势场等，如何描述电子的运动？ 如果外场与晶体的势场相比弱许多，可以用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础进行讨论。 V 方法一 —— 求解在外加势场时电子的薛定谔方程 2 2 [ ( ) ] 2 V r U E m − ∇ + + ψ = ψ = K V 方法二 —— 在满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子来处理，这样可以很方便地讨论 均匀电磁场中各种电导效应以及一般晶体中输运过程问题。 本节介绍电子在晶体中准经典运动的一些基本概念和规律。 §5.1 准经典运动 1. 波包和电子速度 波包—— 在量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个态的经典描述近似成立，则在 量子力学中这个态就由一个波包代表。 根据量子力学测不准原理，粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。 —— 粒子空间分布在 r0 附近的 K r K ∆ 范围内，动量取值为 0 k K = 附近 k K =∆ 的范围内，构成了粒子的波包。 —— 波包中心 r0 为粒子的中心，中心的动量 K 0 k K = 称为粒子的动量。 V 波包的波函数 晶体中的波包由布洛赫波组成，布洛赫波： ( , ) ( ) ' ) ( ') ( ' ' r t e u r k t E k i k r k K K = K K ⋅ − ψ = —— 为得到以量子态 0 k K 为中心的波包， k k k K K K '= 0 + —— 其中 k K 必须很小 势场周期性函数近似表示为： ( ) ( ) 0 ' u r u r k k K K ≈ 将能量 E(k ') K 按泰勒级数展开： 0 0 ( ') ( ) ( ) E k E k k k ≅ + k ⋅ ∇ E K K K REVISED TIME: 05-4-28 - 1 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 k的取值范围:-k ≤{k E(ko+k) 波包函数:v(F,1)=「k2「dk,「ake y(r, O=u(r)e △/2-△/2 △/2 电子的概率密度分布函数:F=k了a了a了 (VAE)kQ 1 aE U= x W(r,d)=Au O n△a/2sin△v/2} sin Aw/2 1 dE 其中{v=y- M/2△/2△/2 h ak 1 aE ) XCH005001 smn△ sin△/2 △/2~u的曲线如图XC00500所示 △/2 Wave packet 波包的限度: 当==W=0时:(F=G +2丌/△ 波包中心:{y= 九ak A. OVAE)' 1 dE ) 如果将波包看成一个准粒子,则粒子的速度:4=(VB REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 k K 的取值范围： 2 2 x y z k k k ⎧ ⎫ ∆ ∆ ⎪ ⎪ − ≤ ⎨ ⎬ ≤ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 波包函数： 0 0 0 / 2 / 2 / 2 ( ) [( ) ) / 2 / 2 / 2 ( , ) ( ) E k k i k k r t x y z k k ψ r t dk dk dk e u r ∆ ∆ ∆ + + ⋅ − + −∆ −∆ −∆ = ∫ ∫ ∫ K K K K K = K K K K 0 0 0 0 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) [ ] [ / 2 / 2 / 2 ( , ) ( ) E k k k E i k r t ik r t k x y z r t u r e dk dk dk e ] ψ ∆ ∆ ∆ ∇ ⋅ − ⋅ − −∆ −∆ −∆ ≅ ∫ ∫ ∫ K K K K K = = K K K 电子的概率密度分布函数： 0 0 2 / 2 / 2 / 2 ( ) 2 [ ] 2 / 2 / 2 / 2 ( , ) ( ) k k E ik r t k x y z ψ r t u r dk dk dk e ∆ ∆ ∆ ∇ ⋅ − −∆ −∆ −∆ = ∫ ∫ ∫ K K = K K K 0 2 2 2 2 sin 6 /2 sin /2 sin /2 ( , ) ( ) /2 /2 /2 k u v w r t u r u v w ψ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ K K K 2 —— 其中 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) k x k y k z E u x t k E v y t k E w z t k ⎧ ∂ ⎪ = − ∂ ⎪ ⎪⎪ ∂ ⎨ = − ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ = − ⎪ ∂ ⎩ = = = sin / 2 ~ / 2 u u u ∆ ∆ 的曲线如图 XCH005_001 所示 波包的限度： 2 u π = ∆ 当u v = = w = 0时： 0 2 2 6 ( , ) ( ) k ψ r t = ∆ uK r K K 波包中心： 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) k x k y k z E x t k E y t k E z t k ⎧ ∂ ⎪ = ∂ ⎪ ⎪⎪ ∂ ⎨ = ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ = ⎪ ∂ ⎩ = = = ， 0 0 1 ( ) k k r E = ⋅ ∇ K = t 如果将波包看成一个准粒子，则粒子的速度： 0 0 1 ( ) k k k v E K = ∇ K = REVISED TIME: 05-4-28 - 2 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 因为k很小 k 在第一布里渊区( 有:A<< 即一>a,波包远远大于原胞。在这一个限度里才能将电子看作是准经典粒子 d-e 在一维近自由电子近似模型中,在能带底和能带顶 0,电子的速度为零;在能带 2=0处 电子的速度最大,速度和能量的变化结果与自由电子的是不同的。如图XCH005_002所示。 XCH00500201 XCH00500202 Ok(+m/a)(-/a) (+/a) 2.在外力作用下状态的变化和准动量 外场力F对电子作功:dE=F·vdt 电子能量的增量dE=.VAE VE,VE=4,dE=a·h 根据功能原理:F·d=柄,(h-F)v=0,可以证明:d(h)=F dt 将q(hF今<(m)=F比较,M具有动量的性质一-准动量 3.加速度和有效质量 电子状态变化基本公式:d(M) REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 因为 k 很小： 2 2 x y z k k k ⎧ ⎫ ∆ ∆ ⎪ ⎪ − ≤ ⎨ ⎬ ≤ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ，在第一布里渊区( , a a ) π π − 有： 2 a π ∆ << ，即 2 a π >> ∆ ，波包远远大于原胞。在这一个限度里才能将电子看作是准经典粒子。 在一维近自由电子近似模型中，在能带底和能带顶： = 0 dk dE ，电子的速度为零；在能带 0 2 2 = dk d E 处， 电子的速度最大，速度和能量的变化结果与自由电子的是不同的。如图 XCH005_002 所示。 2. 在外力作用下状态的变化和准动量 外场力 F K 对电子作功： dE F v dt k K K = ⋅ 电子能量的增量 dE = dk ⋅∇kE K ， vk = ∇kE = K 1 ， k k E v K ∇ = = ， k dE dk v K = K = ⋅ 根据功能原理： k k F v dt dk v K = K K K ⋅ = ⋅ ，( − F)⋅ vk = 0 dt dk K K K = ，可以证明： F dt d k K K = = ( ) 将 F dt d k K K = = ( ) 与 F dt d mv K K = ( ) 比较， k K = 具有动量的性质 —— 准动量 3. 加速度和有效质量 电子状态变化基本公式： F dt d k K K = = ( ) REVISED TIME: 05-4-28 - 3 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 电子的速度 . VE 电子的速度分量:va I aE(k) 电子的加速度分量:dd,1E(k) dtdt h 将 d(hkB) F代入得到:=n∑F akak OE e aE ak- ak akakak F 1 82E 将加速度分量用矩阵来表示:v, OEF h2 ak ak. ak2 akak aeaE a2 F 与牛顿定律比较:=1F aE a2E 82E akakakakak aE ae a2E 电子的倒有效质量 h- akak akakak aEaeaE akakakak ak E 00 如果将kx,k,k:选在张量主轴方向上,有 0 O-E 00 aE k REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 电子的速度： vk = ∇kE = K 1 电子的速度分量： α α k E k v ∂ ∂ = 1 ( ) K = 电子的加速度分量： ) 1 ( ) ( α α k E k dt d dt dv ∂ ∂ = K = ∑ ∂ ∂ ∂ ∂ = β β α α β ) ( ) ( 1 k E k dt k dk dt dv K = 将 β β F dt d k = (= ) 代入得到： ∑ ∂ ∂ ∂ = β β α β α ( ) 1 2 2 E k k k F dt dv K = 将加速度分量用矩阵来表示： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x z x z y z y x y y z x x y x z z y x F F F k E k k E k k E k k E k E k k E k k E k k E k E v v v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 =    与牛顿定律比较： F dt m dv K K 1 = 电子的倒有效质量： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 z x z y z y x y y z x x y x z k E k k E k k E k k E k E k k E k k E k k E k E = 如果将 kx , k y , kz 选在张量主轴方向上，有 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 z y x k E k E k E = REVISED TIME: 05-4-28 - 4 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 E 此时有效质量张量:0m0 方2/ 00a a2e E a-E E akak ak akak F mv=F O-E CE C-E 此时 h akak. ak 表示为:m=F F OEOEOE my=F ak ak ak ak ak 有效张量是一个张量,m2,m,m一般不相等,因此加速度和外力方向可以不同。 ▲有效质量的特点 在紧束缚近似下,讨论简单立方格子s能带的有效质量 E(k)=E-Jo-2J,(cosk, a+cosk, a+cosk a) 可以验证:k,在张量主轴方向上,副有0E={=0= akak 2=h2 a2E cos a ak 2 2a 有效质量:m=h2/Eh (cos. a 有效是波矢的函数 =h2 a-e h ak 2 (cos_a) 在能带底部:k=(0,0,0),有效质量m=m=m尔 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 此时有效质量张量： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * * * 0 0 / 0 / 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 z y x z y x k E k E k E m m m = = = 此时 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x x y x z x x y y y x y y z z z z x z y z E E E k k k k k v F E E E v F k k k k k v F E E E k k k k k ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠   =  表示为： * * * x x x y y y z z z m v F m v F m v F ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ =    有效张量是一个张量， 一般不相等，因此加速度和外力方向可以不同。 * * * , , mx my mz V 有效质量的特点 在紧束缚近似下，讨论简单立方格子 s 能带的有效质量 ( ) 2 (cos cos cos ) 0 1 E k J J k a k a k a i x y z s = ε − − + + K 可以验证： kx , k y , kz 在张量主轴方向上，即有 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ ≠ = = ∂ ∂ ∂ α β α β α β 0, 0, 2 k k E 有效质量： 1 1 2 2 2 2 * 2 1 1 2 2 2 2 * 2 1 1 2 2 2 2 * 2 (cos ) 2 / (cos ) 2 / (cos ) 2 / − − − = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = k a k a J E m k a k a J E m k a k a J E m z z z y y y x x x = = = = = = —— 有效是波矢的函数 在能带底部： k = (0, 0, 0) K ，有效质量 1 2 2 * * * 2a J mx my mz = = = = REVISED TIME: 05-4-28 - 5 - CREATED BY XCH