∑n=S分∑x=X且∑ 证设Sx=∑n=∑xn+i∑yn=xN+iy 因为∑n=S分lmSx=S,所以 N→>∞ Ax=X且mny=P N 由实数项级数收敛的定义知 ∑xn=X且∑yn=Y 以是过程可逆,定理得证. 例级数∑(+),因其实部为发散的调和级数∑一知原级 n=1 n=1 数发散 例级数∑[(-1)”+i2],因其实部交错级数∑(-1)”与, n=1 虚部P级数∑一立2同时收敛,所以原级数收敛 n=ln 另外,级数∑=n收敛的必要条件为lim n=1 n→)00 定理4.3若级数∑|n收敛,则∑二n必收敛
Sz n ∑ n = ∞ =1 ⇔ Xx n ∑ n = ∞ =1 且 Yy n ∑ n = ∞ =1 . 证 设 NN N n n N n n N n N n i i yxyxzS 1 1 1 ∑∑∑ +=+== = = = , 因为 ∑ ⇔= ∞ = Sz n n 1 N SS ,lim N = ∞→ 所以 xN X N = ∞→ lim 且 yN Y N = ∞→ lim . 由实数项级数收敛的定义知 Xx 且 n ∑ n = ∞ =1 Yy n ∑ n = ∞ =1 . 以是过程可逆，定理得证. 例 级数 ∑ ∞ = + 1 ) 2 i1( n n n ,因其实部为发散的调和级数 ∑ ∞ =1 1 n n 知原级 数发散. 例 级数 ∑ ∞ = +− 1 2 ] 1 i 1 )1[( n n n n ,因其实部交错级数 ∑ ∞ = − 1 1 )1( n n n 与, 虚部 p级数 ∑ ∞ =1 2 1 n n 同时收敛,所以原级数收敛. 另外,级数 ∑ ∞ n=1 n z 收敛的必要条件为 = 0lim ∞→ n n z . 定理 4.3 若级数 ∑ 收敛, 则 ∞ =1 || n n z ∑ ∞ n=1 n z 必收敛
证设En=xn+1yn(n=1,2,…),因为 lEnkvxn+yn I lyn I ∑|zn收敛,所以∑|xn|∑|yn收敛从而∑xn,∑yn绝对收 敛级数∑二n收敛 定义44若级数∑|n|收敛,则称原级数∑二n绝对收敛;非 绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛 例4.2判别下列级数是否绝对收敛,是否收敛 (6+51) coSIn 8″ n=I n 解(a)∵∑ (6+5i) ∑(--) n=08),∴原级数收敛 coSI n (b)∵ n=02n),∴原级数发散 ∑ 0S- 原级数条件收敛 n=1 3函数项级数
证 设 nnn = + i yxz ( n = ,2,1 L),因为 || |,| |,| 22 nnnnn ≥+= yxyxz ∑ ∞ =1 || n n z 收敛,所以 ∑ , ∞ =1 || n n x ∑ ∞ =1 || n n y 收敛.从而 ∑ ∞ n=1 n x , 绝对收 敛,级数 收敛. ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n z 定义 4.4 若级数 ∑ 收敛, 则称原级数 ∞ =1 || n n z ∑ ∞ n=1 n z 绝对收敛;非 绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛. 例 4.2 判别下列级数是否绝对收敛,是否收敛. (a) ∑ ∞ = + 0 8 i)56( n n n ; (b) ∑ ∞ =0 2 cosi n n n ; (c) ∑ ∞ =1 i n n n . 解 (a) Q ,) 8 61 ( 8 i)56( 0 0 n n n n n ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + ∴原级数收敛； (b) Q ), 2 ee( 2 1 2 cosi 0 n nn n on n n + = ∞ − = ∞ = ∑∑ ∴原级数发散； (c) Q , π 2 sin i π 2 cos i 11 1 ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = + nn n n n n n n n ∴原级数条件收敛. 3 函数项级数
设函数n(二)(n=1,2,…)定义在区域D上,称形如 (二)+l2(二)+…un(=) 的表达式为函数项级数,记作∑un(=).称级数的前N项和 Ux()=∑ln(=)=1(=)+2()+…+l(=) 为级数(4.4)的部分和若Vz∈D,级数(4.4)都收敛于函数U/(二),则 称级数(44)在D上收敛于U(二),或者称这级数有和函数U/(二).记作 ∑ln(=)=U(z)
设函数 ( n zu )( n = ,2 ,1 L)定义在区域D上,称形如 21 ++ L n zuzuzu )()()( +L (4.4) 的表达式为函数项级数,记作 ∑ ∞ =1 )( n n zu .称级数的前 N 项和 )()()()()( 21 1 N zuzuzuzuzU N n N ∑ n +++== = L 为级数(4.4)的部分和.若∀z ∈ D,级数(4.4)都收敛于函数U z)( ,则 称级数(4.4)在D上收敛于U z)( ,或者称这级数有和函数U z)( .记作 )()( . 1 zUzu n ∑ n = ∞ =
4.2幂级数 1幂级数的概念 2幂级数的收敛半径 3幂级数和函数的性质
4.2 幂级数 1 幂级数的概念 2 幂级数的收敛半径 3 幂级数和函数的性质
1幂级数的概念 定义4.5形如 C+C1(-20)+c2(-20)2+…+Cn(z-20)+…(4.5) 的级数称为幂级数,记作∑Cn(z-=0)”这里z为二0邻域内的任一点 0Cn(n=0,1,2,……)为复常数 若∑Cn(-20)”在区域D上收敛于函数S(z),则称S(=)为 Cn(x2-20)在D上的和函数,即 (=)=∑cn(=-z0) 常见的幂级数形式还有: ∑Cnz”=Co+c1z+c2 4.6) 定理44若在z=21(21≠0)处幂级数 收敛,那么该级数对任意满足|二1的二都绝对收敛 证由∑Cn收敛,知 lim c=1=0.即彐M>0,使 n=0
1 幂级数的概念 定义 4.5 形如 02010 2 L n zzczzczzcc 0 )()()( n +−++−+−+ L(4.5) 的级数称为幂级数,记作 ∑ .这里 为 ∞ = − 0 0 )( n n n zzc z 0z 邻域内的任一点, 、 ( )为复常数. 0 z n c n = ,2 ,1,0 L 若 ∑ 在区域 ∞ = − 0 0 )( n n n zzc D 上收敛于函数 S z)( ,则称 S z)( 为 ∑ 在 ∞ = − 0 0 )( n n n zzc D上的和函数,即 ∑ ∞ = −= 0 0 )()( n n n zzczS . 常见的幂级数形式还有： ∑ L +++++= L (4.6) ∞ = n n n n n zczczcczc 2 210 0 定理 4.4 若在 (1 = zz z1 ≠ 0)处幂级数 ∑ ∞ n=0 n n zc 收敛,那么该级数对任意满足 |||| 1 < zz 的 z 都绝对收敛. 证 由 ∑ 收敛,知 . 即 ∞ =0 1 n n n zc 1 = 0lim ∞→ n n n zc ∃ M > 0 , 使