许多物理问题的分析结果在数学上都可以归结为下面形式的重要微分方程 pVo)+go=p (5.17) 它在边界r上至少有部分的边界条件是个狄利克利问题,即 (51.8) 而其余的边界则满足纽曼或者混合边界条件,它们可以写为: on +g(s)=b(s) (5.1.9) 对应于上面的微分方程517和边界条件(518,(5.19)的泛函应当是 (o)=(plvof+gg2-2pp)dW+ (2-2bp)ds (5.1.10 其中r()为以r为边界的体积(对三维问题)或面积区域(对二维问题);S为边界上的一部分边 界,在S上势函数满足混合边界条件(51.9)。 在二维情况下,如果p=E,q=a,b=aB,8=0,S为整个r边界的情况下,微分方程(5.1.7)及 边界条件(5.9)可以写为 平面场域为D,L为D的边界,s为边界上的点 (51.11) +a(r,y)o=B(s)
许多物理问题的分析结果在数学上都可以归结为下面形式的重要微分方程 −∇ ∇ + = ( p g ϕ ϕρ ) . (5.1.7) 它在边界 Γ上至少有部分的边界条件是个狄利克利问题，即 ϕ = F s( ) . (5.1.8) 而其余的边界则满足纽曼或者混合边界条件，它们可以写为： sbsq )()( n =+ ∂ ∂ ϕ ϕ r . (5.1.9) 对应于上面的微分方程(5.1.7)和边界条件(5.1.8), (5.1.9)的泛函应当是 ( ) ( ) 2 2 2 () ( 2 ) ( 2 ) V S I ϕ ϕ ϕ ρϕ ϕ p g dV q b dS ϕ . (5.1.10) Γ Γ′ = ∇+ − + − ∫ ∫ 其中 为以 V( ) Γ Γ 为边界的体积（对三维问题）或面积区域（对二维问题）； S′为 Γ 边界上的一部分边 界，在 S′上势函数满足混合边界条件(5.1.9)。 在二维情况下，如果 p = ε ，q = εα , b = εβ , g = 0 , S’为整个 Γ边界的情况下，微分方程（5.1.7）及 边界条件（5.1.9）可以写为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ )(),( 2 2 2 2 yx s n xx L βϕα ϕ ε ρϕϕ r 平面场域为 D，L 为 D 的边界， s 为边界上的点。 (5.1.11)
根据公式(5110),此时的泛函可以取为 1()(2o+g.m(x02 (51.12) 证明:求泛函(51.12)的极值与满足上述边界条件下的微分方程511)的求解是等价的。 做泛函(5)的变分 0(7)+2(-1 (51.13) D(L) 利用格林公式 uV v+ Vv. Vuydxdy=p, uVvnd (n为D区域的边界L上的外法线方向的单位矢量) 公式(5113)变为 8/=-2 evp+pyopdrd+2cnf dg ESpdl-2sh. l sodl (51.15) 由(510)式的泛函取极值的条件和>的任意性就得到了公式(51)中的偏微分方程
根据公式(5.1.10)，此时的泛函可以取为 ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 ϕ dl . (5.1.12) D L S I d ϕ ε ϕ ρϕ ε αϕ β V ′ Γ = ∇− + − ∫ ∫ 证明：求泛函(5.1.12)的极值与满足上述边界条件下的微分方程(5.1.11)的求解是等价的。 做泛函(5.1.12)的变分 { ( ) } ( ) ( ) 2 2 D L L δ I d = ∇ ⋅∇ − + − ε ϕ δϕ ρδϕ ε αϕδϕ βδϕ xdy dl ∫ ∫ { } ( ) 2 2 D L L dxdy dl nϕ ε ϕ δϕ ρδϕ ε δϕ ∂ = ∇ ⋅∇ − − ∂ ∫ ∫ r . (5.1.13) 利用格林公式 { } u v v u dxdy u v ndl D L ∇ +∇ ⋅∇ = ∇ ⋅ ∫ ∫ ∫ 2 $ . (5.1.14) ( 为 D 区域的边界 L 上的外法线方向的单位矢量) n$ 公式(5.1.13)变为 2 ( ) 2{ } 2 2 D L L L I dxdy dl dl n n ϕ ϕ δ ε ϕ ρ δϕ ε δϕ ε δϕ ∂ ∂ =− ∇ + + − ∂ ∫ ∫∫ r ∂r . (5.1.15) 由(5.1.10)式的泛函取极值的条件和δϕ 的任意性就得到了公式(5.1.11)中的偏微分方程
当偏微分方程满足第一类边界条件时,即=0,由于0的任意性,公式(53)中的第二项的 变分为零,所以和第一类边值问题等价的变分泛函为: (5116 对第二类边值问题,即a=0时,等价的泛函为 5.1.17) 特别是当边界为导体面时,由于导体面是等电位的,则在边界上电位为常数g 此时(5117)式可以化为 )J0-c+-9 公式(5118)中的q为导体表面上的电荷量。 由变分原理可以知道对上述平面泊松方程的第一、二、三类边值问题都可以等价地化为求泛函极 值(或称为变分问题)来处理。我们从上面的分析可以看到,对泛函()求极值会自动保证满足边界 条件。同有限差分法中的边界问题比较,特别是节点不在边界上时会带来很大麻烦相比较,这是有限 元素法的最大的优点。若在此基础上再进行离散化,这就导致了有限元素方法。这种离散方法是通过 网格离散化的处理,用构造分片光滑的基函数{来以变分法求得近似解的
当偏微分方程满足第一类边界条件时，即 = 0 ∂ ∂ L n r ϕ ，由于δϕ 的任意性，公式(5.1.13)中的第二项的 变分为零，所以和第一类边值问题等价的变分泛函为： ( ) ( ) 2 ( ) 2 D L I ϕ ε ϕ ρϕ = ∇− ∫ dx dy . (5.1.16) 对第二类边值问题，即 α = 0时，等价的泛函为 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 D L L I d = ∇− − ε ϕ ρϕ ε βϕ x dy dl ϕ ∫ ∫ . (5.1.17) 特别是当边界为导体面时，由于导体面是等电位的，则在边界上电位 ϕ 为常数 ϕ 0 。 此时(5.1.17)式可以化为 ( ) 2 0 ( ) 1 D L 2 I ϕ ε ϕ ρϕ ϕ dxdy q ⎛ ⎞ = ∇− ⎜ ⎟ − . (5.1.18) ⎝ ⎠ ∫ 公式(5.1.18)中的 q 为导体表面上的电荷量。 由变分原理可以知道对上述平面泊松方程的第一、二、三类边值问题都可以等价地化为求泛函极 值（或称为变分问题）来处理。我们从上面的分析可以看到，对泛函 I(ϕ)求极值会自动保证满足边界 条件。同有限差分法中的边界问题比较，特别是节点不在边界上时会带来很大麻烦相比较，这是有限 元素法的最大的优点。若在此基础上再进行离散化，这就导致了有限元素方法。这种离散方法是通过 网格离散化的处理，用构造分片光滑的基函数{ϕ k }来以变分法求得近似解的
5.2二维场的有限元素法 在这节中以满足第一类边界条件的二维平面场泊松方程为例具体地来讨论如何构造有限元素法的 计算格式。 假定该问题的求解场域为D的区域。对该问题的变分法处理可以归结为求解满足边界条件叫=F 的ox,),使得对于任意的,公式516)所示的泛函变分为零。即 (o)=0 在找出与边值问题相对应的泛函及其变分问题以后,就需要对待求解区域进行划分,将其离散为 有限个元素的集合,然后进行分片插值建立计算格式。 1.场域划分的约定 采用有限元素法对平面场域D的分割时,常用的办法是用一些分割直线将D划分为许多三角形单 元(如图521所示) 因为三角形子区间的计算格式最为简单的。采用三角形元素划分场域时,我们允许场域内各三角 形元素的大小及形状可以不一样。三角形元素越小,场域的分割就越细,计算的精度就会越高。因而 在实际应用中是按精度的要求来决定场域内各处三角形元素的大小
5．2 二维场的有限元素法 在这节中以满足第一类边界条件的二维平面场泊松方程为例具体地来讨论如何构造有限元素法的 计算格式。 假定该问题的求解场域为 D 的区域。对该问题的变分法处理可以归结为求解满足边界条件ϕ ( ) L = F s 的ϕ(x y, ) , 使得对于任意的δϕ ，公式(5.1.16)所示的泛函变分为零。即 δI( ) ϕ = 0 . 在找出与边值问题相对应的泛函及其变分问题以后，就需要对待求解区域进行划分，将其离散为 有限个元素的集合，然后进行分片插值建立计算格式。 1． 场域划分的约定 采用有限元素法对平面场域 D 的分割时，常用的办法是用一些分割直线将 D 划分为许多三角形单 元(如图 5.2.1 所示)。 因为三角形子区间的计算格式最为简单的。采用三角形元素划分场域时，我们允许场域内各三角 形元素的大小及形状可以不一样。三角形元素越小，场域的分割就越细，计算的精度就会越高。因而 在实际应用中是按精度的要求来决定场域内各处三角形元素的大小
划分要求: 般规定每个三角形元素的三个边的边长尽量地接近,尽量避免三角形元素具有大的钝 角,一般最长的一条边不得大于最短边的三倍。 (2)在分割场域时要求各三角形元素之间只能以顶点相交,即两相邻的三角形元素有两个公 共的顶点及一条等长的公共边。但是不能把一个三角形的顶点取在另一个三角形的边上。 (3)在边界上,我们可以将三角形元素的两个顶点放在边界曲线上,近似地用这两个顶点间 的三角形边来代替边界上这段曲线。 (4)划分时还应当注意要尽量地使由相邻边界节点之间的线段所近似构成的曲线足够光滑 如果在场域D内有不同的介质,则需要将介质的交面线选为分割线。 按照上述三角形单元分割原则,我们可以看出这样的分割是适应于各种复杂几何形状的场域的。 图521允许的三角形元素的划分 图522不允许的三角形元素的划分
划分要求： （1） 一般规定每个三角形元素的三个边的边长尽量地接近，尽量避免三角形元素具有大的钝 角，一般最长的一条边不得大于最短边的三倍。 （2） 在分割场域时要求各三角形元素之间只能以顶点相交，即两相邻的三角形元素有两个公 共的顶点及一条等长的公共边。但是不能把一个三角形的顶点取在另一个三角形的边上。 （3） 在边界上，我们可以将三角形元素的两个顶点放在边界曲线上，近似地用这两个顶点间 的三角形边来代替边界上这段曲线。 （4） 划分时还应当注意要尽量地使由相邻边界节点之间的线段所近似构成的曲线足够光滑。 如果在场域 D 内有不同的介质，则需要将介质的交面线选为分割线。 按照上述三角形单元分割原则，我们可以看出这样的分割是适应于各种复杂几何形状的场域的。 0 x y m j i 图 5.2.1 允许的三角形元素的划分 图 5.2.2 不允许的三角形元素的划分