D0I:10.13374/i.issnl00113.2007.08.018 第29卷第8期 北京科技大学学报 Vol.29 No.8 2007年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2007 微梁谐振器中的空气阻尼 冯闯2)赵亚溥)刘冬青) 1)中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室，北京1000802)北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要为了研究空气阻尼对谐振器工作性能的影响，基于Euler-Bernoul山i假设，粱弯曲振动理论和气体阻尼理论，建立了考 虑气体阻尼的梁振动方程，结合边界条件对方程进行了求解，得到了两种不同情况下气体阻尼对微梁谐振器的谐振频率和品 质因子的影响·通过两种阻尼对谐振器影响的比较分析，指出在梁形状保持不变（长宽比和高宽比不变）情况下，微梁谐振器 存在一个临界压膜厚度，此临界厚度可为器件的设计提供参考 关键词微谐振粱；空气阻尼：谐振频率；品质因子 分类号TB123;TB71+1 微谐振器因输出信号不易受干扰，测量精度高 如图1所示，梁的长、宽和高分别为l、b和h; 等特点，使其得到了较好的应用和发展[.它的 E为谐振梁弹性模量；do为初始压膜厚度；I为微 基本工作原理是通过改变和检测谐振器的谐振频 梁关于x轴截面惯性矩；P为谐振梁材料密度，对于 率，从而把被测量直接转换为稳定可靠的频率信号， MEMS结构谐振梁一般为硅材料；q(x,t)为单位 因此可以简化处理电路并降低检测难度，从工作原 长度梁所受外荷载；若不考虑激振，q(x,t)为单位 理可以看到，谐振频率的变化对谐振传感器的工作 长度梁受到的空气阻尼力q,它和速度V成正比， 性能有重要影响，对MEMS谐振器，作为表面效应 可表示为： 的空气阻尼会显著影响微谐振器的动态响应特性， 研究空气阻尼对微谐振器的影响，可以为器件的设 qd=-cV=-c1 (2) 计提供参考，提高传感器的工作性能，本文将考虑 式中，c为阻尼系数，把式(2)代入式(1)可得： 在微尺度下，分析了两端固支矩形截面谐振梁在自 由振动过程中空气阻尼对梁振动特性的影响， + w+0 (3) 对两端固支梁有边界条件： 1 振动方程与求解 z(0,)=2(k,t)=0,04-2z=0 d x dx 在微尺度下，两端固支矩形截面谐振梁如图1 所示· (4) 对于振动方程(3)可采用变量分离法来求解，挠度 z(x,t)可表示为时： 谐振 z(x,t)=Z(x)·T(t) (5) 空气压膜 其中Z(x)表示梁振动的曲线形状，T(t)表示位移 幅度随时间变化的规律.将式(5)代入式(3)，并结 图1两端固支微梁示意图 合边界条件可得到方程的解： Fig.I Sketch of the clamped-clamped micro-beam 基于Euler-Bernoulli假设和梁弯曲振动理论， :(,)=Ne. 1 梁振动方程为向： [Asin(N1-号at)十Bcos(N1-t)](6) a,=q(x,) (1) 其中，i为模态阶数，待定常数D、A:和B:由初始 条件确定，X:反映微梁振动的曲线形状，，、：为谐 振梁的固有频率和阻尼比，可分别表示为： 收稿日期：2006-02-20修回日期：2006-06-06 作者简介：冯闯(1981一)，男，硕士研究生：刘冬清(1956一)，女， 压层 (7) 副教授
微梁谐振器中的空气阻尼 冯 闯12） 赵亚溥1） 刘冬青2） 1） 中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室北京100080 2） 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 为了研究空气阻尼对谐振器工作性能的影响基于 Euler－Bernoulli 假设、梁弯曲振动理论和气体阻尼理论建立了考 虑气体阻尼的梁振动方程结合边界条件对方程进行了求解得到了两种不同情况下气体阻尼对微梁谐振器的谐振频率和品 质因子的影响．通过两种阻尼对谐振器影响的比较分析指出在梁形状保持不变（长宽比和高宽比不变）情况下微梁谐振器 存在一个临界压膜厚度此临界厚度可为器件的设计提供参考． 关键词 微谐振梁；空气阻尼；谐振频率；品质因子 分类号 TB123；TB71＋1 收稿日期：2006-02-20 修回日期：2006-06-06 作者简介：冯 闯（1981－）男硕士研究生；刘冬清（1956－）女 副教授 微谐振器因输出信号不易受干扰测量精度高 等特点使其得到了较好的应用和发展［1－4］．它的 基本工作原理是通过改变和检测谐振器的谐振频 率从而把被测量直接转换为稳定可靠的频率信号 因此可以简化处理电路并降低检测难度．从工作原 理可以看到谐振频率的变化对谐振传感器的工作 性能有重要影响．对 MEMS 谐振器作为表面效应 的空气阻尼会显著影响微谐振器的动态响应特性． 研究空气阻尼对微谐振器的影响可以为器件的设 计提供参考提高传感器的工作性能．本文将考虑 在微尺度下分析了两端固支矩形截面谐振梁在自 由振动过程中空气阻尼对梁振动特性的影响． 1 振动方程与求解 在微尺度下两端固支矩形截面谐振梁如图1 所示． 图1 两端固支微梁示意图 Fig．1 Sketch of the clamped-clamped micro-beam 基于 Euler－Bernoulli 假设和梁弯曲振动理论 梁振动方程为［5］： EI ∂4 z ∂x 4＋ρhb ∂2 z ∂t 2＝q（ xt） （1） 如图1所示梁的长、宽和高分别为 l、b 和 h； E 为谐振梁弹性模量；d0 为初始压膜厚度；I 为微 梁关于 x 轴截面惯性矩；ρ为谐振梁材料密度对于 MEMS 结构谐振梁一般为硅材料；q（ xt）为单位 长度梁所受外荷载；若不考虑激振q（ xt）为单位 长度梁受到的空气阻尼力 qd它和速度 V 成正比 可表示为： qd＝－cV ＝－c ∂z ∂t （2） 式中c 为阻尼系数．把式（2）代入式（1）可得： EI ∂4 z ∂x 4＋ρhb ∂2 z ∂t 2＋c ∂z ∂t ＝0 （3） 对两端固支梁有边界条件： z （0t）＝z （ lt）＝0 ∂z （0t） ∂x ＝ ∂z （ lt） ∂x ＝0 （4） 对于振动方程（3）可采用变量分离法来求解挠度 z （ xt）可表示为［5］： z （ xt）＝Z（ x）·T（ t） （5） 其中 Z（ x）表示梁振动的曲线形状T （ t）表示位移 幅度随时间变化的规律．将式（5）代入式（3）并结 合边界条件可得到方程的解： z （ xt）＝ ∑ ∞ i＝1 DXie －ξiωi t· ［ Aisin（ 1－ξ2 iωit）＋Bicos（ 1－ξ2 iωit）］ （6） 其中i 为模态阶数待定常数 D、A i 和 Bi 由初始 条件确定Xi 反映微梁振动的曲线形状ωi、ξi 为谐 振梁的固有频率和阻尼比可分别表示为： ωi＝ λ2 ih l 2 E 12ρ ξi＝ cl 2 bh 2λ2 i 3 Eρ （7） 第29卷 第8期 2007年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．8 Aug．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．08．018
.842 北京科技大学学报 第29卷 其中，=4.73，入=(i十0.5)元，(i=2,3,…)考 6pg=3 +2 12μax2 tai do (13) 虑空气阻尼时，谐振梁的谐振频率，：为： w:=N1-2号w (8) 其中，Pa为环境压强；p=p一Pa为空气压膜压强和 谐振频率相对偏移ε为： 环境的压强差；δ为运动极板位移，可表示为6= do·u(t),其中8o为振幅；u(t)为振幅变化函数 e=△aw/aw=(4-u:)/y=1-1-2号(9) 此时对方程(13)进行求解可有山： 对于振动系统，一般更为关心一阶模态对系统 的影响，在小阻尼比和考虑一阶模态时，谐振梁的 p=-4(-1- d台(2m-1)元os(2n-1)r。月： 品质因子可表示为： (14) Q=1/251 (10 式中，月n= 6p(2m-1)2x2 12%2 因此作用在单位长度 2 空气阻尼 极板上的压膜力Fa为： 在考虑空气阻尼系数c时，当梁与基底之间的 b/2 Fa(t)= 间隙较大时，可以把梁作为孤立物体考虑空气阻尼； Jo2p(t.y)dy (15) 而当梁与基底之间的间隙较小时，此时则应该用压 将式(14)代入式(15)并作拉氏变换，注意到变换后 膜效应来考虑空气阻尼，以下将分别对上述两种情 的级数收敛很快，因此可取第一项来近似： 况分别进行讨论 Fa(s) z(s)1+s/w. (16) 2.1孤立情况 梁在振动过程中，若不考虑基底对空气阻尼的 式中，9为拉氏变化入的新变量：，=为截 影响，可以把梁作为一个孤立物体来研究它在粘性 至频率，当振动频率为，。时，压膜阻尼力达到最大， 空气中振动受到的阻尼力，对于长宽比较大的梁， 在小雷诺数和等温条件下，梁振动时单位长度受到 c=为空气压膜效应产生的阻尼系数. 的阻尼力可近似表示为]： 3 谐振分析 qd=-aty=-att (11) 下面将考虑在一阶模态和保持梁形状不变情况 4π 式中，a=o.5-r-in(8/e)其中T为欧拉常数： 下，研究空气阻尼对谐振梁振动特性的影响，根据 R为流动雷诺数；μ为空气粘性系数，因此当把微 有关文献121]，在这里选取1/b=b/h=10:d0分 谐振梁作为孤立物体考虑空气阻尼时，阻尼系数 别为1,2,3,4和5m,其他常数取E=1.658× c=4,由于a是Re的函数，当把式(I1)带入方程 101Nm-2,p=2330kgm-3,μ=1.81×10-5 (3)后，振动方程是一个非线性方程，此时求解比较 Pas,p,=1.013×105Nm-2.根据所涉及到的振 困难，为了线性化振动方程并保持其有效性，根据 动频率，在这里α将分别取2,4,6,8和10. 涉及到的振动频率，α可分别取连续间隔的常数来 图2为不考虑空气阻尼时，谐振梁固有频率和 代替α的表达式 梁宽的关系，从图中可以看到，固有频率随着梁宽 2.2压膜阻尼 的增大而减小，这就意味着小尺度对应着高频率， 在微纳米尺度，当具有小间距的两极板做垂直 40 板面的相对运动时，微间隙气体在受到挤压后会产 生压膜效应，从而会给系统增加额外的阻尼和刚度， 30 对于等温过程，极板间空气压膜效应可用雷诺方程 20 来表征[910] {器+别- a a p =120(d (12) 10 其中，p为气体压膜压强，d为两极板间距，对于长 10152025 30 聚宽，b/μm 宽比较大和振幅较小的微谐振梁，在忽略两端夹持 和不均匀运动位移的情况下，其间隙气体的运动位 图2梁宽和固有频率的关系 移可用一维线性化雷诺方程来表示： Fig.2 Variation of the eigenfrequency with beam width
其中λ1＝4∙73λi＝（ i＋0∙5）π（ i＝23…）．考 虑空气阻尼时谐振梁的谐振频率 ωr i为： ωr i＝ 1－2ξ2 iωi （8） 谐振频率相对偏移ε为： ε＝Δω／ω＝（ωi－ωr i）／ωi＝1－ 1－2ξ2 i （9） 对于振动系统一般更为关心一阶模态对系统 的影响．在小阻尼比和考虑一阶模态时谐振梁的 品质因子可表示为： Q＝1／2ξ1 （10） 2 空气阻尼 在考虑空气阻尼系数 c 时当梁与基底之间的 间隙较大时可以把梁作为孤立物体考虑空气阻尼； 而当梁与基底之间的间隙较小时此时则应该用压 膜效应来考虑空气阻尼．以下将分别对上述两种情 况分别进行讨论． 2∙1 孤立情况 梁在振动过程中若不考虑基底对空气阻尼的 影响可以把梁作为一个孤立物体来研究它在粘性 空气中振动受到的阻尼力．对于长宽比较大的梁 在小雷诺数和等温条件下梁振动时单位长度受到 的阻尼力可近似表示为［6－8］： qd＝－αμV ＝－αμ ∂z ∂t （11） 式中α＝ 4π 0∙5－Γ＋ln（8／Re） 其中 Γ为欧拉常数； Re 为流动雷诺数；μ为空气粘性系数．因此当把微 谐振梁作为孤立物体考虑空气阻尼时阻尼系数 c＝αμ．由于 α是 Re 的函数当把式（11）带入方程 （3）后振动方程是一个非线性方程此时求解比较 困难．为了线性化振动方程并保持其有效性根据 涉及到的振动频率α可分别取连续间隔的常数来 代替α的表达式． 2∙2 压膜阻尼 在微纳米尺度当具有小间距的两极板做垂直 板面的相对运动时微间隙气体在受到挤压后会产 生压膜效应从而会给系统增加额外的阻尼和刚度． 对于等温过程极板间空气压膜效应可用雷诺方程 来表征［9－10］： ∂ ∂x p ∂p ∂x ＋ ∂ ∂y 2 p ∂p ∂y ＝ 12μ d 3 ∂（ pd） ∂t （12） 其中p 为气体压膜压强d 为两极板间距．对于长 宽比较大和振幅较小的微谐振梁在忽略两端夹持 和不均匀运动位移的情况下其间隙气体的运动位 移可用一维线性化雷诺方程来表示： d 2 0pa 12μ ∂2 p ∂x 2＝ ∂p ∂t ＋ ∂ ∂t δ d0 （13） 其中pa 为环境压强；p＝ p－ pa 为空气压膜压强和 环境的压强差；δ为运动极板位移可表示为 δ＝ δ0·u（ t）其中 δ0 为振幅；u（ t）为振幅变化函数． 此时对方程（13）进行求解可有［11］： p＝－ δ d0 ∑ ∞ m＝1 4（－1） m－1 （2m－1）π cos（2m－1）π y b e －βm t （14） 式中βm＝ d 2 0pa（2m－1） 2π2 12μb 2 ．因此作用在单位长度 极板上的压膜力 Fd 为： Fd（ t）＝∫ b／2 －b／2 p（ ty）d y （15） 将式（14）代入式（15）并作拉氏变换注意到变换后 的级数收敛很快因此可取第一项来近似： Fd（ s） z （ s） ＝ cs 1＋s／ωc （16） 式中s 为拉氏变化引入的新变量；ωc＝ π2d 2 0pa 12μb 2 为截 至频率当振动频率为 ωc 时压膜阻尼力达到最大 c＝ 96μb 3 π4d 3 0 为空气压膜效应产生的阻尼系数． 图2 梁宽和固有频率的关系 Fig．2 Variation of the eigenfrequency with beam width 3 谐振分析 下面将考虑在一阶模态和保持梁形状不变情况 下研究空气阻尼对谐振梁振动特性的影响．根据 有关文献［12－13］在这里选取 l／b＝ b／h＝10；d0 分 别为1234和5μm．其他常数取 E＝1∙658× 1011N·m －2ρ＝2330kg·m －3μ＝1∙81×10－5 Pa·spa＝1∙013×105 N·m －2．根据所涉及到的振 动频率在这里 α将分别取2468和10． 图2为不考虑空气阻尼时谐振梁固有频率和 梁宽的关系．从图中可以看到固有频率随着梁宽 的增大而减小．这就意味着小尺度对应着高频率 ·842· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第8期 冯闯等：微梁谐振器中的空气阻尼 ,843 这也是在微尺度下，器件的固有频率可以达到M出 频率和压膜厚度do有关，另外根据前面的分析可 甚至Gk的原因. 知对于尺寸固定的微谐振梁，临界压膜厚度d。有如 图3为考虑空气阻尼，不同阻尼情况下谐振频 下表达式： 率和频率相对偏移的关系，从图中可以看到，把梁 396 d。=ba (17) 作为孤立物体考虑时，频率相对偏移随着谐振频率 的增大而增大，这是因为频率和阻尼都与器件的特 当压膜厚度do>d。时，需要把微梁作为孤立 征尺度（梁宽）的L一成标度关系，所以高频率意味 物体来研究空气阻尼：当压膜厚度do<d。时需要 着小尺度，而小尺度意味着大阻尼，当考虑空气压 把考虑压膜压膜效应来研究空气阻尼， 膜效应时，频率和特征尺度的L成标度关系，压 膜阻尼和特征尺度的L2成标度关系，因此器件尺 4结论 度减小时，阻尼减小的速度要比频率增加的速度快， 微梁作为谐振器在机械谐振式MEMS传感器 故频率相对偏移随着谐振频率的增大而减小，同时 中得到广泛的应用，在微尺度下，空气阻尼会显著 压膜阻尼还和间隙的L3成标度关系，所以随着间 影响器件的动态响应特性，在求解振动方程的基础 隙的减小，频率相对偏移迅速增大， 上，本文分别把梁作为孤立物体和考虑压膜效应两 15.0 种情况，研究了空气阻尼对谐振器的影响，指出了 a=10 do=1 um 12.5 微梁谐振器临界间隙厚度de,当压膜厚度大于d。 时，需要把梁作为孤立物体来考虑空气阻尼；当间隙 10.0 2 厚度小于d。时，需要考虑空气压膜效应来计算空气 7.5 3 阻尼，这可以为器件设计提供依据和参考 5.0 参考文献 2.5 [1】贾玉斌，郝一龙，钟莹，等.基于谐振原理的硅微机械加速度 计.微纳电子技术，2003(7)：271 10 20 30 40 [2]李普，方玉明.电讯系统中硅微机械谐振器/滤波器通带灵敏 谐振频率MHz 度分析.振动工程学报，2004,17(3)：359 图3谐振频率和频率相对偏移的关系 [3]李应良，潘武，射频系统中MEMS谐振器和滤波器.光学精密 Fig.3 Variation of the resonant frequency shift ratio with reso- 工程，2004,12(1)：47 nant frequency [4]钟莹，张国雄，李醒飞·新型谐振式硅微机械加速度计.纳米 技术与精密工程，2003,1(1)：34 从图4可以看到对不同压膜厚度微谐振梁存在 [5]龙驭球，包世华.结构力学.2版。北京：高等教育出版社， 临界谐振频率（如a=2时，A',B',C',D'和E'对应 2002,186 的谐振频率)，当谐振频率大于或者小于临界频率 [6]Fox R W,White F M.Introduction to Fluid Mechanics.5th ed. New York:John Wiley and Sons,1992:236 时，品质因子都减小；当谐振频率等于临界频率时品 [7]White F M.Viscous Fluid Flow.2nd ed.New York:MeGraw 质达到最大，对于考虑压膜阻尼的微谐振梁，谐振 Hl,1974:357 [8]Tomotika S,Aoi T.An expansion formula for the drag on a cir d-5 um cular cylinder moving through a viscous fluid at small Reynolds r-2 number.J Mech Appl Math.1951,4:401 [9]Starr J B.Squceze film damping in solid state accelerometers// Proc IEEE Solid State Sensors Workshop.Hilton Head Island. 1996,44 2 B [10]Bao M H.Micro-Mechanical transducers-Pressure Sensors,Ac- celerometers,and Gyroscopes.Amsterdam:Elsevier,2000 D' 589 [11]Burgdorfer A.The influence of the molecular mean free path on 10 20 30 40 the performance of hydrodynamic gas lubricated bearings.J Ba- 谐振频率MHz sic Eng Trans.1959.3(81):94 [12]Mohite S S,Kesari H.Sonti V R.et al.Analytical solutions for 图4谐振频率和品质因子的关系 the stiffness and damping coefficients of squeeze films in MEMS Fig.4 Variation of the factor with resonant frequency devices with perforated back plates.J Micromech Microeng
这也是在微尺度下器件的固有频率可以达到 MHz 甚至 GHz 的原因． 图3为考虑空气阻尼不同阻尼情况下谐振频 率和频率相对偏移的关系．从图中可以看到把梁 作为孤立物体考虑时频率相对偏移随着谐振频率 的增大而增大．这是因为频率和阻尼都与器件的特 征尺度（梁宽）的 L －1成标度关系所以高频率意味 着小尺度而小尺度意味着大阻尼．当考虑空气压 膜效应时频率和特征尺度的 L －1成标度关系压 膜阻尼和特征尺度的 L 2 成标度关系．因此器件尺 度减小时阻尼减小的速度要比频率增加的速度快 故频率相对偏移随着谐振频率的增大而减小．同时 压膜阻尼还和间隙的 L －3成标度关系所以随着间 隙的减小频率相对偏移迅速增大． 图3 谐振频率和频率相对偏移的关系 Fig．3 Variation of the resonant frequency shift ratio with resonant frequency 图4 谐振频率和品质因子的关系 Fig．4 Variation of the Q－factor with resonant frequency 从图4可以看到对不同压膜厚度微谐振梁存在 临界谐振频率（如 α＝2时A′B′C′D′和 E′对应 的谐振频率）．当谐振频率大于或者小于临界频率 时品质因子都减小；当谐振频率等于临界频率时品 质达到最大．对于考虑压膜阻尼的微谐振梁谐振 频率和压膜厚度 d0 有关．另外根据前面的分析可 知对于尺寸固定的微谐振梁临界压膜厚度 dc 有如 下表达式： dc＝b 3 96 π4α （17） 当压膜厚度 d0＞ dc 时需要把微梁作为孤立 物体来研究空气阻尼；当压膜厚度 d0＜ dc 时需要 把考虑压膜压膜效应来研究空气阻尼． 4 结论 微梁作为谐振器在机械谐振式 MEMS 传感器 中得到广泛的应用．在微尺度下空气阻尼会显著 影响器件的动态响应特性．在求解振动方程的基础 上本文分别把梁作为孤立物体和考虑压膜效应两 种情况研究了空气阻尼对谐振器的影响．指出了 微梁谐振器临界间隙厚度 dc当压膜厚度大于 dc 时需要把梁作为孤立物体来考虑空气阻尼；当间隙 厚度小于 dc 时需要考虑空气压膜效应来计算空气 阻尼这可以为器件设计提供依据和参考． 参 考 文 献 ［1］ 贾玉斌郝一龙钟莹等．基于谐振原理的硅微机械加速度 计．微纳电子技术2003（7）：271 ［2］ 李普方玉明．电讯系统中硅微机械谐振器／滤波器通带灵敏 度分析．振动工程学报200417（3）：359 ［3］ 李应良潘武．射频系统中 MEMS 谐振器和滤波器．光学精密 工程200412（1）：47 ［4］ 钟莹张国雄李醒飞．新型谐振式硅微机械加速度计．纳米 技术与精密工程20031（1）：34 ［5］ 龙驭球包世华．结构力学．2版．北京：高等教育出版社 2002：186 ［6］ Fox R WWhite F M．Introduction to Fluid Mechanics．5th ed． New York：John Wiley and Sons1992：236 ［7］ White F M．Viscous Fluid Flow．2nd ed．New York：McGrawHill1974：357 ［8］ Tomotika SAoi T．An expansion formula for the drag on a circular cylinder moving through a viscous fluid at small Reynolds number．J Mech Appl Math19514：401 ［9］ Starr J B．Squeeze-film damping in solid state accelerometers∥ Proc IEEE Solid State Sensors Workshop．Hilton Head Island 1996：44 ［10］ Bao M H．Micro-Mechanical transducers-Pressure SensorsAccelerometersand Gyroscopes．Amsterdam：Elsevier2000： 589 ［11］ Burgdorfer A．The influence of the molecular mean free path on the performance of hydrodynamic gas lubricated bearings．J Basic Eng Trans19593（81）：94 ［12］ Mohite S SKesari HSonti V Ret al．Analytical solutions for the stiffness and damping coefficients of squeeze-films in MEMS devices with perforated back plates．J Micromech Microeng 第8期 冯 闯等： 微梁谐振器中的空气阻尼 ·843·
.844 北京科技大学学报 第29卷 2005,15:2083 with self-test.Sens Actuators A.2001.92:161 [13]Aikele M.Bauer K.Ficker W.et al.Resonant accelerometer Air damping in micro beam resonators FENG Chuang2,ZHAO Yapu,LIU Dongqing2) 1)State Key Laboratory of Nonlinear Mechanics (LNM).Institute of Mechanics.Chinese Academy of Sciences,Beijing 100080.China 2)Applied Science School.University of Science and Technology Beijing Beijing 100083.China ABSTRACI To research the effect of air damping on resonators,based on the Euler Bernoulli assumption, beam vibration mechanism and air damping theory,a vibration equation was established and its solution was ob- tained according to corresponding boundary conditions.The air damping influences on the resonant frequency and quality factor of a micro-beam resonator were obtained under two different conditions.By analyzing air damping in two different ways,it is found that a critical squeeze film thickness exists under the condition that the aspect ratio of the beam is constant,and the obtained expression of critical thickness can give some sugges- tions to devices designing. KEY WORDS micro-beam resonator;air damping:resonant frequency quality factor (上接第821页) Effect of nozzle outlet angle on the fluid flow and level fluctuation in a bloom casting mould WANG Weiwei),ZHANG Jiaquan,CHEN Suqiong?,DONG Jinming2) 1)Metallurgical and Ecological Engineering School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Jianlong Iron and Steel Holding Company.Beijing 100070.China ABSTRACI Based on the coupled model of turbulence and multiphase fluid flow,the flow behavior with free surface fluctuation in a bloom casting mould was numerically simulated.The influence of nozzle outlet angle on the fluid flow and free surface oscillation in the mould was analyzed.The results show that when the dow nw ard nozzle outlet angle increase by 5,the impinging spots descend by 13mm and 10mm at the wide faces and nar- row faces respectively.At a given submergence depth of 100 mm,outlet angle show limited influence on the fluctuation within 3mm.The fluid close to mould wall is more active than that close to nozzle.The nozzle outlet angle of 20is recommended to use. KEY WORDS mould;bloom;fluid flow free surface fluctuation
200515：2083 ［13］ Aikele MBauer KFicker Wet al．Resonant accelerometer with self-test．Sens Actuators A200192：161 Air damping in micro-beam resonators FENG Chuang 12）ZHAO Y apu 1）LIU Dongqing 2） 1） State Key Laboratory of Nonlinear Mechanics （LNM）Institute of MechanicsChinese Academy of SciencesBeijing100080China 2） Applied Science SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT To research the effect of air damping on resonatorsbased on the Euler－Bernoulli assumption beam vibration mechanism and air damping theorya vibration equation was established and its solution was obtained according to corresponding boundary conditions．The air damping influences on the resonant frequency and quality factor of a micro-beam resonator were obtained under two different conditions．By analyzing air damping in two different waysit is found that a critical squeeze-film thickness exists under the condition that the aspect ratio of the beam is constantand the obtained expression of critical thickness can give some suggestions to devices designing． KEY WORDS micro-beam resonator；air damping；resonant frequency；quality factor （上接第821页） Effect of nozzle outlet angle on the fluid flow and level fluctuation in a bloom casting mould WA NG Weiwei 12）ZHA NG Jiaquan 1）CHEN Suqiong 2）DONG Jinming 2） 1） Metallurgical and Ecological Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） Jianlong Iron and Steel Holding CompanyBeijing100070China ABSTRACT Based on the coupled model of turbulence and multiphase fluid flowthe flow behavior with free surface fluctuation in a bloom casting mould was numerically simulated．The influence of nozzle outlet angle on the fluid flow and free surface oscillation in the mould was analyzed．The results show that when the downward nozzle outlet angle increase by5°the impinging spots descend by13mm and10mm at the wide faces and narrow faces respectively．At a given submergence depth of 100mmoutlet angle show limited influence on the fluctuation within3mm．The fluid close to mould wall is more active than that close to nozzle．The nozzle outlet angle of 20°is recommended to use． KEY WORDS mould；bloom；fluid flow；free surface fluctuation ·844· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷