用L[a,b]表示区间[a,b]上所有平方可积函数的空间,其中用 <f,8>=f/(x)g(x)d 定义内积,它成为一个内积空间.如果{n}是一个完备的规范正交函数系,则对任何 f(x)∈L[a,b],有 f(x)-2cnon(x),c,=<f,o,> 且有 =∫1(x)d=∑c 这就是无穷维的勾股定理,即无穷维向量∫(x)长度的平方等于分量平方和.这时级数 cn(x)在Lab范数下收敛到函数f(x).有几个概念目前还没讲清楚:何谓完备的 规范正交函数系;何谓L[ab范数收敛:还有L[a,b]在 Riemann积分意义也不完备,其 完备化需要 Lebesgue积分概念,这些学完实变函数论和泛函分析课程后可以解决.不过这 个观点对理解 Fourier级数还是非常有用的 §8.2 Fourier级数的例子 上节定义指出只要/(x)是27周期(广义)绝对可积的函数∫。(x)<+,就 有 Fourier级数展开式 f(x)-a0+2(an cosnx+b, sin nx) 现在我们计算一些例子 例1:在区间[-丌,]内展开函数 f(x)=e"(a≠0常数) sha丌 a兀 e cos ndx= I acos nx+nsin nx 147
147 用 [ , ] 2 L a b 表示区间[a, b]上所有平方可积函数的空间, 其中用 ò < >= b a f , g f (x)g(x)dx 定义内积, 它成为一个内积空间. 如果 {jn }是一个完备的规范正交函数系, 则对任何 ( ) [ , ] 2 f x Î L a b , 有 å =< > +¥ = n n n n n f (x) ~ c j (x), c f ,j 0 , 且有 ò å +¥ = = = 0 2 2 2 ( ) n n b a f f x dx c . 这就是无穷维的勾股定理, 即无穷维向量 f (x) 长度的平方等于分量平方和. 这时级数 å +¥ =0 ( ) n cnjn x 在 [ , ] 2 L a b 范数下收敛到函数 f (x) . 有几个概念目前还没讲清楚：何谓完备的 规范正交函数系；何谓 [ , ] 2 L a b 范数收敛；还有 [ , ] 2 L a b 在 Riemann 积分意义也不完备, 其 完备化需要 Lebesgue 积分概念, 这些学完实变函数论和泛函分析课程后可以解决. 不过这 个观点对理解 Fourier 级数还是非常有用的. §8.2 Fourier级数的例子 上节定义指出只要 f (x) 是2p 周期（广义）绝对可积的函数, ò < +¥ 2p 0 f (x) dx , 就 有 Fourier 级数展开式 å +¥ = + + 1 0 ( ) ~ ( cos sin ) n f x a an nx bn nx . 现在我们计算一些例子. 例 1：在区间[-p ,p ]内展开函数 f (x) = e (a ¹ 0常数) ax . 解： p p p p p p p p a a a e e a e dx a a ax sh 2 1 0 = - = = - ò - , p p p p p p p p a a n a e a n a nx n nx a e nxdx n ax ax n sh 1 cos sin ( 1) 2 cos 1 2 2 2 2 + - = + - + = = ò -
l asin nx -ncos nx 21 e" sin nxdx T 丌a-+n e"ashat 7124 2d-1 -laosmx-nsin 例2:在区间[0,2x)内展开函数 解:an= 2r丌-x dx TxX--x 0 2 20 lr2x丌-x sin nx pT 1r2 - cos ndx=x(丌-x) sin nxdx=0 02n丌 1r2x丌-x coS nx 2 bn sin nxd T -x cos ndx n n 以下是一些常用2丌周期函数的 Fourier级数展开式: (3)f(x)= 1,0≤x<丌 n(2k+1)x 2k+1 (4)∫(x)如图 8 f(x)+-2lsin x-o2sin 3x+= sin 5x- (5)f(x)如图: f(x)-5+- cos x+acos 3x+=cos 5x+ (6)f(x)=|snx,x∈D.2) f(x)~ COS 2x cos 4x- 丌(21.3 cos 6x
148 p p p p p p p p a a n n e a n a nx n nx b e nxdx n ax ax n sh 1 sin cos ( 1) 2 sin 1 2 2 1 2 2 + - = + - - = = - ò - , [ ] þ ý ü î í ì - + - \ +å +¥ =1 2 2 cos sin ( 1) 2 1 sh 2 ~ n n ax a nx n nx a a n e ap p . 例 2：在区间[0,2p ) 内展开函数 2 ( ) x f x - = p . 解： 0 0 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0 0 ÷ = ø ö ç è æ = - - = ò p p p p p p dx x x x a , sin 0 2 1 0 sin 2 ( ) 2 1 cos 2 1 2 0 2 0 = - - = - = ò ò p p p p p p p p nxdx n n nx nxdx x x an , n nxdx n n nx nxdx x x bn 1 cos 2 1 0 cos 2 ( ) 2 1 sin 2 1 2 0 2 0 = - - - = - = ò ò p p p p p p p p , å +¥ = - \ 1 sin ~ 2 n n p x nx . 以下是一些常用2p 周期函数的 Fourier 级数展开式： （3） î í ì - £ < £ < = 1, 2 . 1, 0 , ( ) p p p x x f x å +¥ = + + 1 2 1 sin( 2 1) ( ) ~ k k k x f x . (4) f (x) 如图： ÷ ø ö ç è æ f x x - x + sin 5x -L 5 1 sin 3 3 1 sin 8 ( ) ~ 2 2 2 p . （5） f (x) 如图： ÷ ø ö ç è æ f x + x + x + cos5x +L 5 1 cos3 3 1 cos 4 2 1 ( ) ~ 2 2 2 p . （6） f (x) = sin x , x Î[0,2p ). ÷ ø ö ç è æ - × - × - × f x - x x cos6x L 5 7 1 cos 4 3 5 1 cos2 1 3 1 2 4 1 ( ) ~ p
(7)f(x)=x,x∈[0,2r) cOS nx f(x)~ sIn nx n (8)∫(x)= 1,0≤x<丌 f(x) 由奇偶函数的性质可得它们的 Fourier系数有如下特点: 1°若周期2x可积函数f(x)是奇函数,则 r U f(r)cosnxdx=0, n=0.1,2, 即f(x)-∑ b sin nx,奇函数 Fourier级数只含正弦项 2°若周期2丌可积函数f(x)是偶函数,则 f(x)sin ndx=0, n=1, 2, 3, 即∫(x)~ao+∑ a cos nx,偶函数 Fourier级数只含余弦项(包括常数项) 例子2,3,4,8为奇函数,其 Fourier级数只含正弦项;例子5,6为偶函数,其 Fourier级数只 含余弦项 用 Mathematica软件可以直观地看出 Fourier级数部分和收敛的性质.如 Plot[Sin(x]+1/3 Sin[3x],ix,Pi, Pi) Plot[Sin(x]+1/3 Sin[3x+1/5 Sin[5x],ix, -Pi, Pi] Plot[sinx+1/3 Sin [3x+1/5 Sin 5x]+1/7 Sin[7x],ix, -Pi, Pi; §8.3 Fourier级数的收敛性 3.1 Fourier级数的部分和 设∫(x)在[一丌,丌]上绝对可积,那么它有 Fourier级数 ∫(x)~当, +∑(a4 cos kx+ bk sin kx) 为了考察 Fourier级数的收敛性,我们先考察它的部分和 149
149 （7） ( ) , [0,2 ) 2 f x = x x Î p . å å +¥ = +¥ = + - 1 1 2 2 sin 4 cos 4 3 4 ( ) ~ n n n nx n nx f x p p . （8） î í ì £ < - - £ < = 1, 0 . 1, 0, ( ) p p x x f x ÷ ø ö ç è æ + + +L 5 sin 5 3 sin 3 sin 4 ( ) ~ x x f x x p . 由奇偶函数的性质可得它们的 Fourier 系数有如下特点： 1º若周期2p 可积函数 f (x) 是奇函数, 则 ( ) cos 0, 0,1,2,L 1 = = = ò - a f x nxdx n n p p p . 即 å +¥ =1 ( ) ~ sin n f x bn nx , 奇函数 Fourier 级数只含正弦项. 2º若周期2p 可积函数 f (x) 是偶函数, 则 ( )sin 0, 1,2,3,L 1 = = = ò - b f x nxdx n n p p p . 即 å +¥ = + 1 ( ) ~ 0 cos n f x a an nx , 偶函数 Fourier 级数只含余弦项（包括常数项）. 例子 2, 3, 4, 8为奇函数, 其 Fourier 级数只含正弦项；例子 5, 6 为偶函数, 其 Fourier 级数只 含余弦项. 用 Mathematica 软件可以直观地看出 Fourier 级数部分和收敛的性质. 如 Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x], {x,-Pi,Pi}] Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x]+1/5 Sin[5x], {x,-Pi,Pi}] Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x]+1/5 Sin[5x]+1/7 Sin[7x], {x,-Pi,Pi}] … §8.3 Fourier级数的收敛性 3.1 Fourier 级数的部分和 设 f (x) 在[-p ,p ]上绝对可积, 那么它有 Fourier 级数 å +¥ = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ k ak kx bk kx a f x . 为了考察 Fourier 级数的收敛性, 我们先考察它的部分和
S,(,x)=6+>(ak cos kx+b sin kx) f(u)du+>-[ f(u(cos kuo f()+∑cosk(u-x) 利用公式 kt 2 我们记 2 它被称为 Dirichlet核,则 f(uD (x-u)du Dirichlet核Dn(t)有如下性质 (1)Dn()dt=1 (2)Dn(1)是偶函数, (3)Dn(1)是27周期函数 利用这三条性质我们可以改写部分和公式 S,(, x)= f(u)D,(x-u)du f(x+uD,(u)du ∫f(x+n)D,()h+」(x+D.ahn ∫。Ur(x+)+f(x-lp,() 3.2 引理 引理( Riemann- Lebesgue)如果函数g()在[a,b上绝对可积,则
150 cos ( ) . 2 1 ( ) 1 ( )(cos cos sin sin ) 1 ( ) 2 1 ( cos sin ) 2 ( , ) 1 1 1 0 f u k u x du f u du f u ku kx ku kx du a kx b kx a S f x n k n k n k n k k ú û ù ê ë é = + - = + + = + + ò å ò å ò å = - = - - = p p p p p p p p p 利用公式 2 2sin 2 1 sin cos 2 1 1 t n t kt n k ÷ ø ö ç è æ + +å = = , 我们记 2 2 sin 2 1 sin ( ) t n t D t n ÷ ø ö ç è æ + = , 它被称为 Dirichlet 核, 则 S f x f u D x u du n n ( , ) = ( ) ( - ) ò - p p . Dirichlet 核 D (t) n 有如下性质： （1） ( ) = 1 ò - p p D t dt n , （2） D (t) n 是偶函数, （3） D (t) n 是2p 周期函数. 利用这三条性质我们可以改写部分和公式 [ ( ) ( )] ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 f x t f x t D t dt f x u D u du f x u D u du f x u D u du S f x f u D x u du n n n n n n ò ò ò ò ò = + + - = + + + = + = - - - - p p p p p p p 3.2 Riemann-Lebesgue 引理 引理（Riemann-Lebesgue） 如果函数 g (t) 在[a, b]上绝对可积, 则