二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理这里，(y)=f(a,y)dac.令Tall→0,只要Tull<就有tA-E≤p(ni)Ayi≤A+e.j=1由此可知p（y）在[c，d]可积，并有s(u)dy = / ( [" f(r, y)da) dy = A =f(r, y)dady这就证明了1°同理可证明2°上述结果告诉我们，只要满足定理中的条件，二维区间上函数的二重积分，就化为两个一元函数的定积分（先对一个变量作一元函数的积分，在对另一个变量作一元函数的积分）这种积分过程被称为累次积分，当累次积分可交换时，选先对谁积分，完全根据积分的方便而定返回全屏关闭退出6/29
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ùp, ϕ(y) = R b a f(x, y)dx. - kTxk → 0, kTyk < δ Òk A − ε 6 X m j=1 ϕ(ηj)∆yj 6 A + ε. dd ϕ(y) 3 [c, d] È, ¿k Z d c ϕ(y)dy = Z d c Z b a f(x, y)dx dy = A = ZZ D f(x, y)dxdy. ùÒy² 1 ◦ . Óny² 2 ◦ . þã(Jw·, ÷v½n¥^, «mþ¼êÈ ©, Òzü¼ê½È© (kéCþ¼êÈ©, 3é, Cþ¼êÈ©). ù«È©L§¡\gÈ©. \gÈ© , ÀJkéXÈ©, âÈ©B ½. 6/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理例2求ea+ydady,其中 D = [0, 1] ×[0, 1]JD解J。er+yddya+ydae"dcoyduO?e'dy = (e - 1)?e-例3求 cos ayddy, 其中 D = [0, 元] × [0, 1]JD解& cos ryddydrcosrydyJDO元ydasin rdc = 2.sincy二y=01在这个例子中，如果先对&积分，计算量就要大些返回全屏关闭退出7/29
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ~ 2 ¦ ZZ D e x+ydxdy, Ù¥ D = [0, 1] × [0, 1]. ) ZZ D e x+ydxdy = Z 1 0 dy Z 1 0 e x+ydx = Z 1 0 e ydy Z 1 0 e xdx = (e − 1) Z 1 0 e ydy = (e − 1)2 . ~ 3 ¦ ZZ D x cos xydxdy, Ù¥ D = [0, π] × [0, 1]. ) ZZ D x cos xydxdy = Z π 0 dx Z 1 0 x cos xydy = Z π 0 sin xy y=1 y=0 dx = Z π 0 sin xdx = 2. 3ù~f¥, XJké x È©, OþÒ . 7/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理可积性10.1.3对于区间 D 以及分割T,记mij = inf f(Dij), Mij = supf(Di), (i = 1, 2, ..·,n; j = 1, .,m).Wi=Mii一mi称为f在Dii上的振幅.定义mmS(f,T) =Cmjo(Di), 3(f,T) =Mijo(Di),i=1 j=1i=1 j=1分别称为f关于分割T的下和与上和.显然有S(f,T) ≤ S(f,T) ≤ S(f,T)设T=T×T与 T'=T×T,是 D的两个分割.如果T比T细,同时T'比 T细,则称T"比 T细,记为T≤T"返回全屏关闭退出8/29
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n 10.1.3 È5 éu«m D ±9© T , P mij = inf f(Dij), Mij = sup f(Dij), (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, · · · , m). ωij = Mij − mij ¡ f 3 Dij þÌ. ½Â S(f, T ) = X n i=1 X m j=1 mijσ(Dij), S(f, T ) = X n i=1 X m j=1 Mijσ(Dij), ©O¡ f 'u© T eÚþÚ. w,k S(f, T ) 6 S(f, T ) 6 S(f, T ). T = Tx × Ty T 0 = T 0 x × T 0 y ´ D ü©. XJ T 0 x ' Tx [, Ó T 0 y ' Ty [, K¡ T 0 ' T [, P T 6 T 0 . 8/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
可积性面积二重积分累次积分有界集上的积分积分平均值定理定理5设T与T是D的两个分割.且T≤T.则有S(f,T) ≤ S(f, T') ≤ S(f,T) ≤ S(f,T)这就是说，在分割加细的过程中，上和不增下和不减定理6设T与T是D的两个分割.则有S(f, Ti) ≤ S(f, T2)也就是说任意下和不会大于任意上和显然下和所成之集有上界，上和所成之集有下界．上和的下确界称为上积分，记为「f dacdy；下和的上确界称为下积分，记为『f dacdy.于是f dadyf dcdyI返回全屏关闭退出-l9/29
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ½n 5 T T 0 ´ D ü©, T 6 T 0 . Kk S(f, T ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T ). ùÒ´`, 3©\[L§¥, þÚØOeÚØ~. ½n 6 T1 T2 ´ D ü©. Kk S(f, T1) 6 S(f, T2). Ò´`?¿eÚجu?¿þÚ. w,eÚ¤¤8kþ., þÚ¤¤8ke. þÚe(.¡þ È©, P R f dxdy; eÚþ(.¡eÈ©, P R f dxdy. u´ Z f dxdy 6 Z f dxdy. 9/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理定理7设f是定义在区间D上的有界函数那么下面的四个条件等价(1)f在D上可积；mn(2) liq,Zwijo(Di) = 0,其中 wij = Mij - mi;ITI-0i=1 j=1(3)对任意 ε>0 存在 D的一个分割 T使得S(f,T) - S(f,T) < e.(4)f的上积分和下积分相等，即f dady =Fdd返回全屏关闭退出III10/29
È© \gÈ© È5 k.8þÈ© ¡È È©²þ½n ½n 7 f ´½Â3«m D þk.¼ê. @oe¡o^ d: (1) f 3 D þÈ; (2) lim kT k→0 X n i=1 X m j=1 ωijσ(Dij) = 0, Ù¥ ωij = Mij − mij; (3) é?¿ ε > 0 3 D © T ¦ S(f, T ) − S(f, T ) < ε. (4) f þÈ©ÚeÈ© , = Z f dxdy = Z f dxdy. 10/29 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ