二、反函数 我们先考虑下面三个函数： (1)y=2x+1,定义域X=(-0∞，+∞)，值域Y=（-00,+0∞) (2)y=10,定义域X=(-o∞，+∞)，值域Y=(0,+∞) (3)y=x2,定义域X=(-0∞，+∞)，值域Y=0,+o) 这三个函数的共同特点是，对X内的每一个实数x,通过所给规律，都有Y 访问主页 中的唯一一个y和这个x对应.我们还要进一步提出一个问题.对Y中的 标题页 一个y,在X中究竟又多少个x,通过所给规律，使此与这些对应呢？或者 说，对Y中的每一个，它在X中的逆象又多少个呢？我们来考虑上面三个 函数，在(1)中，对Y中的每一个，它的逆象x也只有一个，即x=(y-1) 第27页共444页 ,(2)也有同样性质.但(3)却不同，对Y中的每一个正实数y,它在X内有两 返回 个逆象x1=√万和x2=-V厅.现在我们着重研究一下(1)和(2)的特性，并 全屏显示 把它概括一下. 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 27 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✓✦❻➻ê ➲❶❦⑧➘❡→♥❻➻ê: (1) y = 2x + 1, ➼➶➁ X = (−∞, +∞), ❾➁ Y = (−∞, +∞) (2) y = 10x , ➼➶➁ X = (−∞, +∞), ❾➁ Y = (0, +∞) (3) y = x 2 , ➼➶➁ X = (−∞, +∞), ❾➁ Y = [0, +∞) ù♥❻➻ê✛✁Ó❆✿➫, é X ❙✛③➌❻➣ê x, Ï▲↕❽✺➷, Ñ❦ Y ➙✛➁➌➌❻ y Úù❻ x é❆. ➲❶❸❻❄➌Ú❏Ñ➌❻➥❑. é Y ➙✛ ➌❻ y, ✸ X ➙➘➽qõ✟❻ x, Ï▲↕❽✺➷, ➛❞ y ❺ù✡é❆◗? ➼ö ❵, é Y ➙✛③➌❻, ➜✸ X ➙✛❴➊qõ✟❻◗? ➲❶✺⑧➘þ→♥❻ ➻ê, ✸(1)➙, é Y ➙✛③➌❻ y, ➜✛❴➊ x ➃➄❦➌❻, ❂ x = 1 2 (y − 1) , (2)➃❦Ó✘✺➓. ✂(3)✪ØÓ, é Y ➙✛③➌❻✔➣ê y,➜✸ X ❙❦ü ❻❴➊ x1 = √y Ú x2 = − √y . ②✸➲❶❳➢ï➘➌❡(1)Ú(2)✛❆✺, ➾ r➜❱✮➌❡
设y=f(x)使这样的函数，它的定义域是X,值域是Y,并且对Y内的任 何一个实数，它在X的逆象x只有一个（或者更直观的说，对Y内的任何 一个y,通过函数f,可以反解出一个且只有一个x使得y和这个x相对 应，如同(1)和(2)中那样).这时候，如果我们把Y看作某个函数的定义域， 访问主页 那么对Y内的每一个y,就有X内的唯一一个逆象x.根据函数的定义 标题页 x便是y的函数了，这个函数的自变量是，因变量是x,定义域是Y,值域 是X,它是由函数f所产生的，称为函数f的反函数，记为f-1,它在y的 数值记为f-1(y),即 第28页共44页 x=f-() 返回 全屏显示 关闭 退出
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这时，f当然也是∫-1的反函数，或者说，f和f-1互为反函数.前者的定 义域和后者的值域相同，前者的值域和后者的定义域相同.并且不果知设 f-(f(x)=x,或f(f1()=. 例如y=f(x)=2x+1,定义域为(-∞，+∞)，值域为(-∞，+∞，它的 反函数x=f1(g)=(y-1),定义域为(-o,+∞).值域为(-∞，+∞) 又如y=f(z)=10F,定义域为(-o∞，+∞)，值域为(0，+∞)，它的反函数 x=f-1(y)=lg),定义域为(0，+∞)，值域为(-oo,+∞)： 访问主页 再如y=x2,定义域为(-0∞，+∞)，值域为[0，+o∞)，它不存在反函数，但如 标题页 果我们把这个函数的定义域缩小，使它的定义域成为[0，+∞)，这时它就存 在反函数x=V.反函数的定义域是[0，+∞)，值域是[0，十∞).如果我们 把y=x的定义域限制为(-0∞，0，这时它也存在反函数x=-√，这个 第29页共444页 反函数的定义域是[0，+o∞，值域是(-∞，0. 返回 上面，我们用x=f()表示y=f(x)的反函数，从图形上看，曲线y= 全屏显示 f(x)和x=∫一1(y)是同一条曲线，所不同的仅仅是前者自变量是x,后者 关闭 自变量以 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 29 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ù➒, f✟✱➃➫ f −1 ✛❻➻ê, ➼ö❵, f Ú f −1 ♣➃❻➻ê. ❝ö✛➼ ➶➁Úö✛❾➁❷Ó, ❝ö✛❾➁Úö✛➼➶➁❷Ó. ➾❹Ø❏⑧✗ f −1 (f(x)) = x, ➼ f(f −1 (y)) = y. ⑦❳ y = f(x) = 2x + 1, ➼➶➁➃ (−∞, +∞), ❾➁➃ (−∞, +∞), ➜✛ ❻➻ê x = f −1 (y) = 1 2 (y − 1), ➼➶➁➃ (−∞, +∞). ❾➁➃ (−∞, +∞). q❳ y = f(x) = 10x , ➼➶➁➃ (−∞, +∞), ❾➁➃ (0, +∞), ➜✛❻➻ê x = f −1 (y) = lg y), ➼➶➁➃ (0, +∞), ❾➁➃ (−∞, +∞). ✷❳ y = x 2 , ➼➶➁➃(−∞, +∞), ❾➁➃ [0, +∞), ➜Ø⑧✸❻➻ê, ✂❳ ❏➲❶rù❻➻ê✛➼➶➁➔✂, ➛➜✛➼➶➁↕➃ [0, +∞), ù➒➜Ò⑧ ✸❻➻ê x = √y. ❻➻ê✛➼➶➁➫ [0, +∞), ❾➁➫ [0, +∞). ❳❏➲❶ r y = x 2✛➼➶➁⑩➏➃ (−∞, 0], ù➒➜➃⑧✸❻➻ê x = − √y, ù❻ ❻➻ê✛➼➶➁➫ [0, +∞), ❾➁➫ (−∞, 0]. þ→,➲❶❫ x = f −1 (y) ▲➠ y = f(x) ✛❻➻ê, ❧ã✴þ✇,➢❶ y = f(x) Ú x = f −1 (y) ➫Ó➌❫➢❶, ↕ØÓ✛❂❂➫❝ö❣❈þ➫ x ,ö ❣❈þ y
但在同一个坐标系内，一速我们总规定x轴上的点是自变量，y轴上的点 是因变量，为了再同一个坐标系内把函数和它的反函数表达出来（例如把 使们的图形画出来)，就必过把反函数x=一1（改写为y=f-(x),我 们也面y=一1(z)是y=f(x)的反函数.当然，反过来y=f(x)也是 y=f-1(x)的反函数，使们互为反函数.例如y=2x+1和y=(x-1)互 为反函数，y=f(x)=10严和y=1gx)互为反函数， (图1-11) 访问主页 标题页 函数y=f(z)的它的反函数y=∫1(x)的图形之间有如下关系：曲线 y=f(x)和y=-1(x)关于直线互相对面（图1-11）.因为：如果点M(x,) 是曲线y=f(x)上的一点（这里的自变量是x,因变量是y),则对反函数 第30页共444页 x=∫-()而言，其图形就是y=f(x)的图形，因此点M(x,)仍旧再曲 返回 线x=∫-1(y)上，现在把x和y对调，点M(x,)就在曲线上y=f1(x) 全屏显示 了，而点M和点M是关于直线y=x相互对面的（这一点围以通过初等 关闭 几何的方法加以证明)，这就说明了曲线y=f(x)和y=1(x)关于直线 退出 y=x相互对面
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在什么条件下反函数一定存在呢？我们有下面的定理 定理设y=∫(x)在某个区间X内严格单调增加（或减少），又设和这个X 相对几的值域是Y,那么必存在反函数x=∫-(y),它在Y内也是严格单 调增加（或减少）的 证明设y=f(x)在X内严格单调增加，即对X内的任何两点x1和x2 如果x1<2必有f(x1)<f(x2).这表示对Y内的每一个y,在X内决 不会有两个不同的点x1和x2,使得f(x1)f(x2).因此，对Y内的每一个 ,在X内有一个且只有一个x,使得x和y对几起来，这就证明了反函数 访问主页 y=∫-1(x)的存在性 标题页 再证明x=∫-()是Y内的严格增加函数.设h,2是Y内的任意两点， 并且1<2，又设 x=f-1(1),2=f-(2) 第31页共444页 返回 对于这两个x1和x2,只有三种可能性：x1<x2,x1=x2,x1>x2.由于 全屏显示 y=f(x)是严格单调增加的以及1<2，这就排除了第二种和第三种可能 关闭 性，这样便得到x1<x2,从而证明了x=1(y)是Y内的严格单调增加 退出 函数
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 31 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✸➓♦❫❻❡❻➻ê➌➼⑧✸◗? ➲❶❦❡→✛➼♥. ➼♥ ✗ y = f(x) ✸✱❻➠♠ X ❙î❶ü◆❖❭(➼⑦✟), q✗Úù❻ X ❷é❆✛❾➁➫ Y , ❅♦✼⑧✸❻➻ê x = f −1 (y), ➜✸ Y ❙➃➫î❶ü ◆❖❭(➼⑦✟)✛. ②➨ ✗ y = f(x) ✸ X ❙î❶ü◆❖❭, ❂é X ❙✛❄Ûü✿ x1 Ú x2 ,❳❏ x1 < x2 ✼❦ f(x1) < f(x2). ù▲➠é Y ❙✛③➌❻ y , ✸ X ❙û Ø➡❦ü❻ØÓ✛✿ x1 Ú x2, ➛✚ f(x1)f(x2) . Ï❞, é Y ❙✛③➌❻ y, ✸ X ❙❦➌❻❹➄❦➌❻ x, ➛✚ x Ú y é❆å✺, ùÒ②➨✡❻➻ê y = f −1 (x) ✛⑧✸✺. ✷②➨ x = f −1 (y) ➫ Y ❙✛î❶❖❭➻ê. ✗ y1, y2 ➫ Y ❙✛❄➾ü✿, ➾❹ y1 < y2, q✗ x1 = f −1 (y1), x2 = f −1 (y2) é✉ùü❻ x1 Ú x2, ➄❦♥➠➀❯✺: x1 < x2, x1 = x2, x1 > x2. ❞✉ y = f(x) ➫î❶ü◆❖❭✛➧✾ y1 < y2, ùÒüØ✡✶✓➠Ú✶♥➠➀❯ ✺, ù✘❇✚✔ x1 < x2, ❧✌②➨✡ x = f −1 (y) ➫ Y ❙✛î❶ü◆❖❭ ➻ê