例8狄立克莱(Drirchlet)函数 当x为有理数时 =f(x)= 0, 当x为无理数时 例如，当x=-2,号时，函数值y为1，当x=V2,V5,π时，函数值为0. 这微函数的图形是画不出来的，但可以作一些直观的想象：有无数多微点 稠密地分布在x轴上，也有无数多微点稠密地分布在直线y=1上. 访问主页 狄立克莱函数是不单调的.但它是偶函数，因为当x为有理数时，一x也是 标题页 有理数，故与x和-x所对应地函数值皆为1，两者相等，即f(x)=1= f(-x).当x为无理数时，-x也是无理数，故f(x)=0=f(-x).此外，任 第22页共44页 何有理数r都是狄立克莱函数地周期，这是因为，若x为有理数，那么x+T 返回 也是有理数，故f()=1=f(x+).若x为无理数，那么x+r也是无理 全屏显示 数，故f(x)=0=(x+r).可见r为f(x)的周期.但是，它没有最小周期 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 22 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦8 ✮á➂✹(Drirchlet)➻ê y = f(x) = ( 1, ✟ x ➃❦♥ê➒ 0, ✟ x ➃➹♥ê➒ ⑦❳, ✟ x = −2, 8 7 , 4 7 ➒, ➻ê❾ y ➃ 1, ✟ x = √ 2, √ 3, π ➒, ➻ê❾➃ 0. ù❻➻ê✛ã✴➫①ØÑ✺✛, ✂➀➧❾➌✡❺✯✛➂➊: ❦➹êõ❻✿ ➮➋✴➞Ù✸ x ➯þ, ➃❦➹êõ❻✿➮➋✴➞Ù✸❺❶ y = 1 þ. ✮á➂✹➻ê➫Øü◆✛. ✂➜➫ó➻ê, Ï➃✟ x ➃❦♥ê➒, −x ➃➫ ❦♥ê, ✙❺ x Ú −x ↕é❆✴➻ê❾✛➃ 1, üö❷✤, ❂ f(x) = 1 = f(−x). ✟ x ➃➹♥ê➒, −x ➃➫➹♥ê, ✙ f(x) = 0 = f(−x). ❞✠, ❄ Û❦♥ê r Ñ➫✮á➂✹➻ê✴➧Ï, ù➫Ï➃, ❡ x ➃❦♥ê, ❅♦ x + r ➃➫❦♥ê, ✙ f(x) = 1 = f(x + r). ❡ x ➃➹♥ê, ❅♦ x + r ➃➫➹♥ ê, ✙ f(x) = 0 = f(x + r). ➀❸ r ➃ f(x) ✛➧Ï. ✂➫, ➜✈❦⑩✂➧Ï
s2. 复合函数和反函数 一、复合函数 我们先考察一个例子.设有一个质量为m地沿直线运动地物体，速度是v, 那么它的动能为 E=m2 如果这个物体是自由落体，其速度为 v=gt 访问主页 标题页 其中g是重力加速度.于是它的动能是 “炒 Emtmge 1 第23页共444页 现在抽去其中的具体意义，便得到这样两个函数： 返回 1 B=imi,v=gt 全屏显示 关闭 将v=gt代到E=mu2中去，就得知E通过中间变量v而为t得函数 退出 这种形式得函数称为复合函数：
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 23 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ §2. ❊Ü➻êÚ❻➻ê ➌✦❊Ü➻ê ➲❶❦⑧✠➌❻⑦❢.✗❦➌❻➓þ➃ m ✴÷❺❶✩➘✴Ô◆, ❸Ý➫ v, ❅♦➜✛➘❯➃ E = 1 2 mv2 ❳❏ù❻Ô◆➫❣❞á◆, Ù❸Ý➃ v = gt Ù➙ g ➫➢å❭❸Ý. ✉➫➜✛➘❯➫ E = 1 2 m(gt) 2 = 1 2 mg2 t 2 ②✸➘✖Ù➙✛ä◆➾➶, ❇✚✔ù✘ü❻➻ê: E = 1 2 mv2 , v = gt ò v = gt ➇✔ E = 1 2mv2 ➙✖, Ò✚⑧ E Ï▲➙♠❈þ v ✌➃ t ✚➻ê. ù➠✴➟✚➻ê→➃❊Ü➻ê
例：如设 y=lgu,u=sinx 这样就得到一个复合函数 y =lgsinx 访问主页 虽然u=sinx的定义域为(-oo,+oo),但作为复合函数，lgsinx定义 标题页 域只能是(2nπ，(2n+1)π)(n为一切整数).因为只有在这种情形下才有 0<u=sinx,这时lgu才有意义，也就是说只有限制函数sinx的定义域 使其值域包含在y=lgu的定义域内时，y=lgsinxz才有意义.否则，如考 第24页共44页 虑[π，2π]内的x,y=lgsinx就没有意义了. 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 24 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦: ❳✗ y = lg u, u = sin x ù✘Ò✚✔➌❻❊Ü➻ê y = lg sin x ➃✱ u = sin x ✛➼➶➁➃ (−∞, +∞) , ✂❾➃❊Ü➻ê, lg sin x ➼➶ ➁➄❯➫ (2nπ,(2n + 1)π)( n ➃➌❷✒ê). Ï➃➄❦✸ù➠➐✴❡â❦ 0 < u = sin x, ù➒ lg u â❦➾➶, ➃Ò➫❵➄❦⑩➏➻ê sin x ✛➼➶➁ ➛Ù❾➁➑➵✸ y = lg u ✛➼➶➁❙➒, y = lg sin xâ❦➾➶. ➘❑, ❳⑧ ➘ [π, 2π] ❙✛ x, y = lg sin x Ò✈❦➾➶✡
一般地说，若函数y=p(x)的定义域为U,而函数u=f(x)地定义域为 X,值域为U*,并且U*包含在U内，也就是说，函数u=f(x)地值域不超 出函数p(u)定义域U的做围.那么对于X内地每一个值x,经过中间变 量，相应地得到唯一确定的一个值y=,于是y经过中间变量u而成为x 访问主页 的函数，记为 标题页 y=(f(x)) “炒 这区函数称为复合函数.应该指出，函函数u=f(x)地值域不超出函数 第25页共44贝 p()定义域U,这是极重要的 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 25 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➌❸✴❵, ❡➻ê y = ϕ(x) ✛➼➶➁➃ U, ✌➻ê u = f(x) ✴➼➶➁➃ X, ❾➁➃ U ∗ , ➾❹ U ∗ ➑➵✸ U ❙, ➃Ò➫❵, ➻ê u = f(x) ✴❾➁Ø❻ Ñ➻ê ϕ(u) ➼➶➁ U ✛❽➀. ❅♦é✉ X ❙✴③➌❻❾ x , ➨▲➙♠❈ þ u, ❷❆✴✚✔➁➌✭➼✛➌❻❾ y =. ✉➫ y ➨▲➙♠❈þ u ✌↕➃ x ✛➻ê, P➃ y = ϕ(f(x)) ù➠➻ê→➃❊Ü➻ê. ❆❚➁Ñ, ➻➻ê u = f(x) ✴❾➁Ø❻Ñ➻ê ϕ(u) ➼➶➁ U , ù➫✹➢❻✛
例1设y=V1+u,它的定义域U=[-1,+oo),再设u=x2-5 ，它的定义域是(-∞，+∞)，值域是(-5，+∞)，作为复合函数 y=√1+(z2-5)=V2-4,其定义域只能是(-0，-2和2，+0)，这 时u=x2-5的值域是[-1，+o∞)，它足有超出U的范围。 访问主页 例2设f(x)=2x2+1,9(z)=cosx,求f(g(x),9(f(x),f(f(x) 标题页 设f(u)=2u2+1,再设u=g(x)=cosx,那么将u=g(x)代到f(u)里去， 就得到 f(g(x))=2cos2x+1 第26页共44页 同样，若设g(u)=cos山，再设u=2x2+1,那么 返回 全屏显示 9(f(x)=cos(2x2+1) 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 26 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦1 ✗ y = √ 1 + u, ➜ ✛ ➼ ➶ ➁ U = [−1, +∞), ✷ ✗ u = x 2 − 5 , ➜ ✛ ➼ ➶ ➁ ➫ (−∞, +∞), ❾ ➁ ➫ (−5, +∞), ❾ ➃ ❊ Ü ➻ ê y = p 1 + (x 2 − 5) = √ x 2 − 4, Ù➼➶➁➄❯➫ (−∞, −2] Ú [2, +∞), ù ➒ u = x 2 − 5 ✛❾➁➫ [−1, +∞), ➜✈❦❻Ñ U ✛❽➀. ⑦2 ✗ f(x) = 2x 2 + 1, g(x) = cos x,➛ f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)). ✗ f(u) = 2u 2 + 1, ✷✗ u = g(x) = cos x, ❅♦ò u = g(x) ➇✔ f(u) ♣✖, Ò✚✔ f(g(x)) = 2 cos2 x + 1 Ó✘, ❡✗ g(u) = cos u, ✷✗ u = 2x 2 + 1, ❅♦ g(f(x)) = cos(2x 2 + 1)