例3函数 f(x)=Vsinz 只有当根号内的six非负时，这个函数才有意义，可见它的定义域为 [2mπ，(2n+1)π(n=0,±1，±2，.)，函数的值域为[0,1) 特别地，当x=0时，函数值时0，即f(O)=0,相仿地还有 访问主页 标题页 j③=Vm=1,f③=Vm迈 π1 炒 把这个函数用定义中地记号写出来就是，设X是由区间2nπ，(2n+ 第12页共44页 1)π](n=0,±1，土2，.)所组成的，Y=(-0o,+o). 返回 f的定义域是X,值域是[0,1刂 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦3 ➻ê f(x) = √ sin x ➄❦✟❾Ò❙✛ sin x ➎❑➒, ù❻➻êâ❦➾➶, ➀❸➜✛➼➶➁➃ [2nπ,(2n + 1)π](n = 0, ±1, ±2, · · ·), ➻ê✛❾➁➃ [0, 1] . ❆❖✴, ✟ x = 0 ➒, ➻ê❾➒ 0, ❂ f(0) = 0 , ❷➉✴❸❦ f( π 2 ) = r sin π 2 = 1, f( π 4 ) = r sin π 4 = 1 √4 2 rù❻➻ê❫➼➶➙✴PÒ✕Ñ✺Ò➫, ✗ X ➫❞➠♠ [2nπ,(2n + 1)π](n = 0, ±1, ±2, · · ·) ↕⑤↕✛, Y = (−∞, +∞) . f ✛➼➶➁➫ X, ❾➁➫ [0, 1]
例4函数 1 f田=√-司 地定义域为满足下列不等式地全部x值： x2-x-2=(x-2)(x+1)>0 访问主页 标题页 解之得x>2和x<一1，这就是定义域.如果用区间来表示，定义域为 炒 （-∞，-1)，(2，+∞).函数得之域为(0，+00).特别地有： f(4)= f(-2)=2 1 第13页共44页 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦4 ➻ê f(x) = 1 √ x 2 − x − 2 ✴➼➶➁➃÷✈❡✎Ø✤➟✴✜Ü x ❾: x 2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) > 0 ✮❷✚ x > 2 Ú x < −1 , ùÒ➫➼➶➁. ❳❏❫➠♠✺▲➠, ➼➶➁➃ (−∞, −1), (2, +∞). ➻ê✚❷➁➃ (0, +∞). ❆❖✴❦: f(4) = 1 √ 10 , f(−2) = 1 2
例5设f:(a,b)→(-∞，+∞) x一C(常数) 即对(a,b)内地的任何x,都有f(x)=C.它是一个在其定义域内取常数 访问主页 值的函数： 标题页 对于两个函数f和，何谓f和相等呢？这是指：()它们由相同的定义域 N炒 X,()对X内的每一个实数x,他们由相同的函数值，即f(x)=g(x),这 时，我们就说函数f和函数g相等，显然，他们的值域也必相同. 第14页共44页 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦5 ✗f : (a, b) → (−∞, +∞) x 7→ C (⑦ê) ❂é (a, b) ❙✴✛❄Û x, Ñ❦ f(x) = C . ➜➫➌❻✸Ù➼➶➁❙✒⑦ê ❾✛➻ê. é✉ü❻➻ê f Ú, Û➣ f Ú❷✤◗? ù➫➁: (i)➜❶❞❷Ó✛➼➶➁ X, (ii)é X ❙✛③➌❻➣ê x , ➛❶❞❷Ó✛➻ê❾, ❂ f(x) = g(x) , ù ➒, ➲❶Ò❵➻ê f Ú➻ê g ❷✤, ✇✱, ➛❶✛❾➁➃✼❷Ó
例6设有两个函数 xsinx y=sinx和y= 这时，前者的定义域为(-∞，+o∞)；后者的定义域为(-∞，0)和(0，+o∞)： 实际上第二个函数虽然在x卡0时有y=sinx,但在x=0没有定义，因 此，这两个函数并不相等，因为他们的定义域不一样 访问主页 还应该注意的是，在函数概念中，并没有表明变量间的函数关系非得用一 标题页 个公式来表达不可.事实上，例如火车时刻表，出站和进站的车次都是时间 “炒 的函数，但它一般不用公式来表达，而是用列表的方法来表示这种函数关 系.气象站中的温度记录器记录了温度与时间的的一种函数关系，这种关 第5页共444页 系即不用一个公式来表达，也不用列表法来表达，而是借助仪器自动描绘 返回 在纸带上的一条连续不断的曲线来表达的： 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 15 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦6 ✗❦ü❻➻ê y = sin x Ú y = x sin x x ù➒, ❝ö✛➼➶➁➃ (−∞, +∞) ; ö✛➼➶➁➃ (−∞, 0) Ú (0, +∞). ➣❙þ✶✓❻➻ê➃✱✸ x 6= 0 ➒❦ y = sin x, ✂✸ x = 0 ✈❦➼➶, Ï ❞, ùü❻➻ê➾Ø❷✤, Ï➃➛❶✛➼➶➁Ø➌✘. ❸❆❚✺➾✛➫, ✸➻ê❱❣➙, ➾✈❦▲➨❈þ♠✛➻ê✬❳➎✚❫➌ ❻ú➟✺▲❼Ø➀. ➥➣þ, ⑦❳➺➄➒➃▲, ÑÕÚ❄Õ✛➄❣Ñ➫➒♠ ✛➻ê, ✂➜➌❸Ø❫ú➟✺▲❼, ✌➫❫✎▲✛➄④✺▲➠ù➠➻ê✬ ❳. í➊Õ➙✛➜ÝP➵ìP➵✡➜Ý❺➒♠✛✛➌➠➻ê✬❳, ù➠✬ ❳❂Ø❫➌❻ú➟✺▲❼, ➃Ø❫✎▲④✺▲❼, ✌➫✴Ï↕ì❣➘↔➧ ✸➆➅þ✛➌❫ë❨Øä✛➢❶✺▲❼✛
例7“y是的最大整数部分”，这句话的意思是说，对任何一个实数，y是 小于或等于x的最大整数.这句话能不能确定一个函数关系呢？现在我 们考察一下：因为对于任何实数x,总可以把它表示为一个整数和一个非 负小数之和，也就是： x=[+(x) 这里[是一个整数，()是一个非负小数，0≤x<1,例如当x=号时， [x=3,(x)=0.5,而当x=-2.41时，[=-3，(x)=0.59.容易看出， 访问主页 就是x的最大整数部分，它由x唯一确定.换句话说，对任何一个实数，总 标题页 有唯一的一个y=[和这个x对应因而“y是x的最大整数部分”，这 炒 句话确定了一个函数f 第16页共44页 f:X=(-o,+o)→Y=(-o,+∞) 返回 x→ 全屏显示 关闭 ∫的值域时一切整数： 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 16 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦7 ✴ y ➫✛⑩➀✒êÜ➞✵, ùé④✛➾❣➫❵, é❄Û➌❻➣ê x, y ➫ ✂✉➼✤✉ x ✛⑩➀✒ê. ùé④❯Ø❯✭➼➌❻➻ê✬❳◗? ②✸➲ ❶⑧✠➌❡: Ï➃é✉❄Û➣ê x, ♦➀➧r➜▲➠➃➌❻✒êÚ➌❻➎ ❑✂ê❷Ú, ➃Ò➫: x = [x] + (x) ù♣ [x] ➫➌❻✒ê, (x) ➫➌❻➎❑✂ê, 0 ≤ x < 1, ⑦❳✟ x = 7 2 ➒, [x] = 3,(x) = 0.5, ✌✟ x = −2.41 ➒, [x] = −3,(x) = 0.59 . ◆➫✇Ñ, [x] Ò➫ x ✛⑩➀✒êÜ➞,➜❞ x ➁➌✭➼. ❺é④❵,é❄Û➌❻➣ê x, ♦ ❦➁➌✛➌❻ y = [x] Úù❻ x é❆.Ï✌✴ y ➫ x ✛⑩➀✒êÜ➞✵, ù é④✭➼✡➌❻➻ê f: f : X = (−∞, +∞) → Y = (−∞, +∞) x 7→ [x] f ✛❾➁➒➌❷✒ê