在以上这些依赖关系中，我们看到一些共同的特征： ()在这些变量中，有些量称为自变量，如时间t,盒高以及上面3中的x 等，他们又一定的变化范围.如例中的时间t,在这个运动过程中，如果 我们把物体刚开始下落的时刻记为t=0,把物体刚到达地面的时刻记为 t=T,那么时间t的变化范围只能是在0与T之间，即t的变化范围是闭 区间[0，T].又如上例3中的函数y=lg(1+x),从对数函数的特性容易 知道，自变量的变化范围只能是x>-1,即x的范围是(-1，+∞).再如 访问主页 y=5 cos 2x+ 3 从余弦函数的特性知道x的变化范围是（一o,+∞）· 标题页 再依赖关系中，还有一些量是随着自变量的变化二起变化的，称为因变量， 如落体下降距离5，盒的容积V,及例3中的y,它们也又一定的变化范围， 再某一过程中，哪个变量是自变量或因变量并不是绝对的，例如再自由落 第7页共444页 体公式中，如果我们已经知道下降距离为s而要求出经过了多少时间，这 返回 时就视距离为自变量，而 全屏显示 关闭 时间就成为因变量了 退出
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(ⅱ)对自变量的变化范围内的每一个确定的值，通过依赖关系，总能得到 一个确定的并且唯一的因变量的值， 把这种特征抽象出来，便得到函数的概自： 函数的定义如果对某个范围X内的每一个实数x,可以按照确定的规 律，得到Y内唯一一个实数y和这个对应，我们就称f是X上的函数，它 访问主页 再x的数值（称为函数值）是y,记为f(x),即y=f(x).有时我们也称这 标题页 N炒 个y是的象，称是的y一个逆象.用数学记号把这件事表达出来就是： f:X-Y 第8页共444页 返回 x→f(x) 全屏显示 关闭 退出
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这个记号有两层意思： ()它表明通过函数的作用，把整个X变到里面Y去，我们用记号X一→Y 来表示这一层意思 ()对X内每一个实数x,在f的作用下，变为Y内的唯一一个实数y,记 作，或者说，在∫的作用下，x的象是f(x),也可以说∫在x的函数值是y 访问主页 ,我们用记号x一f(x)来表示它 标题页 我们称x是自变量，y是因变量，又称X是函数∫的定义域，它表示对X N 内的任何实数x,在∫的作用下是有意义的，简单地说，f(x)是有意义的， 当x遍取X内的所有实数时，相应的函数值f(x)的全体所组成的范围叫 第9页共444页 做函数∫的值域，要注意的是：值域并不一定就是Y,它当然不会比Y大， 返回 但它可能比Y小. 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ù❻PÒ❦ü➾❣: (i)➜▲➨Ï▲➻ê✛❾❫,r✒❻ X ❈✔♣→ Y ✖, ➲❶❫PÒ X → Y ✺▲➠ù➌➾❣. (ii)é X ❙③➌❻➣ê x , ✸ f ✛❾❫❡, ❈➃ Y ❙✛➁➌➌❻➣ê y , P ❾, ➼ö❵, ✸ f ✛❾❫❡, x ✛➊➫ f(x) , ➃➀➧❵ f ✸ x ✛➻ê❾➫ y , ➲❶❫PÒ x 7→ f(x) ✺▲➠➜. ➲❶→ x ➫❣❈þ, y ➫Ï❈þ, q→ X ➫➻ê f ✛➼➶➁, ➜▲➠é X ❙✛❄Û➣ê x , ✸ f ✛❾❫❡➫❦➾➶✛, ④ü✴❵, f(x) ➫❦➾➶✛, ✟ x ❍✒ X ❙✛↕❦➣ê➒, ❷❆✛➻ê❾ f(x) ✛✜◆↕⑤↕✛❽➀✗ ❽➻ê f ✛❾➁, ❻✺➾✛➫: ❾➁➾Ø➌➼Ò➫ Y , ➜✟✱Ø➡✬ Y ➀, ✂➜➀❯✬ Y ✂
例1中学里已经学过的正弦函数f,用上述的记号写出来就是（设X= Y=(-o,+00)): f:X→Y 访问主页 x→y=sinx 标题页 N炒 它表示正弦函数把所有实数变成一些实数，并且把每一个具许的实数x变 成实数sinx,这个sinx就是函数f在x点的函数值.这时，f的定义域是 第10页共44页 而值域是「-1,1，它比Y小. 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦1 ➙➷♣➤➨➷▲✛✔✉➻ê f , ❫þã✛PÒ✕Ñ✺Ò➫(✗ X = Y = (−∞, +∞) ): f : X → Y x 7→ y = sin x ➜▲➠✔✉➻êr↕❦➣ê❈↕➌✡➣ê, ➾❹r③➌❻ä◆✛➣ê x ❈ ↕➣ê sin x , ù❻ sin x Ò➫➻ê f ✸ x ✿✛➻ê❾. ù➒, f ✛➼➶➁➫, ✌❾➁➫ [−1, 1] , ➜✬ Y ✂
例2设X=(0,+o),Y=(-00,+o) p:X→Y x一→y=lgx 它表示对数函数把(0，十∞)内的实数变成另一些实数，对每一个正的实数 访问主页 x,p在点的函数值是y=gx,这就是我们所熟悉的对数函数，它的定义 域是X,值域是（一o,+o),值域等于Y. 标题页 在通常的数学分析或微积分课本中，为了省略，而略去上面所写的记号，干 脆把函数f:X一→Y,x一y=f(x)简降地记为f(x),或y=f(x),例如函 第11页共44贝 数y=snx,函数y=l1gx等等，而不把他们写成刚才所写的那种形式，以 返回 后我们就用这种省略的写法，但要请读者注意的是：这仅仅是一种省略而 全屏显示 已 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 444 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2 ✗ X = (0, +∞), Y = (−∞, +∞) ϕ : X → Y x 7→ y = lg x ➜▲➠éê➻êr (0, +∞) ❙✛➣ê❈↕✱➌✡➣ê, é③➌❻✔✛➣ê x , ϕ ✸✿✛➻ê❾➫ y = lg x , ùÒ➫➲❶↕Ù●✛éê➻ê, ➜✛➼➶ ➁➫ X , ❾➁➫ (−∞, +∞) , ❾➁✤✉ Y . ✸Ï⑦✛ê➷➞Û➼❻➮➞➅✢➙, ➃✡➂Ñ, ✌Ñ✖þ→↕✕✛PÒ,❩ ②r➻ê f : X → Y, x 7→ y = f(x) ④ü✴P➃ f(x) , ➼ y = f(x) ,⑦❳➻ ê y = sin x , ➻ê y = lg x ✤✤, ✌Ør➛❶✕↕❢â↕✕✛❅➠✴➟, ➧ ➲❶Ò❫ù➠➂Ñ✛✕④, ✂❻➒Öö✺➾✛➫: ù❂❂➫➌➠➂Ñ✌ ➤