【新教材】9.2.4总体离散程度的估计教学设计（人教A版）教材分析本节是主要介绍如何从样本中提取基本信息方差、标准差、极差，来推断总体的情况统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据教学目标与核心素养课程目标1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）2.会求样本数据的方差、标准差、极差.3.理解离散程度参数的统计含义数学学科素养1.数学抽象：方差、标准差有关概念的理解；2.数学运算：求方差、标准差；3.数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体教学重难点重点：求样本数据的方差、标准差、极差难点：用样本平均数和样本标准差估计总体课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入在初中我们学过方差、中位数和平均数标准差的概念，他们都是描述一组数据的离散程度的特征数回忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探二、预习课本，引入新课阅读课本209-213页，思考并完成以下问题1、标准差和方差各指什么？2、标准差和方差的特征各是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.方差、标准差的定义
【新教材】9.2.4 总体离散程度的估计 教学设计（人教 A 版） 本节是主要介绍如何从样本中提取基本信息:方差、标准差、极差，来推断总体的情况.统计学是研究如 何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据. 课程目标 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)． 2.会求样本数据的方差、标准差、极差． 3.理解离散程度参数的统计含义. 数学学科素养 1．数学抽象：方差、标准差有关概念的理解； 2．数学运算：求方差、标准差; 3. 数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体. 重点：求样本数据的方差、标准差、极差. 难点：用样本平均数和样本标准差估计总体. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在初中我们学过方差、中位数和平均数标准差的概念，他们都是描述一组数据的离散程度的特征数.回 忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本 209-213 页，思考并完成以下问题 1、标准差和方差各指什么？ 2、标准差和方差的特征各是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1.方差、标准差的定义
1n一组数据x1，X2，.，Xn，用x表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为(xi11i-12，标准差为X22.总体方差、总体标准差的定义1N如果总体中所有个体的变量值分别为Yi，Y2，..，YN，总体平均数为Y，则称S2(V--为总体方差，S=Vs为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k<M)个，记为Yi，Y2，.1hYk，其中Y,出现的频数为f(i=1,2，..，k)，则总体方差为S2(Y-)i-13.样本方差、样本标准差的定义1n如果一个样本中个体的变量值分别为，，…J，样本平均数为，则称？=E(-)22-为样本方差，s=VF为样本标准差.4.方差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大：标准差越小，数据的离散程度越小，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差，四、典例分析、举一反三题型一标准差与方差的应用例1甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.【答案】（1)x审=100，xz=100.5-S2=12(2)乙机床加工零件的质量更稳定【解析】（1）x串99±100±98+100±100+103）=100(99+100+102+99+100+100)=100Z[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)=(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100))=1(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s>，所以乙机床加工零件的质量更稳定解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）
一组数据 x1，x2，.，xn，用 x 表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为1 n i＝1 n (xi－ x ) 2＝ 1 n i＝1 n x 2 i － x 2，标准差为 1 n i＝1 n xi－ x 2 . 2.总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，Y2，.，YN，总体平均数为 Y ，则称 S 2＝ 1 N i＝1 N (Yi－ Y ) 2 为总体方差，S＝ S 2为总体标准差．如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k(k≤N)个，记为 Y1，Y2，.， Yk，其中 Yi 出现的频数为 fi(i＝1,2，.，k)，则总体方差为 S 2＝ 1 N i＝1 k fi(Yi－ Y ) 2 . 3.样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为 y1，y2，.，yn，样本平均数为 y ，则称 s 2＝ 1 n i＝1 n (yi－ y ) 2 为样本方差，s＝ s 2为样本标准差． 4.方差、标准差特征 标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小， 数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多 采用标准差． 四、典例分析、举一反三 题型一 标准差与方差的应用 例 1 甲、乙两机床同时加工直径为 100 mm 的零件，为检验质量，各从中抽取 6 件测量，数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 【答案】 (1) x 甲＝100， x 乙＝100.s 2 甲＝ 7 3 ，s 2 乙＝1. (2)乙机床加工零件的质量更稳定. 【解析】 (1) x 甲＝ 1 6 (99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x 乙＝ 1 6 (99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s 2 甲＝ 1 6 [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2 ]＝ 7 3 ， s 2 乙＝ 1 6 [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2 ]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又 s 2 甲>s 2 乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定. 解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差：方差越小，数据越集中，稳定性越高.跟踪训练一1.为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下理科：79.81.81.79.94.92.85.89文科：94,80,90,81,73,84,90,80计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？【答案】理科x，=85(分)，方差S=31.25：文科x2=84(分)，方差=41.75理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好【解析】计算理科同学成绩的平均数x×(79+79+81+81+85+89+92+94)=85（分），方差sf=x[(79-85)2+(79—85)+(81-85)2+(81-85)2+(85-85)2+(89-85)2+(92-85)2+(94—85)1=31.25计算文科同学成绩的平均数x2×（73+80+80+81+84+90+90+94）=84分），方差=×[(73-84)2+(80—84)2+(80-84)2+(8184)2+(84-84)+(90-84)+(90-84)+(94-84))=41.75因为 x1> x 2, Sf<s2,所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好题型二用样本平均数和样本标准差估计总体例2在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？【答案】能，估计为51.4862【解析】引入记号，把男生样本记为x,x，",x23，其平均数记为x，方差记为s；把女生样本记为Ji,J2，，J27，其平均数记为，方差记为s,；把总样本数据的平均数记为三，方差记为s22(,-2)+2(-)根据方差的定义，总样本方差为52=，，为了与x,联系，变形为s250i--+-) +2(y,-+-)，计算后可得2(×-x)(-)=050≥2(y-J)(-)=0,这样变形后可计算出s°。这也就是估计值。i=l解题技巧（用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项）（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程 度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据 越集中，稳定性越高． 跟踪训练一 1．为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试， 成绩(单位：分)记录如下． 理科：79,81,81,79,94,92,85,89 文科：94,80,90,81,73,84,90,80 计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中 发挥比较好？ 【答案】理科 x 1＝85(分)，方差 s 2 1＝31.25；文科 x 2＝84(分)，方差 s 2 2＝41.75. 理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好． 【解析】计算理科同学成绩的平均数 x 1＝ 1 8 ×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85(分)，方差 s 2 1＝ 1 8 ×[(79 －85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2 ]＝31.25； 计算文科同学成绩的平均数 x 2＝ 1 8 ×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84(分)，方差 s 2 2＝ 1 8 ×[(73－84)2＋ (80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2 ]＝41.75. 因为 x 1> x 2，s 2 1<s 2 2， 所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好． 题型二 用样本平均数和样本标准差估计总体 例 2 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数 据，只知道抽取了男生 23 人，其平均数和方差分别为 170.6 和 12.59，抽取了女生 27 人，其平均数和方差 分别为 160.6 和 38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计 吗？ 【答案】能，估计为 51.4862 【解析】引入记号，把男生样本记为 1 2 23 x x x , , , ，其平均数记为 x ，方差记为 2 x s ；把女生样本记为 1 2 27 y y y , , , ，其平均数记为 y ，方差记为 2 y s ；把总样本数据的平均数记为 z ，方差记为 2 s . 根据方差的定义，总样本方差为 ( ) ( ) 23 27 2 2 2 1 1 1 50 i i j j s x z y z = = = − + − ，为了与 x y, 联系，变形为 2 s ( ) ( ) 23 2 2 2 1 7 1 1 50 i j i j x x x z y y y z = = = − + − − + − + ，计算后可得 ( )( ) 23 1 2 0 i i x x x z = − − = ， ( )( ) 27 1 2 0 j j y y y z = − − = .这样变形后可计算出 2 s ．这也就是估计值． 解题技巧 (用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项) （1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差
（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换，跟踪训练二1.在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分：在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差。【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37【解析】把专业人士打分样本记为xi，x2，…x，其平均数记为x，方差记为；把观众代表打分样本记为y，J2，，y12，其平均数为，方差记为品：把总体数据的平均数记为=，方差记为s812则总样本平均数为：×47.4+56.2=52.68（分）2020202(-)1+2-))总样本方差为：2i-1--(8+(-+12[+(-)[+(47.468)2118+(22.68)1总样本标准差s=10.37所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计9.2.4总体离散程度的估计例21.方差、标准差的定义例12.总体方差、总体标准差的定义3.样本方差、样本标准差的定义4.方差、标准差的特征七、作业课本213页练习，214例习题9.2的剩余题教学反思本节课学生难掌握的是用样本平均数和样本标准差估计总体，在此类题型中学生对公式的转化有一定的困难，需细细推敲
（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换． 跟踪训练二 1．在一个文艺比赛中，8 名专业人士和 12 名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手 的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为 47.4 和 3.7，观众代表打分的平均数和标准差为 56.2 和 11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差． 【答案】平均数为 52.68 分，标准差为 10.37. 【解析】 把专业人士打分样本记为 x1，x2，.，x8，其平均数记为 x ，方差记为 s 2 x；把观众代表打分样本 记为 y1，y2，.，y12，其平均数为 y ，方差记为 s 2 y；把总体数据的平均数记为 z ，方差记为 s 2 . 则总样本平均数为： z ＝ 8 20×47.4＋ 12 20×56.2＝52.68(分)， 总样本方差为：s 2＝ 1 20[ i＝1 8 (xi－ z ) 2 ]＋ j＝1 12 (yj－ z ) 2 ] ＝ 1 20{8[s 2 x＋( x － z ) 2 ]＋12[s 2 y＋( y － z ) 2 ]} ＝ 1 20{8[3.72＋(47.4－52.68)2 ]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2 ]}＝107.6， 总样本标准差 s＝10.37. 所以计算这名选手得分的平均数为 52.68 分，标准差为 10.37. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 213 页练习，214 例习题 9.2 的剩余题. 本节课学生难掌握的是用样本平均数和样本标准差估计总体，在此类题型中学生对公式的转化有一定 的困难，需细细推敲. 9.2.4 总体离散程度的估计 1.方差、标准差的定义 例 1 例 2 2.总体方差、总体标准差的定义 3. 样本方差、样本标准差的定义 4.方差、标准差的特征