=lim[(△y+Cn(△y2z+…+Cn △z 1D2 例27讨论函数f(二)=二P2的可导性 解设1=f(二)则 △=2+42_-1 (二+△z)(E+△)22 △ z+△2+z4 △z 若z=0,则 0 dz2=0 若z≠0,则在△z以不同的方式趋向于O时,趋于不 △z 同的值,故由导数的定义知 f(==z 在除原点以外的复平面上处处不可导 2导数的运算法则
11 2 1 0 lim[( ) ( ) nn n n n z n z C z z Cz − − − − Δ → = Δ + Δ ++ " n 1 nz − = 例 2.7 讨论函数 2 f () || z z = 的可导性. 解 设w fz = ( ),则 2 2 w | | || zz z ( )( ) z z z z zz z z z Δ +Δ − +Δ +Δ − = = ΔΔ Δ z z z z z = +Δ + Δ Δ . 若 z=0,则 0 d 0 d z w z = = . 若 z≠0,则在Δz 以不同的方式趋向于0时, w z Δ Δ 趋于不 同的值,故由导数的定义知: 2 f () || z z = 在除原点以外的复平面上处处不可导. 2 导数的运算法则 11
定理2.5如果∫()与8(z)在区域D上可导,那么 (1[f(=)+g(=)=f(=)±g(二) n[f(z)2g(z)]=f(=)g(=)+f(=)g(=) f(-)|=f(=)8()-f(2)g(=) g(二) (g(二)≠0 g 定理2.6设函数 在一0 可导 g(h)在 h=f(=0)处可导,则复合函数[f(z) 在二处可导,且 g[f(=0)=g(h)f(=) 定理271=(二),二=0(1)是两个互为反函数 的单值函数且(v)≠(0,那么 ()
定理 2.5 如果 f ( )z 与 在区域 g z( ) D上可导,那么 (Ⅰ)[ (f z gz f z g z ) ( )]' '( ) '( ± =± ); (Ⅱ)[ f ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( ) zgz f zgz f zg z = + ; （Ⅲ) 2 ' ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) f z f zgz f zg z g z g z g z ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − = ≠ . 定 理 2.6 设 函 数 f ( )z 在 0 z 可 导 , g h( ) 在 0 0 h = f (z )处可导,则复合函数 gfz [ ()]在 0 z 处可导,且 0 0 '[ ( )] '( ) '( )0 g f z =g h f z . 定理 2.7 设 w fz = ( ), z=ϕ(w)是两个互为反函数 的单值函数,且ϕ'( ) 0 w ≠ ,那么 1 '( ) '( ) f z ϕ w = . 12
3函数可导的充要条件 定理28函数f(二)=l(x,y)+iv(x,y)准在定义域 内一点二=x+1y可导的充要条件是:l(x,y)和 v(x,y)在点(x,y)可微并且在该点满足柯西一黎曼方程 au -av auay OX Ov Ox 证必要性 线f()=mf(+△)()a+b则 f(z+△z)f(=-)=f(=)2+0() (a+bi)(△x+i△y)+o( (△z|>0) 而作为函数的增量 f(z+z)f()=l(x+△x,y+△y)-l(x,y)+
3 函数可导的充要条件 定理 2.8 函数 f () (, ) i(, ) z uxy vxy = + 在定义域 内一点 z= +x i y 可 导 的 充 要 条 件 是 : 和 在点( , uxy (,) vxy (,) x y)可微,并且在该点满足柯西—黎曼方程 u v x y ∂ ∂ = ∂ ∂ , u v y x ∂ =−∂ ∂ ∂ . 证 必要性 设 0 f ( )( ) '( ) limz z z fz f z + z Δ → Δ − = Δ =a+ib,则 |) ？？？？ f ( ) ( ) '( ) (| z z fz f z z o z +Δ − = Δ + Δ = + Δ +Δ + Δ ( i)( i ) (| |) a b x zy o z (| | 0) Δ →z , 而作为函数的增量 f ( ) () ( , ) (, z z f z ux xy y uxy +Δ − = +Δ +Δ − +) 13