2.2复变函数的连续性 1复变函数连续的概念 2复变函数连续的定理
2.2 复变函数的连续性 1 复变函数连续的概念 2 复变函数连续的定理 6
1复变函数连续的概念 定义22若 if(x)=f(-).则陈函数f()在 0处连线若J(2)在区域D内处连线,则称函数(二)在 区域内连续 2复变函数连续的定理 定理23在处连续的两个函数的和、差、积、商(分母在二处 不为零)在二0处仍连续 2.3 论 数 Secz,cSCz,tanz,cotz,Shz,chz的连续性 例2.4讨论函数arg2的连续性 例2.5讨论函数Ln二的连续性 定理24如果函数h=8()在二连续,函数 =f(h)在h=g(二0)连续那么复合函数 =f!g(z)] 在二处连续 复平面上有界闭区城万上连续的函数1=(二),它的模 f(z)在万上一定有界
1 复变函数连续的概念 定义 2.2 若 0 0 lim ( ) ( ) z z f z fz → = ,则称函数 f ( )z 在 0 z 处连续.若 f ( )z 在区域 D内处处连续,则称函数 f ( )z 在 区域 D内连续. 2 复变函数连续的定理 定理 2.3 在 0 z 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 0 z 处 不为零）在 0 z 处仍连续. 例 2.3 讨 论 函 数 : secz ,cscz , tanz ,cotz ,shz ,chz 的连续性. 例 2.4 讨论函数argz 的连续性. 例 2.5 讨论函数Lnz 的连续性. 定 理 2.4 如 果 函 数 h gz = ( ) 在 0 z 连续,函数 w fh = ( )在 连续,那么复合函数 0 h gz = ( 0) w fgz = [ ()] 在 0 z 处连续. 复平面上有界闭区域 D 上连续的函数 w fz = ( ) ,它的模 | () f z |在D 上一定有界. 7
2.3导数 1导数的概念 2导数的运算法则 3函数可导的充要条件 4高阶导数
2.3 导 数 1 导数的概念 2 导数的运算法则 3 函数可导的充要条件 4 高阶导数 8
1导数的概念 定义2.3设 f(2)在包含二0的某区域D内有定义如果 f(二)=1im(2+A2)-f(za) △z 存在那么我们说函数f(=)在二0可导(或可微),并称这个极限为 函数=f()在二0处的导数记为f(=0)即 2? 92 f(=lim/(2+42-f( △z 若记2=二0+A,则得到∫(=0)的另一种表达式 f(=0) f(=)-f( (E∈D) 1/()=1i/(2)-/(=) ,所以 (∈D) in/(=)-f(=a)Lim()-f(=0)1(-0)=0 即在某点可导的函数在该点一定连续 函数f(-)的导函数?2(二)定义为
1 导数的概念 定义 2.3 设 f ( )z 在包含 0 z 的某区域 D内有定义,如果 0 0 0 0 ( )( '( ) limz f z z fz ) f z z Δ → +Δ − = Δ 存在,那么我们说函数 f ( )z 在 0 z 可导(或可微),并称这个极限为 函数w fz = ( )在 0 z 处的导数,记为 0 f '( ) z 即 ？？？？ 0 0 0 0 ( )( '( ) limz f z z fz ) f z z Δ → +Δ − = Δ . 若 记 0 z= +Δ z z ，则得到 0 f '( ) z 的另一种表达式 0 f '( ) z = 0 0 0 ( ) () ( ) lim z D z z f z fz z z ∈ → − − 因为 0 f '( ) z = 0 0 0 ( ) () ( ) lim z D z z f z fz z z ∈ → − − ，所以 ？？？ [ − ]= → )()( 0 0 zfzfLim zz [ ] 0)( 1 0 0 0 )()( 0 =− − − → zz zz zfzfLim zz 即在某点可导的函数在该点一定连续. 函数 f ( )z 的导函数？？？ 0 f '( ) z 定义为 9
f(x)=1imf(+△)-f() △z→>0 △z 若 v=f(=),△=f(=+△z)-f(=) d 则 △z 例26证明(二")=n1(n为正整数) 证因为 (+△)=C=(△yk (△y"+Cn(△2)-z+C(△y2z2+ +Cn(Azy 所以 (z+△ △z→>0 △ 10
0 ( )( '( ) limz f z z fz) f z z Δ → +Δ − = Δ . 若 记 w fz = ( ) , Δ = +Δ − w fz z fz ( ) ( ) , 0 d '( ) d f z w z = ,则 0 d lim d z w w z z Δ → = Δ Δ . 例 2.6 证明 1 ( )' n n z nz − = (n为正整数). 证 因为 0 ( ) () n n kk n k n k z z Cz z − = +Δ = Δ ∑ 1 1 2 22 () () () nn n z C z zC z z n n − − =Δ + Δ + Δ +" ( ) n nn Czz n − n + Δ 所以 0 ( ) ( )' lim n n n z z z z z Δ → z +Δ − = Δ 10